§1.Теңдеулер жүйелерінің үйлесімділігі. Кронекер-Капелли теоремасы.

Сызықты теңдеулер жүйесі ең жалпы түрде мынадай болады:

а₁₁х₁+а₁₂х₂+...+а_1nх_n=в₁,

а₂₁х₁+а₂₂х₂+...+а_2nх_n=в₂, (1)

...................................

а_m1х₁+а_m2х₂+...+а_mnх_n=в_m

Анықтама 1. Егер (1) жүйенің ең болмағанда бір шешуі бар болса, онда мұндай жүйені үйлесімді жүйе дейді. Ал егер (1) жүйенің шешуі жоқ болса, онда бұл жүйені үйлесімсіз жүйе дейді.

Мысал 1. 3х₁+2х₂=3

2x₁+4x₂=2 - үйлесімді жүйе, мұның тек бір ғана шешуі бар.

Мысал 2. х₁+2х₂=1

2x₁+4x₂=2 - үйлесімді жүйе, мұның шешуінің саны шексіз көп.

Мысал 3. х₁+2x₂=1

2x₁+4x₂=3 - үйлесімсіз жүйе, себебі бұл жүйенің шешуі жоқ.

(1) жүйеге байланысты мынадай екі матрицаны қарастырайық:

а₁₁а₁₂...а_1n а₁₁а₁₂...а_1nв₁

A= а₂₁а₂₂...а_2n және Ā= а₂₁а₂₂...а_2nв₂

................ ..................

а_m1а_m2...a_mn а_m1a_m2...a_mnв_m

А матрицасы (1) жүйенің негізгі матрицасы дейді, ал Ā матрицасын А матрицасының кеңейтілген матрицасы дейді.

Кронекер-Капелли теоремасы. (1) сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесінің үйлесімді болуы үшін, оның негізгі матрицасының рангісі, кеңейтілген матрицасының рангісіне тең болуы қажетті және жеткілікті, яғни r(A)=r(Ā).

§2. Крамер әдісі.

Екі белгісізден және екі теңдеуден сызықтық теңдеулер жүйесі жалпы түрде былай жазылады:

а₁₁х+а₁₂у=в₁,

а₂₁х+а₂₂у=в₂ (2)

(1) жүйеге байланысты мынадай үш анықтауышты қарастырайық:

Δ = , Δ₁= , Δ₂=

Δ-ны берілген жүйенің бас анықтауышы дейді, ал Δ₁ мен Δ₂-ні жүйенің қосалқы анықтауыштары дейді_.. матрицасын (1) жүйенің бос мүшесі дейді.

Δ-дан Δ₁ шығару үшін Δ-дағы 1-ші бағанның орнына жүйенің бос мүшесін қою керек, ал Δ-дан Δ₂-ні шығару үшін Δ-дағы 2-ші бағанның орнына жүйенің бос мүшесін қою керек.

Теорема 1. Егер (1) жүйенің бас анықтауышы Δ нөлден өзгеше болса, онда (1) жүйенің шешуі бар және ол жалғыз ғана болады. Осы шешу мынадай Крамер ережесімен табылады:

х= , у= (3)

Ескерту 1. (1) жүйені мектептегідей жолмен шығарсақ (3) формулаларға келетінімізді көрсету оңай.

Мысал 1. 4х+5у=40

5x+4y=41

Δ==-9, Δ₁==-45, Δ₂= =-36

(3) формула бойынша х=5, y=4

Үш белгісізден және үш теңдеуден тұратын сызықтың теңдеулер жүйесі жалпы түрде былай жазылады:

а₁₁х+а₁₂у+а₁₂z=в₁,

а₂₁х+а₂₂у+а₂₃z=в_2, (4)

а₃₁х+а₃₂у+а₃₃z=в₃

(4) жүйеге байланысты мынадай 4 анықтауышты қарастырамыз:

Δ= , Δ₁= ,

Δ₂= , Δ₃=

Δ-ны жүйенің бас анықтауышы дейді, ал Δ₁,Δ₂,Δ₃-терді жүйенің қосалқы анықтауыштары дейді.

Теорема 2. Егер (4) жүйенің бас анықтауышы Δ нөлден өзгеше болса, онда осы жүйенің шешуі бар және ол жалғыз ғана болады. Осы шешу мынадай Крамер ережесімен табылады:

х= , y=, z= (5)

Мысал 2. х+2у-z=1

-3x+y+2z=0 Δ=30, Δ₁=5, Δ₂=13, Δ₃=1,

x+4y+3z=2, x=, y= z=

Ескерту 2. Егер берілген жүйенің бас анықтауышы нөлге тең болса, онда мұндай жүйенің шешуі болмауы мүмкін немесе шексіз көп шешулері болуы мүмкін.

Мысал 3. х+2у=1

2x+4y=3, Δ=0, шешуі жоқ.

Мысал 4. х+2у=1

2x+4y=2, Δ=0, шешулері шексіз көп.