RIII_OCR[6]

А3-12.3

J. Найти область сходимости каждого из следующих

рядов:	f' х"			б)	f'				n
а)	L	(n+I).2'"			L	П:I (~);
	1/=0				11=1
в) \,~.							411 х"
	L	n~+ 1	'	г)	L З"-V(п+I)3 '
	п~O				1/=0
д)	\'	(х +	2)" .	е)		2t1 -	l x2 (n-l)
	L	(2п-	1).4'"		11=2L ~
	,,=1

(Ответ: а) -2~.«2; б) -1 <х< 1; в) -1/2~x~

~1/2;r) -3/2~x~3/2;д) -8~x<2;e) --{2/2~

~x~-{2/2.)

2.Найти область равномерной сходимости следующих

рядов:

а) \'	sin пх ;	б) \'	cos пх .
L	n!	L	211
11=0		11=1

3. Применив ПОЧ.lенное интегрирование и дифференци­

рование, найти суммы указанных рядов:

	а)	\'~;		б)				n
		L	li		L (n + I)x				•
		//=1			r/=1
(	Ответ: а) -lп(l-х)(-I~х<I);					б)		1	(lxl<I))
							(х- 1)"		.
				Самостоятельная работа
	J.	1.	Найти	область сходимости		ряда		L	5"~
								//=2
(Ответ:			- ~ ~ х < ~ .)
		2.	Найти	сумму ряда ~ + 2,		+ 2.i		+... + ~ll + ...
				х	X~		x		x
(	Ответ: __х_, (1.<1> 1).)
			(х- 1)-

22

2. 1. Найти интервал сходимости ряда \' 2"(х- 3)"

L 5"-";/!'-0.5

п=!

11 исследовать сходимость на концах этого интервала. (От­

вет: (1/2; 11/2). ряд сходится при х= 1/2 и х= 11/2.)

2. Найти область сходимости ряда

f/=I

3. 1. Найти интервал сходимости ряда L 1ОПхN - I И

11=1

исследовать сходимость		на концах этого интервала. (От­
вет: (-[/10;	1/10). ряд расходится при x=+I/IO.)
2. Найти	область	сходимости ряда L 7,.
		11=0

12.3. ФОРМУЛЫ И РЯДЫ ТЕЙЛОРА И МАКЛОРЕНА.

РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

Если функция у =

[(х) имеет производные в окрестности точки х = хо

до

(п +

1)-го

порядка

включительно,

то существует

точка с = Ха +

+ О(х -

ха) (О < О <

1), такая, что

{'(хо)

["(хо)

,

+... +

f(x)=f(xa) + -1-'-(х- ха) +

-2-!-(х - Ха)'

+

{(")(Хо)

"

+ R,,(x}.

(12.12)

-п-'-(х-хо)

где

R,,(x) =

f("+I)(C)

"+1

(п + I)!

(х- хо) .

Формула

(12.12)

называется фор~tулой Тейлора функции

У = [(х)

для точки Ха. Rn(x) -

остаточным членом формулы Тейлора (J форме

Лагранжа. Многочлен

.

f'(хо) .

Ха)

{(п) (Хо).

. n

Р,,(х) = {(Ха) + -1-'- (х -

+... + -п-!- (х

- .(0)

называется J.tНогочленом

Тейлора

ФУНКIЩI( У =

{(х).

(12.12):

ПРl1

Ха =

О приходим

К частному случаю формулы

f(x)=f(O)+

f'I(~)

х+ {'~\O) х2

+... +

{(';:;О) xn+R,,(x},

(12.1:3)

{СП +1) (е)

где

R,,(x) =

х";

с=Ох (0<0< 1).

(n+I)'

Формула (12.13) называется формулой Маклорена функции y=f(x).

23

Пример 1. Разложить по степеням разности х - 1 функцню У =

=х4 - зх2 + 2х + 2.

~Для того чтобы воспользоваться формулой Тейлора при Хо = 1,

найдем:

y(I)=2, у'(I)=(4хЗ-6х2+2)IХ~1 =0,

у"(1) = (12x2 - 12х) IX~ 1 = О, у'" (1) = (24х - 12) IX~ 1 = 12, yIV(I)=24, у\!(х) = О

ит. д.

Следовательно,

+ 2х + 2 =

2 + 2(х -

1)' + (х - 1)'.

х' -

3х2

~

Пример 2.

Записать

многочлен

ТеЙ.l0ра

функции

у =

~ в

точке

х

хо =

1.

