186			Глава 5
у(Б)	Лінія обмеження цеху № 2
580
500
400
300
222,5
Оптимальний		Лінія обмеження цеху № 1
обсяг вироб-		356
ництва продук60	100 200	290 400
ції Б (60 од.)			х(А)
		Оптимальний обсяг

виробництва продукції А (260 од.)

Рис. 5.3. Графічне розв’язання задач оптимізації виробництва за наявності двох обмежень

Можливі й інші методи графічного розв’язання задач опти6 мізації при наявності двох обмежень.

5.3.3. Аналіз при трьох і більше обмеженнях

При наявності трьох і більше обмежень аналіз виконують з використанням лінійного програмування, тобто методу, який використовують для оптимізації виробничої діяльності шляхом розв’язання серії лінійних рівнянь. Процес лінійного програму6 вання складається з трьох стадій:

–складання рівняння цільової функції та рівнянь обмежень;

–розв’язання моделі симплексним методом або на ЕОМ з використанням стандартних програм оптимізації;

–аналіз одержаного рішення.

Для складання рівняння цільової функції необхідно визна6 читися зі змінними величинами, тобто тими величинами, розмі6 ри яких необхідно визначити (обсяги виробництва окремих видів продукції), та цільовою функцією, тобто метою, якої ми хочемо досягти (певна сума прибутку або сума маржинального доходу). Рівняння цільової функції може мати такий вигляд:

а1х1 + а2х2 + … + аnxn max, або ai xi max,

(5.2)

Диференціальний аналіз релевантної інформації
для прийняття управлінських рішень	187

де а1, а2, … an – маржинальний доход на одиницю відповідного виду продукції, грн;

х1, х2, … xn – кількісні параметри виробництва окремих видів продукції, од.

Рівняння обмежень – це алгебраїчне зображення одного з обмежувальних чинників:

а) потужності виробництва (витрат машинного часу роботи обладнання):

t1x1 t2x2 ... tnxn T,

або ti xi T,

(5.3)

де t1, t2, … tn – затрати машинного часу на одиницю відповідної продукції;

Т – максимально можливі витрати робочого часу (ліміт ма6 шино6годин);

б) площі виробничих приміщень:

s1x1 s2x2 ... snxn S,

або si xi S,

(5.4)

де s1, s2, … sn – площа, зайнята під виробництво окремих видів продукції;

S – максимальна можлива до використання виробнича площа; в) кількості дефіцитних матеріалів:

m1x1 m2x2 ... mnxn M ,

або mi xi M ,

(5.5)

де m1, m2, … mn – норми витрачання матеріалів на одиницю відпо6 відної продукції, кг;

M – максимально можливі витрати даного виду матеріалів, кг; г) неможливості від’ємних показників:

аі 0.

(5.6)

Подібним чином можна визначити і ввести до моделі рівнян6 ня обмежень інших чинників. Розв’язання моделі, як правило, виконують на ЕОМ. У результаті одержують рівняння, парамет6 ри якого показують, скільки одиниць продукції кожного виду доцільно виробляти (хі) та яку суму доходу це забезпечить.

Метою аналізу одержаного рішення є визначення чутли6 вості моделі до зміни значення обмежувальних чинників, тобто визначення, на скільки знизиться значення цільової функції при зменшенні одного з обмежувальних чинників на одиницю його вимірювання. Всебічний аналіз дає можливість зробити обґрунтовані висновки і прийняти правильне управлінське рішення.

188		Глава 5

5.4. Моделі прийняття рішень в умовах ризику та невизначеності

Невизначеність – це відсутність достатньої інформації про можливі події. Вона зумовлює ризик, тобто можливість відхи6 лення фактичних результатів від очікуваних. Чим більша невиз6 наченість, тим більший ризик при прийнятті рішення. Для зни6 ження ризику необхідно враховувати ймовірність тих або інших явищ.

