§3 Үлестірімділік параметрлерінің статистикалық бағалары.
Айталық, қайсібір теориялық негіздеме бойынша басты жиынтықтың үлестірімділік заңдылығының түрі белгілі болсын делік. Онда бұл заңдылықты толық анықтай үшін оның белгісіз параметрлерінің мәндерін табу қажет болады. Әдетте, іс жүзінде, жиі кездесетін белгілі үлестірімділік заңдылықтарының белгісіз параметрлері кездейсоқ шаманың математикалық үміті, дисперсиясы, орташа квадраттың ауытқуы арқылы анықталады. Олай болса, берілген таңдалым бойынша белгісіз математикалық үмітті, дисперсияны, орташа квадраттың ауытқуды бағалау қажеттігі туындайды.
Әдетте, белгісіз параметрлердің екі түрі статистикалық бағалау тәсілдері қарастырылады: дәл бағалар, яғни белгісіз параметрді таңдалым бойынша жуық мәнімен алмастыру; сенімділік бағалар, яғни алдын ала берілген ықтималдық бойынша белгісіз параметрдің жататын ааралығын көрсету.
Біз мұнда таңдалым бойынша белгісіз параметрлердің дәл бағаларын анықтау тәсілдеріне ғана тоқталамыз.
Айталық, таңдалым салыстырмалы жиілігінің нұсқалық кестесі берілсін.
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
… |
|
Мұнда ++…+=n Онда =(x1n1+x2n2+…+xknk) (2)
Өрнегін таңдамалы орта деп атайды және оны Х кездейсоқ шамасының белгісіз математикалық үмітінің (M(x)-тің) бағасы (жуық мәні) ретінде қабылдайды. Ал =[(x1-)2n1+(x2-)2nk] (3) өрнегін таңдамалық дисперсия деп атайды.
Мысал 1 Таңдалым мынадай жиілігінің нұсқалық кестесімен берілсін.
|
xi |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
ni |
20 |
15 |
10 |
5 |
Х кездейсоқ шамасының математикалық үміті мен дисперсиясын бағала.
Біз алдымен таңдамалы орта пен таңдамалы дисперсия ны табамыз да M(x)= және D(x)=D ден есептейміз.
===2
= = = 1
Сонымен, М(х) D (х)
Дәріс 15
Дисперцияның талдау түсігі. Ең кіші квадраттар әдісі. Корреллциялық талдау.
§ 1. Дисперциялық талдау.
Дисперциялық талдау арқылы белгілі фактордың сынық нәтидесіне қалай әсер ететінін зерттеуге болады.
F факторының бірнеше деңгейі болуы мүмкін. Мысалы үшін, ең жоғарғы өнім үшін қандай тыңайтқыштарды қолданған дұрыс болады. Бұл жерже фактор деп отырғанымыз тыңайтқыш, ал оның деңгейлері – тыңайтқыштың түрлері.
§ 2. Ең кіші квадраттар әдісі.
х пен у шамаларының арасындағы байланысты зерттейін. Сынақ нәтидесінде х пен у-тің n қос(пар) сәйкес мәндері табылсын делік. Осыны кесте арқылы жазайық:
|
х |
|
|
… |
|
|
… |
|
|
у |
|
|
… |
|
|
… |
|
(1)
Мысалы үшін х-температура, ал у-металл сының ұзаруы. х пен у-ті оху жазықтығында нүкте түрінде кескіндейік.
, ), k=1, 2…n нүктелері бір түзудің бойында шығарылсын делік.
у
х
Осы жағдайда х пен у-тің арасындағы байланыс сызықты түрде болады деп болжауға болады:
y=ax+b (2)
(2) функциялық арқылы белгілейік:
Ауытқулардың квадраттарының қосындысы a мен b-дан тәуелді функция болады:
а мен b қандай болғанда ең кіші мәнге ие болады? Біздің мақсат осындай a мен b-ны табу.
Бұдан
a= (3) жүйенің шешуі болсын, сонда х мен у-тің арасындағы байланыс y=+ түрінде болады.
Мысалы: екі шаманы өлшеу кезінде мынадай кесте шықты.
|
x |
-2 |
0 |
1 |
2 |
4 |
|
y |
0,5 |
1 |
1,5 |
2 |
4 |
x пен y-тің арасындағы y=ax+b түріндегі сызықты байланыс бар дей отырып а мен b-ны тап.
Бұл жерде n=5,
(3) жүйе осы мысал үшін былай жазылады:
Сондықтан y=0,425x+1,175