~

Находим

производные

данной функции и

их значения в

точке

Хо= 1:

y(x)lx~1 =

1,

y'(I)= -

~I

=

-1,

х

х=]

Y"(I)=~I

=2,УШ(I)=~1

=-6,

х

х=]

Х

х=]

_ _ " ,

у'

v

1 • 2 . 3 . 4

I

_

(n)

_

_

"

~ I

(1)=

XOx~1 -24, ... , У

(1)-(

1)

х,,+1

x~1 - (

1) п..

СледоваTeJ) ьно,

(х- 1)

2

2

6,

,

P,,(x)=I---I!-+2Т(х-l)

- 3'(X - I)

+... ,

+ (-I)"4(x-I)" =

I - (x- I) + (x_I)2_ (X-I)' +... + (-I)"(x-I)".

n.

Остаточный член формулы Тейлора для данной функции имеет вид

R (х) - ( _

1)" + 1

(х -

1)" + )

(О < О < 1).

~

,, -

(1

+ Щх - 1))"+2

Сформулируем условие разложимости функции в ряд Тейлора. Если

функция f (х) дифференцируема в окрестности точки

хо

любое

число

раз

и

в некоторой окрестности этой точки

lirn R,,(x) =

О или

(,,+I)

О(

»

n~OO

lirn

f

(ха+

х-хо

(X-X),,+I=O

(12.14)

n~OO

(n +

1)'

о,

то

f(x)=

f(xo) +

f'(x)

f(")(xo)

(х -

ха)n+...

(12.15)

-I-'o-(X -

Хо)+ ... + - n --

I

в

частности, при

ха =

О

f(x)=[(O)+ f'(~)

х+ ["2(1°)

х2

+... + [(n)\о)

х"+...

(12.16)

1.

n.

Ряд (12.15) называется рядом Тейлора, а ряд (12.16) - рядом Маклорена.

24

Условие (12.14) является необходимым и достаточным для того, чтобы ряд, построенный по схеме (12.15) или (12.16), СХОДИ,lСЯ к функции f(X) в некоторой окрестности точки х = хо. В каждом конк­

ретном случае необходимо находить область сходимости ряда к данной функции.

Пример 3. Разложнть в ряд МаКJIореlJа ФУIJКЦИЮ ch х и найти об­

ласть,

в которой ряд сходится к данной ФУIJКЦИИ.

~

llаХОДIJМ производные функции f (х) = ch х, f' (х) =

sh х,

f" (х) =

=

ch х,

f"'(x) =

sh х, ...

Таким образом, f'"

(х) =

ch х, если

n -

четно<,.

и

f(")(x) =

sh х,

если

n -

нечетное.

Полагая

хо =

О, ПО"lучаем:

f(O) =

1,

{' (О) =

О,

{" (О) = 1,

['" (О) = О, ... ,

f(")(O) = 1

при

n четном

и ['n)(О) =

О

при n иечеТIIОМ. ПОДСТ<JВН~' найденные производные в ряд (12.16).

Имеем

(1)

Воспользовавшнсь УС"10вием (12.14), опреде.llJМ интервал, в котором ряд (1) сходится к данной функции.

Если	n -	нечеТIJое, то
			хn + ]
		Rn (х) = -- ch Ох,
		(n+I)'
если же	n -	четное, то
		Rn(x) =	хn+ I
			sh ах.
		(n	+ 1)'

Так как 0<0<1, то IchOxl=(e()x+e-оХ)/2~е:" и IshOxl~eixl.

Значит,

1 1"+'		е Ix l.
1 Rn(x)1 ~ _х__
(n+I)!					хn + !
	4 из		12.2,	lim
Но, как было установлено в примере					--- = О при
			R" (х) =	n~OO	(n + I)!
любом х. Сlедовате.1ЬНО, прн .1юбом х	Iim			О и	ряд (1) сходит-

Il~OO

ся к функции ch х. ...

Аналогично можно получить разложения в степенные ряды многих

других функций:

	х	х2	х,1
е' = 1 +	- , +	-2' + ... +	- , + ... ( - 00 <х< 00), (12.17)
	1.	.	n.
х2	х4		x2~

cosx=I - 2i+4i - ... +(-I)" (2n)! + ... (-00<x<00),(12.18)

.	хЗ	х 5				n _] х2 n - ]
SIПХ=Х--+-, - ... +(-1)						(2 ,+ ...
	3' .5					n-I).
	( -	00	< х <		00),	(12.19)
	х2		хЗ		... +	х"
Iп (1 +х)= х -""""2 +"3 -						(_1)"-'-;;- + ...
	(-1 <x~ 1),					(12.20)
		т		m(m -1) n
	(l+x)'''=I+IТx+				2!	х-+ ... +

