§3. Матрицалық әдіс.

n=3 a₁₁x₁+a₁₂x₂+a₁₃x₃=в₁

а₂₁х₁+а₂₂х₂+а₂₃х₃=в₂

а₃₁х₁+а₃₂х₂+а₃₃х₃=в₃ , Δ≠0 болсын.

Мынадай матрицаларды қарастырайық:

А= , x= , B=.

Сонда (1) жүйе осы матрицалардың көмегімен қысқаша былай жазылады:

A_X=B (2)

Δ≠0 , болғандықтан А^-1 бар. (2) теңдіктің екі жағын да сол жақтан А^-1-ге көбейтейін:

А^-1(Ax)=A^-1B, немесе (AA^-1)x=A^-1B.

АА^-1=Е және Ех=x екенін ескерсек, х=A^-1B (3)

формуласы шығады. Осы формуланың көмегімен берілген жүйені матрицалық әдіспен шығаруға болады.

Мысал 1. х₁+2х₂-х₃=1

-3x₁+x₂+2x₃=0 (4)

x₁+4x₂+3x₃=2

A= , X=, B=.

2 дәрісте шығарғанымыздай: Ā=

Енді (3) формула бойынша

x=A^-1B=, яғни x₁=, x₂=, x₃=.

Дәріс 4

Жалпы сызықтық теңдеулер жүйесін шешу. Гаусс әдісі

Біртекті сызықтық теңдеулер жүйесі

§1 Гаусс әдісі

m сызықты теңдеулер және n белгісізі бар жалпы сызықтық теңдеулер жүйесі былай жазылады:

a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n =в₁

a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2nx_n =в_{2 (1)}

_{……………………………………………………….}

a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mnx_n =в_m

Өткен параграфта қарастырылған жүйелер үшін m=n және ∆≠0 болғанда Крамер және матрицаның әдістер қолданғанын айта кетейік. (1) жүйеде m мен n кез келген натурал сандар, яғни m≠n болуы да мүмкін.

Алдымен Гаусс әдісіне бір мысал келтірейік:

Мысал 1. X₁+2x₂-x₃ =1 3 -1

-3x₁+x₂+2x₃ =0 (2)

X₁+4x₂+3x₃ =2

x₁+2x₂-x₃ =1

7x₂-x₃ =3 -2/7 (3)

2x₂+4x₃ =1

x₁+2x₂-x₃ =1 x₁ =1/6

7x₁-x₃ =3 (4) => x₂ =13/30

30x₃/7=1/7 x₃ =1/30

Бұл есепті Гаусс әдісімен шешу екі сатыдан тұрады. (2) жүйедегі бірінші теңдеудің көмегімен қалған теңдеулердегі х₁ белгісізінен құтыламыз. Сонда (3) жүйе пайда болады. Сонымен Гаусс әдісінің бір сатысы аяқталады.

Енді үшінші жүйедегі 2-ші теңдеудің көмегімен үшіінші теңдеудегі х₂ белгісізінен құтыламыз. Сонда (4) жүйеде төменнен жоғары жүре отырып х₃, х₂, және х₁ белгісіздерін табамыз. Жоғарыдағыдай түрлендірулерді Гаусс түрлендірулері деп атайды.

Гаусс әдісінің көмегімен (1) түрдегі кез келген жүйені шешуге болады. Гаусс әдісі бірнеше(саны шекті) сатыдан тұрады.(1) жүйені жоғарыдағы мысалдағыдай түрлендіре келе бірнеше сатыдан кейін үшбұрышты түрдегі жүйеге келтіретін болсақ, онда мұндай жүйенің шешуі бар және жалғыз ғана болады, егер де жүйе Гаусс түрлендірулері кезінде трапециалды түрге келетін болса, онда мұндай жүйенің шешулерінің саны шексіз көп болады. Гаусс түрлендірулері кезінде қарама-қайшы теңдікке келетін болса, онда мұндай жүйе үйлесімсіз, яғни шешуі болмайды.

Трапециалды түрге келетін жүйеге және шешуі болмайтын жүйелерге мысал келтірейік:

Мысал 2. 2x₁-x₂+3x₃ =1 -2 -3

3x₁+2x₂-x₃ =-2

x₁+3x₂-4x₃ =-3

x₁+3x₂-4x₃ =-3 x₁+3x₂-4x₃ =-3

-7x₂+11x₃ =7 -7x₂+11x₃ =7

-7x₂+11x₃ =7

X₁ =-5c/7 c=0 x₁ =0 c=7 x₁ =-5

X₂ =(11c/7)-1 x₂ =-1 x₂ =10

X₃ =c x₃ =0 x₃ =7 т.с.с.

Мысал 3. x₁-x₂+3x₃ =2 3 -4

3x₁+2x₂-x₃ =3

4x₁+x₂+2x₃ =4

x₁-x₂+3x₃ =2 x₁-x₂+3x₃ =2

5x₂-10x₃ =-2 -1 5x₂-10x₃ =-2

5x₂-10x₃ =-4 0=-2

Жүйенің шешімі жоқ.