Спектр дискретного сигнала

Дискретный сигнал – последовательность «выборок» (отсчетов) непрерывного сигнала с шагом Δ. Чтобы определить спектр такого сигнала, необходимо указать вид сигналов, представляющих отдельные отсчеты.

«Идеальная» дискретизация: отсчеты – это δ-импульсы.

Дискретный сигнал – произведение непрерывной функции x(t) (а) и последовательности δ-функций x_δ(t) (в). Спектр сигнала x_δ(t) – последовательность С_n (г)

Спектр дискретного сигнала x(t) получим заменой каждой линии спектра сигнала x_δ(t) спектральной функцией (б) сигнала x(t):

Спектр сигнала с идеальной дискретизацией состоит из последовательности бесконечно повторяющихся, с частотой дискретизации, спектров исходного непрерывного сигнала.

«Естественная» дискретизация (отсчет - прямоугольный импульс)

Спектр дискретного сигнала – произведение спектра сигнала с идеальной дискретизацией и функции (фильтра, формирующего импульс)

Теорема Котельникова

Любой сигнал, спектр которого не содержит частот выше f_m , может быть полностью восстановлен, если известны отсчетные значения этого сигнала, взятые через интервалы времени Δ ≤ 1/(2f_m).

Доказательство теоремы основано на представлении непрерывного сигнала, в любой момент времени, как суммы базисных функций Котельникова:

где s(kΔ) – дискретные значения сигнала в моменты выборок с шагом Δ.

Спектр сигнала имеет бесконечную ширину, поэтому представление рядом Котельникова приблизительно.

Синусоида как сумма функций Котельникова при двух отсчетах на периоде:

Теорема отсчетов неоднократно переоткрывалась в связи с ее актуальностью:

Коши 1841 г., Карсон, Найквист 1924 г., Хартли 1928 г., Котельников 1933 г..

Габор 1946 г., Шеннон 1949г.

Канал Найквиста

В цифровой системе надо определить символ по одной выборке,

восстанавливать форму сигнала не надо.

Теорема Найквиста. Если синхронные короткие импульсы с частотой следования f_s подаются в канал, имеющий прямоугольную АЧХ с частотой среза f_N = f_S/2, или в канал, у которого АЧХ симметрична относительно частоты f_N (фильтр Найквиста), то отклики на эти импульсы можно наблюдать независимо, т.е. без межсимвольных искажений.

Сигналы в канале Найквиста с прямоугольной АЧХ (α = 0)

Характеристики канала Найквиста

f_N – частота Найквиста_, α – коэффициент сглаживания.

Теорема Котельникова: при какой частоте опросов можно восстановить сигнал с ограниченной полосой f_max по дискретным отсчетам,

Теорема Найквиста: как ограничить полосу канала f_max, чтобы только отсчет был точным.

Явление Гиббса: крутому перепаду спектральной функции соответствуют

колебания сигнала.

Требования к частотной характеристике цифрового канала связи

В реальном канале двоичные символы представлены кодом канала БВН. Чтобы применить теорему Найквиста при определении требований к характеристикам канала, надо преобразовать сигналы в коде БВН в δ-импульсы, введя корректирующий фильтр с АЧХ, обратной к амплитудному спектру прямоугольного импульса:

Симметричную характеристику фильтра Найквиста аппроксимируют разными функциями. Наиболее известна аппроксимация АЧХ всего канала – «приподнятый косинус». Фильтры ставятся в передатчике и в приемнике, поэтому в качестве аппроксимации АЧХ одного из этих фильтров используют функцию «корень квадратный из приподнятого косинуса».