Ймовірність – це можливість того, що певна подія настане. Ймовірність виражається у десятковому вигляді і позначається буквою р, при цьому її значення знаходиться між 0 і 1. За тео6 рією ймовірностей усі події, що спостерігаються, можна поділи6 ти на 3 групи:

1)достовірні, тобто такі, які відбудуться обов’язково (ймовір6 ність = 1);

2)неможливі, тобто такі, які не можуть статися (ймовірність = 0);

3)випадкові, які можуть відбутися за певних умов (ймовірність 0 < р < 1).

Невизначеність пов’язана саме з можливістю випадкових подій.

Ймовірність випадкової події – це відношення числа сприят6 ливих наслідків випробування до загального числа всіх можли6 вих наслідків. Ймовірність всіх можливих наслідків випадкової події дорівнює 1.

Розподіл ймовірностей – це список можливих наслідків ана6 лізованої події та ймовірність того, що такий або інший наслідок настане. Наприклад, розподіл ймовірностей складання іспиту студентом А:

Оцінка на іспиті, бал (Аі)	5	4	3	2	Разом
Ймовірність оцінки (рі)	0,6	0,2	0,1	0,1	1
Очікуване значення оцінки (Аірі)	3,0	0,8	0,3	0,2	4,3

Очікуване значення розраховується зважуванням кожного наслідку на відповідну йому ймовірність

n
A Ai pi ,	(5.7)

i 1

де A – очікувана величина (оцінка події);

Аі – значення змінної величини для певної події (наслідку); рі – ймовірність певної події (наслідку).

Диференціальний аналіз релевантної інформації
для прийняття управлінських рішень	189

Ймовірності поділяють на об’єктивні та суб’єктивні. Об’єктивні ймовірності – це такі, значення яких можуть бути

розраховані математично на підставі фізичних дослідів або об6 робки історичного досвіду. Наприклад, ймовірність того, що підкинута вверх монета впаде орлом вверх, дорівнює 0,5 (адже тут можливі лише два варіанти).

Суб’єктивні ймовірності – це такі, значення яких оцінюється менеджером на підставі власного досвіду, інтуїції, уявлень та роздумів, спостережень. Будь6які подібні оцінки завжди пов’я6 зані з суб’єктивними особливостями менеджера, але інколи вони бувають більш обґрунтованими і дають більш об’єктивну оцінку ймовірного наслідку (наприклад, попередня оцінка результатів складання іспиту тим або іншим студентом з боку викладача може мати досить високу ступінь ймовірності).

Усфері бізнесу більшість ймовірностей є суб’єктивними, що значно ускладнює їх визначення і застосування. Наявність же інформації про ймовірність релевантних явищ створює мож6 ливість розрахувати очікуване значення майбутніх подій з ураху6 ванням їх ймовірності. Такі розрахунки часто виконують у виг6 ляді «дерева рішень».

Розглянемо такий приклад: компанія розглядає доцільність розробки нового продукту та виходу з ним на ринок. Витрати на розробку нового продукту оцінюються у 200000 грн. Ймовірність того, що розробка буде успішною, складає 0,8, а що закінчиться невдало – 0,2. Якщо розробка буде успішною, то на ринку про6 дукт може забезпечити такі показники (за даними попередньої експертизи):

а) якщо продукт буде вдалим і користуватиметься підвище6 ним попитом, він забезпечить прибуток на суму 500 тис. грн. Ймовірність такої події – 0,5;

б) якщо продукт буде середньовдалим, можна очікувати при6 буток на рівні 200 тис. грн, ймовірність такої події – 0,3;

в) якщо продукт буде невдалим, то збиток становитиме 300 тис. грн, ймовірність такої події – 0,2.

Щоб визначити очікуваний результат розробки і впровад6 ження нового продукту побудуємо «дерево рішень» (рис. 5.4).

Розрахунки показують, що розробка нового продукта забезпе6

чить прибуток на суму 160000 грн. Ймовірність прибуткових наслідків такого рішення досить висока – 64% (0,8 0,5 + 0,8 0,3 =

=0,64).

