§2. Біртекті сызықтық теңдеулер жүйесі

Біртекті сызықтық теңдеулер жүйесі жалпы түрде былай жазылады:

a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n =0

a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2nx_n =0 (1)

………………………………

a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mnx_n =0

Сонымен бұл жүйенің оң жағы бірыңғай нөлдерден тұрады.

Біртекті жүйенің әр уақытта шешуі бар болады, ол шешу нөлдік шешу: х₁=x₂=…=x_n=0

Сонымен біртекті теңдеулер жүйесі әр уақытта үйлесімді.

Біртекті теңдеулер жүйесінің шешулерінің мынадай екі қасиетін атап өтейік:

1. Егер x=(x₁,x₂,…x_n) (1) жүйенің шешуі болса, онда кез келген ʎ саны үшін ʎх=( ʎx₁, ʎx₂,… ʎx_n) (1)жүйесінің шешімі болады.

2. Егер x=(x₁,x₂,…x_n) және y=(y_1,y_2,…y_n) (1) жүйесінің шешулері болса, онда олардың қосындысы x+y=(x₁+y₁, x₂+y₂,…x_n+y_n) (1) жүйенің шешімі болады.

Ескерту: (1) жүйенің шешулерін тереңірек зерттеу А матрицасының рангісі арқылы жүргізілетінін айта кетейік.

Дәріс 5-6

векторлар

§1. Векторларға қолданылатын сызықтық амалдар

Кеңістіктегі векторы өзінің үш кординатасы арқылы толық анықталады. Кеңістіктегі векторды кейде үш өлшемді вектор дейді.

Осы вектор ұғымын былайша жалпылауға болады:

Анықтама 1. Реттелген , ..., сандарынан тұратын тізбекті n-өлшемді вектор немесе вектор деп атайды және оны =(, ..., ) символымен белгілейді. Мұндағы санын векторының бірінші координатасы, - екінші координатасы т.с.с. - n-ші координатасы дейді.

Мысалдар

1. Геометриядан белгілі түзүдегі, жазықтықтағы немесе кеңістіктегі векторды сәйкес бір, екі немесе үш өлшемді векторлар болып табылады.

2. n-ші ретті анықтауыштың әрбір жолы мен әрбір бағаны n өлшемді вектор болып табылады.

3. m*n өлшемді матрицаның әрбір жолы n-өлшемді, ал әрбір бағаны m-өлшемді вектор болып табылады.

Анықтама 2. =(, ..., ) және =(,) векторының қосындысы + мынадай теңдеуден анықталады: +=( )

Анықтама 3. =(, ..., ) векторының санына көбейтіндісі мынадай теңдеуден анықталады:

Ескерту. n өлшемді векторлар матрицаның дербес, мысалы болғандықтан ( вектор дегеніміз n*1 матрица) бұл анықтамалар бізге матрицалар тетрисынан белгілі.

« n өлшемді векторды» біз көбінесе қысқаша «вектор» деп атайтын боламыз.

Анықтама 4. Барлық координаттары нөлге тең вектор нөл вектор деп аталады және арқылы белгіленеді :

Анықтама 5. (-1) векторын векторына қарама-қарсы вектор деп атайды және оны арқылы белгілейді : =(-1)

Жоғарыда көрсетілген екі амалға қатысты келесі теңдіктердің орындалатынын тексеру қиын емес:

3. 1*

Жоғарыдағы теңдіктерде кез келген векторлар, ал мен кез келген сандар.

Анықтама 6. Векторларды қосу және векторларды санға көбейту жоғарыда көрсетілген тәсілмен анықталған барлық n-өлшемді векторлар жиынын n-өлшемді арифметикалық векторлар кеңістігі деп атайды және оны арқылы белгілейді.

Анықтама 7. Егер қандай да бір L жиынында оның элементтерінің және оның элементтерін санға көбейту амалдары анықталса және ол амалдар жоғарыдағы 8 қасиетті(аксиоманы) қанағаттандыратын болса, онда мұндай жиынды сызықтық кеңестік деп атайтын боламыз.

Мысалдар.

1)m*n өлшемді матрицалар жиыны

2) c[a,b]