§2. Векторлардың скалярлық көбейтіндісі және оның қасиеттері.

Кеңістіктегі және векторының скаляр көбейтіндісі мынадай формуламен анықталатыны белгілі : =

Осы формулаға ұқсас жолмен n-өлшемді =(, ..., ) және =(,) векторларының скаляр көбейтіндісі мынадай формуламен анықталады:

= (1)

Скаляр көбейтіндінің мынадай қасиеттері бар:

3. (

4. және сонда және тек қана сонда0 егер болса.

Бұл жерде кез келген n-өлшемді векторлар, ал сан.

Анықтама 1. n өлшемді =(, ..., ) векторының ұзындығы мынадай формуламен анықталады: =. =екені түсінікті.

Анықтама 2. және n-өлшемді векторлардың арасындағы бұрыш мына теңдікпен анықталады: , бұл жерде 0деп есептейміз.

§3. Евклид кеңістігі.

Сызықтық кеңістікте вектордың ұзындығы немесе екі вектордың арасындағы бұрыш ұғымдары жоқ. Бұл ұғымдар сызықтық кеңестіктің дербес түрі болып табылады, евклид кеңестігінде бар болады. Евклид кеңестігін анықтаудан бұрын скаляр көбейтінді ұғымын анықтайық.

Анықтама 1. L сызықты кеңістікте скалярлық көбейтінді анықталған дейміз, егер L-дегі кез келген екі вектор х және у үшін (x,y) арқылы белгіленетін нақты сан сәйкес қойылым және кез келген x, y, z векторлары үшін және кез келген нақты саны үшін осы сәйкестік мынадай шарттарды (аксиомаларды) қанағаттандыратын болса:

1. (x,y)=(y,x)

2. (x+y,z)=(x,z)+(y,z)

3. (

4. және сонда және тек қана сонда, егер х=0 болса.

Мысалы

1. де кез келген көбейтінді

2. C[a,b] (f,g)=

Анықтама 2. Егер L сызықтық кеңестікте скалярлық көбейтінді анықталған болса, онда оны евклидтік кеңестік дейді.

Анықтама 3. Евклид кеңестігідегі х векторының ұзындығы мынадай формуламен анықталады : , ал х пен у векторының арасындағы (0) бұрышы теңдіктен табылады.

§4. Сызықты тәуелді және тәуелсіз векторлар жүйелері

Анықтама 1. берілген сандар, ал , ..., берілген векторлар болса, онда векторын , ..., векторларының сызықты комбинациясы дейді.

Анықтама 2. , ..., векторларын сызықты тәуелсіз векторлар жүйесі дейміз, егер барлығы бірдей ноль болмайтын сандары табылып =0 теңдігі орындалатын болса; егер =0 теңдігінен әр уақытта ==…==0 теңдігі шығатын болса, онда мұндай векторларды сызықты тәуелсіз векторлар жүйесі дейміз.

Сызықты тәуелділік пен тәуелсіздіктің мынадай қасиеттерін атап өтейік.

1) Егер , ..., векторларының арасында нөлдік вектор болса, онда бұл векторлар жүйесі сызықты тәуелді болады;

2) Егер сызықты тәуелді болатын , ..., векторлар жүйесіне бірнеше ,векторларын қоссақ, сонда пайда болған , ..., , , векторлар жүйесі сызықты тәуелді болады;

3) Берілген векторлар жүйесі сызықты тәуелді болуы үшін, осы векторлардың ең болмағанда біреуінің қалғандарының сызықты комбинациясы болуы қажетті және жеткілікті болады.

4) Жазықтықтағы екі коллинеар вектор сызықты тәуелді болады және керісінше екі сызықты тәуелсіз вектор коллинеарлы болады.

5) Әрбір үш коллинеар вектор сызықты тәуелді болады және керісінше үш сызықты тәуелді вектор компланарлы болады. Кеңістіктегі әрбір төрт вектор компланарлы болады.

§5. Ортогональды векторлар жүйесі

Анықтама 1. және векторларының скаляр көбейтіндісі нөлге тең болса, онда бұл векторларды ортогональ векторлар дейміз.

Нөл вектор кез келген векторға ортогональ болатыны түсінікті.

Анықтама 2. , ..., векторлар жүйесін ортогональ жүйе дейміз, егер бұл векторлардың кез келген екеуі ортогональ болса, яғни ()=0, егер i+j болса.

Анықтама 3. , ..., векторлар жүйесін ортогональды дейміз, егер олар ортогональ жүйе бола және мұндағы әрбір вектордың ұзындығы бірге тең болса.

Ортогональ векторлар жүйесінің кейбір қасиеттерін келтірейік:

1) Ортогональ векторлар жүйесі сызықты тәуелсіз жүйе болады

2) кеңістігіндегі векторлар жүйесі оргональды жүйе құрайды.

Осы векторлар жүйесін диагональды жүйе деп атайды.