§1. Аңықталмаған интеграл. Алғашқы функция

Егер F'(x)=f(x) болса, онда F(x) функциясы f(x) функциясына алғашқы функция болады.

Аңықтама. f(x) функциясының аңықталмаған интегралы деп оның барлық алғашқы функцияларының жиынын айтады және оны келесі түрде белгілейді:

∫f(x)dx = F(x) + C

§2. Аңықталмаған интегралдың негізгі қасиеттері және кестесі

Аңықталмаған интегралдың негізгі қасиеттері:

1. (∫f(x)dx)' = f(x);

2. ∫f'(x)dx = ∫f(x)dx = f(x)+C;

3. d∫f(x)dx = f(x)dx;

4. ∫[f(x)+g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx;

5. ∫kf(x)dx = k∫f(x)dx, мұндағы k – тұрақты сан;

6. Егер ∫f(x)dx = F(x)+C және u=ϕ(x) кез келген дифференциалданатын функция болса, онда ∫f(u)du = F(u)+C

§3. Тікелей интегралдау

Аңықталмаған интегралды оның негізгі қасиеттерінің көмегімен және интегралдау кестесінің көмегімен есептеуді тікелей интегралдау әдісі дейді.

§4. Айнымалыны ауыстыру

Аңықталмаған интегралда айнымалыны ауыстыру келесі екі түрдегі аустырудың көмегімен орындалады:

1. Егер x=ϕ(t) үздіксіз дифференциалданатын функция болса, онда ∫f(x)dx интегралын жаңа айнымалы t арқылы келесі формуламен өрнектейміз ∫f(x)dx = ∫f[ϕ(t)]ϕ'(t)dt (1)

2. Егер u=g(t), мұндағы u жаңа айнымалы болса, онда ∫f[g(t)]g'(t)dt = ∫f(u)du (2)

§5. Бөліктеп интегралдау

Бөліктеп интегралдау әдісі келесі формулаға негізделген: ∫udϑ = uϑ - ∫ϑdu, (1)

мұндағы u(x) пен ϑ(x) үзіліссіз дифференциалданатын функциялар.

§6. Аңықталған интеграл

f(x) функциясы [a,b] кесінідісінде аңықталған болсын. Қарастырып отырған [a,b] кесіндісін болатындай кездейсоқ n бөлікке бөліп, әрбір элементарлық кесіндісінен кез келген нүктесін аламыз және осындай әрбір кесіндінің ұзындығын табамыз: . Берілген f(x) функциясы үшін [a,b] кесіндісіндегі интегралдың қосынды деп түрдегі қосындыны айтамыз, сонымен бірге бұл қосындының ақырлы шегі болады, егер әрбір ε>0 үшін ?>0 болатын саны табылып, кез келген таңдап алынған санына болғанда теңсіздігі орындалса.

Аңықтама. f(x) функциясының [a,b] кесіндісіндегі аңықталған интегралы деп, элементарлық кесінділердің ең үлкенінің ұзындығы нөлге ұмтылғандағы интегралдың қосындының шегін айтамыз:

§7. Ньютон – Лейбниц формуласы

Егер F(x) функциясы f(x) функциясының алғашқы функциясы болса, онда

,

Формуласы дұрыс болады. Бұл формуланы Ньютон – Лейбниц фрмуласы дейді.

§8. Аңықталған интегралдың геометриялық мағынасы

Аңықталған интеграл сәйкес қисық сызықты трапецияның ауданына тең болады.

Дәріс 13

Ықтималдықтар теориясы

§1. Кездейсоқ оқиғалар.

Тұрмыста, практикада және ғылымда белгілі бір мақсат үшін жүргізілетін бақылаулар, сынақтар, операциялар, эксперименттер, тағы сол сияқтылар кездеседі. Біз бұл атауларды бір мағынада, синоним есебінде түсінеміз де, оны тәжірибе деген термин есебінде қабылдаймыз. Тәжірибені кейде сынық дейді.

Тәжірибені қайталауға болады. Тәжірибенің мысалдарын келтірейік.

Теңге лақтыру, ойын кубигін (немесе ойын сүйегін) лақтыру (немесе тастау) : кубиктің 1,2,3,4,5,6 цифрларымен нөмірленген алты жағы бар.

