§2Функция үзіліссіздігі және олардың қасиеттері

Анықтама у=f(x) функциясы х= нүктесінде үзіліссіз деп аталады, егер ол нүктесінде және оның қандай да бір аймағында анықталған және болса.

Үзіліссіз функцияның қасиеттері:

1)Егер f(x) және g(x) функциялары нүктесінде үзіліссіз болса, онда олардың қосындысы, айырылып, көбейтіндісі және қатынасы (егер ) да

үзіліссіз функциялары болады.

2)Барлық элементарлық функциялар өздерінің анықталу облысында үзіліссіз.

§3 Функцияның үзіліс нүктелері және классификациясы

Анықтама1

Егер қандай да бір x= нүктесінде y=f(x) функциясы үшін үзіліссіздіктің ең кемінде бір шарты орындалмаса, яғни х= болған кезде функция анықталмаған немесе шегі болмаса немесе

х → болғанда болса, бірақ теңдіктің оң жағындағы және сол жағындағы өрнектердің мәні бар болса, онда y=f( функциясы х= нүктесінде үзілісті (үздікті) деп аталады.

Анықтама2

Егер y=f( функциясының және ақырғы шектері бар, бірақ немесе х= нүктесінде функцияның мәні болмаса, онда х= нүктесі 1-ші тектегі үзілістік нүктесі болады.

Анықтама3

Егер y=f( функциясының х= нүктесінде немесе шектері жоқ немесе шексіздікке тең болса, онда х=

Нүктесі 2-ші тектегі үзілістік нүктесі болады.

Дәріс 10

§1 Туынды түсінігі

Аргументтің және мәндері y=f( функциясының және мәндеріне сәйкес келсін.

Аргументтердің ∆х= айырмасы аргумент өсімшесі деп аталады, ал ∆у= айырмасы ⦋ кесіндісіндегі функция өсімшесі деп аталады.

Анықтама1

y=f( функциясының х аргументі бойынша туындысы дегеніміз,осы функцияның өсімшесінің аргумент өсімшесіне қатынасының ∆х →0 ақырлы шегін айтамыз және келесі белгілердің бірі арқылы белгілейміз:

, , dy/dx

Сонымен анықтама бойынша

=(x)== =

Функциялық туындысын табу амалы y=f(x)

Функциясын дифференциалдау деп аталады.

Туындының геометриялық мағынасына, механикалық мағынасына және туындылар кестесіне тоқталу керек.

§2Функция дифференциалы және оның геометриялық мағынасы

Егер y=f( функциясының х нүктесіндегі (x) туындысы болса, онда (x) туындысының аргумент өсімшесі ∆х-на көбейтіндісі функцияның дифференциалы деп аталады және dy символымен белгіленеді:

dy= (1)

Енді y=x функциясының дифференциалын табамыз

∆, яғни .

Енді (1) теңдікті мына түрде жазуға болады:

dy= (2)

Дифференциалдың геометриялық мағынасы:

дифференциал жанаманың өсімшесі болып табылады.

§3 Туындының қолданылуы

Туындының көмегімен функцияның өсуі мен кемуі келесі түрде анықталады:

1)Егер болса, онда f(x) функциясы нүктесінде өспелі.

болса, онда f(x) функциясы нүктесінде кемімелі.

Экстремумның қажетті шарты. Егер f(x) функциясы нүктесінде экстремумы бар болса, туындысы нөлге айналады немесе болмайды.

Анықтама1

Функцияның болатын нүктесі стационарлық нүкте , ал немесе жоқ нүктелер кризистік нүктелер деп аталады.

Экстремумның жеткілікті шарты.

Егер нүктесі f(x) функциясының кризистік нүктесі болса және ден өткен кезде -тің таңбасы «+» тен «-» ке өзгерсе, онда f(x) функциясының минимум нүктесі болады.

§4 Көп айнымалы функциялар. Дербес туындылары. Толық дифференциал.

Егер х және у сандары үшін қандай да бір заңдылықпен z саны сәйкес қойылса, онда z=f(x,y) деп жазылады даосы z ені аргумент х пен у тен тәуелді функциядеп аталады. Дәл осылай үш аргумент х,у және z –тен тәуелді. U=f(x,y,z) функциясы анықталады.

Егер z=f(x,y) функциясының у аргументін тұрақты деп еспетесек онда z=f(x,y) функциясының х белгісізі бойынша дербес туындысы деп аталады да арқылы белгіленеді.

Дәл осылайша у бойынша дербес туынды анықталады.

z=f(x,y) функциясының толық дифференциалы z мынадай формулалармен анықталады:

Жоғарғы ретті дербес туындылар мынадай формулалармен анықталады:

Көп жағдайда теңдігі орындалады.

Дәріс 11 – 12