§2. Ықтималдықтың классикалық анықтамасы.

А кездейсоқ оқиғасының ықтималдығы деп А-ға қолайлы нәтижелер саны m-нің барлық мүмкін нәтижелер саны n-ға қатынасын айтады және оны Р(А) арқылы белгілейді. Сонымен анықтама бойынша, Р(А) = (1)

Мысалдар

1. Сынақ: теңгені бір рет лақтыру. « А – гербтің түсуі», «В – цифрдің түсуі» P(A)=P(B)=.

2. Сынақ: ойын тасын лақтыру. « – i ұпай түсуі», і=1,2,3,4,5,6. P()=

3. Сынақ: ойын тасын лақтыру. «А-түскен ұпай саны екіге бөлінеді» n=6,m=3. P(A)==.

4. (Даламбердің қатесі) Теңге екі рет лақтырылған. « А –екі гербтің түсу» оқиғасы. Даламбер: P(A) = (Ол n=3 деп есептейді: 1) екі герб түсу 2) екі цифр түсу 3)бір герб және бір цифр түсу)

Дұрыс шешуі: ГГ,ГЦ,ЦГ,ЦЦ Р(А)=

5. Екі ойын тасы лақтырылған. Сонда шыққан ұпайлардың қосындысы 7 болуы жиі ме әлде 8 болуы жиі ме? «А–ұпайлардың қосындысы 7», «В– ұпайлардың қосындысы 8». P(A) =, Р(В)=

§3. Кездейсоқ шамалар және олардың үлестірімдік заңы.

Кездейсоқ шама ұғымы ықтималдықтар теориясының ең негізгі ұғымдарының бірі болып табылады. Кездейсоқ оқиғалардың көпшілігі белгілі сан жиынынан мәндер қабылдайды. Мысалы, ойын сүйегін тастағанда 1,2,3,4,5 және 6 сандарының бірі түсуі мүмкін, яғни мұнда орындалатын кездейсоқ оқиға осы сандардың бірімен өрнектеледі және күні бұрын ойын сүйегі қандай сан көрсеткішімен түсетінін дөп басып айту мүмкін емес. Осы сияқты, белгілі бір уақыт аралығында жедел жәрдем бекетіне келіп түскен шақырулар саны, бір күнгі мектепке кешігіп келген оқушылар саны, бір айдағы үй малының салмағының өсуі, снарядтың ұшу алыстығы т.с. кездейсоқ шамалар болады.

Сонымен,белгілі бір сынаққа (тәжірибеге) байланысты кездейсоқ шама деп, осы сынақтың әрбір қайталануында қандай да бір сан мәніне ие болатын және алдын ала қандай сан мәні орындалатыны белгісіз шаманы айтады. (Басқаша айтқанда, кездейсоқ шама деп E={E_1,E_{2, …} ,E_n} элементар оқиғалар кеңістігінде анықталған X=X(E_i), i=1,2, …,4 сан функциясының мәнін айтады.)

Кездейсоқ шамаларды латын алфавитінің үлкен X,Y,Z, … әріптерімен белгілейді, ал кездейсоқ шаманың элементар оқиғалардағы мәндерін x,y,z, … арқылы белгілейді.

Кездейсоқ шамалар екі түрлі болады: үздіксіз кездейсоқ шамалар және дискретті кездейсоқ шамалар. Жоғарыдағы мысалдардың соңғы екеуінде үздіксіз кездейсоқ шама, ал қалғандарында дискретті кездейсоқ шамалар қарастырылған.

Біз төменде тек дискретті кездейсоқ шамаларды қарастырамыз.

Егер Х кездейсоқ шамасы х₁,х₂,…,х_n,… мәндерін p₁,p₂,…p_n,… ықтималдығымен қабылдаса, онда Х дискретті кездейсоқ шама деп аталады, яғни дискретті кездейсоқ шамалар тек қана оқшауланған мәндер қабылдайды.

х	Х1	Х2	...	хn	…
р	P1	P2	…	pn	…

Түріндегі кестені Х кездейсоқ шамасының үлестірімдік заңы деп атайды. Барлық элементар оқиғалар ықтималдықтарының қосындысы 1-ге тең болғандықтан, p₁₊p₂+…+p_n =1 теңдігі орындалуы қажет. Мысалы, ойын сүйегін тастағандағы кездейсоқ шаманың үлестірімдік заңы былай жазылады:

х	1	2	3	4	5	6
р

Мысал 1. Лотереядағы 1 ұтыс 1000 теңгеден,10 ұтыс 100 теңгеден және 100 ұтыс 1 теңгеден тұратын болсын. Лотереядағы барлық билеттер саны 10000 болсын. Бір лотерея билеті бар адамның кездейсоқ ұтысы Х-тік үлестірімдік заңын тап.

Х кездейсоқ шаманың мәндері мынадай болады: х₁=0, x₂=1, x₃=100, x₄=1000. Олардың ықтималдығы мынадай болады: p₂=0,01; p₃=0,001, p₄=0,0001; p₁=1-0,01-0,001-0,0001=0,9889. Сонда үлестірімдік заңы мынадай болады

х	0	1	100	1000
р	0,9889	0,01	0,001	0,0001