Утих випадках, коли очікуваний результат для декількох варіантів подій буде однаковим, для вибору кращого варіанта

190

Рис. 5.4. »Дерево рішень» щодо доцільності розробки нового продукту

5 Глава

Диференціальний аналіз релевантної інформації
для прийняття управлінських рішень	191

доцільно розрахувати можливе стандартне (середньоквадратич6 не) відхилення ( ):

	n
	(Ai		)2 pi .
		A		(5.8)
	i 1

Для нашого прикладу стандартне відхилення становитиме (у тис. грн):

(200 160)2 0,4 (48 160)2 0,24 ( 48 160)2 0,16 ( 40 160)2 0,2

(1600 0,4) (12544 0,24) (43264 0,16) (40000 0,2)

640 3010,56 6922,24 8000

18572,8 136,28 тис. грн.

Рівень стандартного відхилення у нашому прикладі дуже високий. При наявності декількох варіантів, кращим вважають той, який має менше значення стандартного відхилення, що го6 ворить про більш однорідну сукупність та більш високу ймовірність одержання розрахованого результату.

Якщо альтернативні події мають різну очікувану величину і різне стандартне відхилення, то для остаточної оцінки кожної з них визначають коефіцієнт варіації (Кв):

Кв				(5.9)
			.
		А

Для нашого прикладу

Кв = 136,28 : 160 = 0,852.

Той варіант, коефіцієнт варіації якого менший, вважають більш привабливим.

У кожному випадку розрахунку очікуваного результату ба6 жано мати якомога точнішу інформацію про можливі події. Але одержання додаткової інформації завжди пов’язане з певними витратами (оплата консультантам, експертам за прогнози, аналі6 тичні огляди і т. ін.), тому перед менеджером постає питання про очікувану вартість додаткової інформації та її цінність. Роз6 рахунок максимальної ціни, яку доцільно заплатити за одержан6 ня додаткової інформації, виконують порівнянням очікуваного результату за наявності додаткової інформації та без неї. Різниця між цими показниками і буде підставою для визначення ціни додаткової інформації.

Наприклад, сума очікуваного доходу від реалізації продукції становить 4000 грн, при аналізі з використанням консультації

192		Глава 5

спеціаліста6маркетолога сума прибутку очікується на рівні 4400 грн. Отже, максимальна сума, яку можна сплатити за консультацію, дорівнює 400 грн.

У всіх наведених розрахунках найбільш важливими є показ6 ники розподілу ймовірності очікуваних наслідків майбутніх подій, але саме ці показники і найважче визначити на задовільному рівні, а у деяких ситуаціях це взагалі неможливо.

Якщо ситуація складається так, що менеджери не можуть одержати обґрунтовану оцінку ймовірності можливих наслідків очікуваної події, в умовах невизначеності вони можуть прийма6 ти рішення на основі оптимістичних або песимістичних прогнозів. При цьому можливі такі варіанти поведінки менеджерів:

1)максимізація максимальних результатів (критерій макси6 макс) – це прогноз, який передбачає найкращий результат з усіх можливих;

2)максимізація мінімальних результатів (максимін – кри6 терій Ваальда) – це прогноз, який передбачає найгірший з очі6 куваних варіантів;

3)мінімізація максимального жалю (мінімакс – критерій Севіджа) – це прогноз, розрахований на мінімально можливі втра6 ти при різних варіантах рішень (табл. 5.7).

Таблиця 5.7

Можливі втрати при різних обсягах закупівлі та реалізації товару (ціна закупівлі – 40 грн/од.; ціна реалізації – 100 грн/од.)

	Попит (реалізація)		Обсяг закупівлі
		100	200	300	400
	100
	200
	300
	400
	Максимально можливий	18000	12000	8000	12000
	збиток

v – Вартість закупівлі нереалізованого товару. vv – Сума втраченого прибутку.

У нашому прикладі – це закупівля 300 од. товару; 4) максимізація рівня ймовірності – прогноз дій у варіанті,

ймовірність якого найвища.