Белгілі бір тәжірибеге оның барлық мүмкін болатын нәтижелерінен тұратын Е жиынын сәйкестендіреміз . Е жиынын элементар оқиғалар кеңістігі деп, ал оның нүктелерін элементар оқиғалар дейді.

Мысалдар 1. Тәжірибе теңгені бір рет лақтыру болсын. Элементар оқиғалар кеңістігі Е= {Г,Ц} түрінде болады,мұндағы Г әрпі «герб» түсуін, ал Ц әрпі «цифр» түсуін көрсетеді.

2. Теңгені екі рет лақтырғанда элементар оқиғалар кеңістігі Е={ГГ, ГЦ, ЦГ, ЦЦ} түрінде жазылады.

3. Ойын сүйегін бір рет лақтырғанда элементар оқиғалар кеңістігі Е={ (1),(2),(3),(4),(5),(6)} болып жазылады, мұндағы (2) таңбалауы ойын сүйегінде 2-ге тең ұпайдың пайда болғандығын білдіреді.

4. Ойын сүйегін екі рет лақтырғанда элементар оқиғалар кеңістігі 36 элементтен тұрады: { (1,1),(1,2), … ,(6,6)}

Элементар оқиғалар кеңістігінің әрбір ішкі жиынын кездейсоқ оқиға деп атайды. Мысалы, ойын сүйегін тастағанда Е кеңістігінің ішкі жиынын {(2),(4),(6)} жұп ұпай түсетінін білдіретін кездейсоқ оқиға.

Егер кездейсоқ оқиғаның сынақтың кез келген нәтижесінде орындалатын белгілі болса, онда бұл оқиғаны ақиқат оқиға деп, ал сынақтың ешбір нәтижесінде орындалмайтын оқиғаны жалған оқиға деп атайды.

«Оқиға» ұғымына байланысты анықтамалар келтірейік.

1. Егер кездейсоқ оқиғаның сынақтың кез келген нәтижесінде орындалатын белгілі болса, онда бұл оқиғаны ақиқат оқиға деп, ал сынақтың ешбір нәтижесінде орындалмайтын оқиғаны жалған оқиға дейді.

Мысал 1. Мысалы ойын сүйегін бір рет тастағанда бірден кем емес ұпай түсуі – ақиқат, ал 7-ден кем емес ұпай түсуі – жалған оқиға.

2. Егер сынақ кезінде оқиғаның орындалатын не орындалмайтыны белгісіз болса, онда мұндай оқиғаны кездейсоқ оқиға дейді.

Мысал 2. «А₆ – ойын тасын лақтырған кезде 6 ұпай түсу» оқиғасы болсын. Бұл кездейсоқ оқиға.

3. Бір сынақ нәтижесінде қатар орындалуы мүмкін емес екі кездейсоқ оқиғаны өзара үйлесімсіз оқиғалар деп атайды. Ал өзге оқиғаларды, яғни сынақтың қандай да бір нәтижесінде қатар орындалуы мүмкін оқиғаны үйлесімді оқиғалар деп атайды.

Мысал 3. Сынақ: ойын тасын бір рет лақтырамыз. «А – 4 ұпай түсуі» оқиғасы, «В – жұп ұпай түсу» оқиғасы. А мен В оқиғалары үйлесімді оқиғалар.

Мысал 4. Сынақ: теңгені бір рет лақтыру. « А – гербтің түсуі», «В – цифрдің түсуі.» Бұл оқиғалар үйлесімсіз.

Мысал 5. Ануар Байжанбаевтың мысалы үйлесімсіз оқиғалар.

4. А және В оқиғаларын қарама –қарсы оқиғалар дейміз, егер қарастырылып отырған сынақ кезінде олар үйлесімсіз болса және А және В оқиғаларының ең болмағанда біреуі орындалатын болса, А оқиғасына қарама –қарсы оқиғаны арқылы белгілейді.

Мысал 6. Сынақ: теңгені лақтыру. « А – гербтің түсуі», «В – цифрдің түсуі» Бұл оқиғалар қарама –қарсы оқиғалар : A= немесе =В.

Мынадай сұрақ туады: Сынақ кезіндегі кездейсоқ оқиғаның пайда болу мүмкіндігін өлшеуге бола ма? Осы сұраққа жауап іздеген кезде ықтималдық ұғымы пайда болады.