Передаточная (системная) функция элемента

Линейное дифференциальное уравнение:

Обычная форма

Операторная форма

H(s) - передаточная функция элемента,

s = d/dt – оператор дифференцирования, или – оператор Лапласа, (комплексная частота).

Преобразование Лапласа – это обобщение преобразования Фурье, расширяющее класс сигналов, представляемых в частотной области.

Применяя преобразование Лапласа, находят реакцию y(t) элемента на входное воздействие x(t) вида без решения дифференциального уравнения.

Преобразование Лапласа превращается в преобразование Фурье при σ = 0 (s=jω)

Подстановка s = jω в выражение передаточной функции дает комплексный коэффициент передачи элемента H(j)=K(j).

Следствия преобразования Фурье

С уменьшением длительности сигнала спектр расширяется. Это видно из примера спектра прямоугольного импульса.

Ширину спектра оценивают разными способами:

– по первому нулю спектральной функции, имеющей лепестковый вид;

– по заданному уровню спектральной функции;

– по «эффективной» ширине полосы, содержащей основную часть (например, 90%) энергии или мощности.

Произведение длительности сигнала τ на ширину

его частотной полосы F называют базой сигнала.

База прямоугольного импульса:

по ширине первого лепестка спектра В = τ (1/τ) =1,

по 90% энергии τ_Э = 0,9τ, F = 0,81/τ, база В = 0,73.

Спектральная функция δ – импульса постоянна на всех частотах: спектр прямоугольного импульса длительности τ при τ→0 становится равномерным на всех частотах от -∞ до +∞, а сам импульс превращается в δ-функцию.

Комплексный коэффициент передачи элемента является спектром его импульсной характеристики.

Понятие идеального канала

«Идеальный» канал должен передавать сигнал без искажений. В частотной полосе передаваемого сигнала 0…f_m АЧХ канала должна быть «прямоугольной», ФЧХ – линейной.

Переменные t и f в преобразованиях Фурье взаимозаменяемы:

.

(Заменили на рисунке t на f , а f на t)

Прямоугольный спектр соответствует импульсу, начинающемуся при t = – ∞.

Фильтр с прямоугольной частотной характеристикой неосуществим.

Спектр произведения сигналов

Cпектр произведения сигналов x(t) y(t) равен

свертке спектральных функций этих сигналов.

Поясним вид этого спектра, пользуясь тождеством

Спектр произведения сигналов можно получить, заменив каждую спектральную линию ω_i одного сигнала, имеющую амплитуду А_i, спектром другого сигнала, расположенным симметрично относительно частоты ω_i и взятым с весовым коэффициентом А_i

Спектр радиоимпульса:

При модуляции высокочастотного гармонического сигнала (несущего колебания) спектр модулирующего сигнала переносится в область высоких частот (в окрестность несущей частоты) с расширением полосы в два раза.

Спектр пачки импульсов:

«Транспонирование» частот при диcкретизации сигнала по времени

Сигнал с частотой 6 Гц, восстановленный по выборкам с частотой 5 Гц, воспринимается как сигнал частоты 1 Гц. Это эффект «транспонирования», или «поглощения», частот.

«Псевдочастота» f_pf восстановленного сигнала зависит от соотношения частоты f исходного непрерывного сигнала и частоты дискретизации f_d

Высокочастотные составляющие спектра, транспонируясь, суммируются с низкочастотными составляющими, изменяя вид спектра.