§1. Кері матрица.

Бас диогоналында ылғи 1-лер орналасқан, ал басқа жерлерінде 0 саны орналасқан квадрат матрицаны бірлік матрица дейді. Бірлік матрица Е әрпімен белгіленеді.

Мысал 1.

E= – екінші ретті бірлік матрица.

Кез келген квадрат А матрицасы үшін

АЕ=ЕА=А (1)

теңдігі орындалатыны түсінікті.

Анықтама 1.

А-n-ші ретті берілген квадрат матрица болсын. Егер реті осындай А-1 матрица ушiн А*= *A=E (2)

теңдігі орындалса, онда матрицасын А матрицасына керi матрица дейді.

Теорема 1.

А=()-n-ші ретті берілген квадрат матрица болсын және оның анықтауышы ∆ нөлден айрықша болсын, сонда А матрицасына кері матрица бар және ол мынадай формуламен табылады:

=

…

Бұл жерде дегеніміз элементінің алгебралық толықтауышы.

Ескерту 1.

А-1 матрицасының i-ші бағанында А матрицасының i-ші жолында орналасқан элементтердің алгебралық толықтауыштарын ∆-ға бөлгендегі сандар орналасқанын байқауға болады.

n=2 A= = =, =, =, =, яғни (4)

Мысал 2. A= , ∆= =10, (4) формула бойынша = .

(2) теңдіктерді тексеру оңай.

n=3 A= , ∆=30 ,

==-5, =-=11, = =-13 , =-=-10 ,

==4 , =-=-2 , ==5 , =-=1, ==7

= =

1. Теңдіктердің біреуін тексеру жеткілікті екенін көрсетуге болады.

Теорема 2. (кері матрицаның бар болуының қажетті және жеткілікті шарты). А матрицасына кері матрица бар болуы үшін осы А матрицаның анықтауышы ∆-ның нөлден айрыөша болуы қажетті және жеткілікті шарт.

§2. Матрицаның рангісі

Айталық , өлшемі болатын А матрицасының қалауымызша к жолдары мен к бағандарын бөліп алдық дейік. Сол жолдар мен бағандардың қилысында тұрған элементтер реті к болатын квадраттың матрица құрайды, оның анықтауышы матрицаның к-шы ретті миньоры деп аталады, к-ретті миньорды әріпімен белгілейді.

Анықтама 2. Матрицаның нөлден өзгеше миниорларының ең үлкен геті Z матрица рангісі деп аталады. А матрицаның рангісін Z(A) арқылы белгілейді. Нөлден өзгеше, реті Z миниордың әрқайсысы базистік миниор деп аталады. Матрицаның рангісі m мен m-нің ең кіші мәнінен үлкен болмайды.

Матрицаның рангісін екі түрлі жолмен есептеуге болады:

1. Жиентеме миниорлар тәсілі.

2. Айталық, матрицадан нөлден өзгеше к-ретті миниор табылды делік. Енді осы миниорды қамтитын (жиентейтін) (k+1)-ші ретті миниорларды қарастырайық , егер де олардың барлығы да нөлге тең болса, онда матрица рангісі k-ға тең болады. Керісінше жиентеме миниорлардың арасынан нөлге тең болмайтын (k+1)-ші ретті миниор табылса, онда осы процесс қайталана береді.

Мысал 1. A=

Матрицаның рангісін тап.

Берілген матрицаның бірінші және екінші бағандарын алмастырайық та, бірінші жолды -ге көбетіп үшінші бағанға қосайық, одан кейін бірінші жолды әлдебір санға көбейтіп қалған жолдарға қоса отырып мынадай матрицаға келеміз

Енді екінші жолды -1-ге көбейтейік, одан кейін үшінші жолдан үшке көбейтілген екінші жолды шегеріп, сол силатп екінші жолды екіге көбейтіп бесінші жолдан шегерсен, одан кейін біріңғай нөлдерден тұратын жолдарды сызып тастасақ, матрица мынадай түрге келеді: ( ) олай болса, А матрицаның рангісі екіге тең.

Дәріс 3.

Теңдеулер жүйелерінің үйлесімділігі. Кронекер-Капелли теоремасы.

Крамер ережесі. Матрицалық теңдеулерді шешу.