25

+	_m-c(,-m_-_I-,-)'_"(,;-m_-_n_+-,--I:.-.)	"	+...	(' .	1)	.	(12.21)
	n!	х		-,<х<

Для каждого случая в скобках указана об.~асть, в которой сте­ пенной ряд сходится к соответствующей функции. Последний ряд, на­

зываемый биномиальным, на					концах интервала сходимости ведет себя
по-разному	в	зависимости		от	т Е R:	при	т? О	абсолютно	сходится
в точках х =	±	1; при -	1 < т < О расходится в точке х = -						1 н услов­
fЦ) сходится в		TO'IKe х =	1;	при т ~ -		1 расходится в точках x~'± 1.
в общем случае разложение в степенные ряды основано на использо­
ваНИlI рядов		Тейлора	или	МаКJlорена.			Но на	практике	степенные

ряды многих функций можно найти формально, используя ряды (12.17) - (12.21) или формулу для суммы членов геометрической прогреССI!И. Иногда при разложении полезно пользоватьСя ПОЧ,lенным дифференциро­ ванием или интегрированием рядов. В интервале сходимости ряды схо­

дятся к соответствующим функциям.

Например, при разложении в степенной ряд функции cos -гхв фор­

мулу (12.18) вместо х подстаВ.lяем			,Гх. Тогда
_Г	х	х2	х"
cos ~vx= 1 - -	2!	+ -- ... +( - 1)" -- + ...
		4!	(2n)1

Полученный ряд сходится ври любых х Е R. но следует помнить, что

функция cos -гхне определена нри х < О. Поэтому найденный ряд схо­

дится к функции cos -гхтолько в полуинтервале О ~ х < 00.

Аналогично можно записать степенные ряды ФУНКlщй [(х) = е- 2Х

и ((х)= siпх:

х
~<~x	2х	4х2	8х \	It 2f1 х,1 I

е=I--I-! +21 - 31+···+( - 1) -,-/!-, ... ,

sin х	х2	х1	n - l x211-~	+...
-х- = 1- з! + 51 - ...			+(-1) (2n-I)!
П'ример 4.	Разложить	в ряд	Маклорсна фУНIЩИЮ f (К)

з

(1 - х) (1 + 2х) .

~ Разложим данную функцию на сумму простейших рациональ­ ных дробей:

з	I	2
(1 - х) (1 + 2х) = т=х- + 1 + 2х .
I-х	L х" (Ixl < 1).		(1)
	n=O
I +2х	L (-I)"2"x"	(i2x l< 1),	(2)
	fl -=0

2б

то

	(l-x)(1 +2х)		L х" + 2 L (- 1У'2"х" =
3
			n=о	11=0
	= L (1 +(-1)"2"+ ')х".					(3)
	n=о
Так каи ряд (1) сходится			пр!! Ixl < 1, а		ряд (2) -	при Ixl < 1/2,
то РЯД (3) сходится к даниой			функции	при	Ixl < 1/2...
Пример 5. Разложить В			стснеииои	ряд	функцию	Т(х) = arctg х.

~Очевидно, что

1,=I_x'+X'_XIi+ ... +(_I)"~'X2(,,~,)+ ...

1 -(-г)

По.1УЧСflliыii ряд сходнтся BHYTPIl отрезка 1- 1; 1], ЗIJ3ЧИТ, его

можно почленно liнтегрировать на любом отрезке 10; х] с ( - 1; 1).

СJlедоваТСМ,IЮ,

х	х	O<J
~ -1-~-t-2d/ =	~	L(-1)" ,((("~I)dt,

1)IJ 1/=1

	00	2,,-·'
	arctg х = L
		( - I)"~' _,_У-- ,
		2n-1
	1/=1
	Т. С. ПО.1УЧИ,lИ ряд, сходящиiiся	к данной Функцни при Ixl < 1, ..

АЗ-12.4

J. Разложить по степеням х + 1 многочлен {(х) =

=х3 - 4х4 + 2х3 + 2х + 1.

2.Разложить в ряд по степеням х функцию у = _1_,

х+1

непосредственно используя ряд Л1аклорена.

3.Разложить в ряд по степеням х указанную функцию

инайти область сходимости полученного ряда:

	а)	е-,\2 ;			б)	х cos 2х;		в)	1/.)4 x~;
	г)	агсsiп х;			д)	3х+ 5		е)	cos	2	х.
							'
						х2 - 3х +2
4.		Разложить в ряд по степеням х + 2 функцию f(x) =
		1
	х' + 4х + 7								lп (2 + х) в ряд
5.		Записать			разложение функции			у =
по степеням 1				+х.

27

б. Найти первые три члена разложения в степенной ряд

функции, заданной уравнением ху + ~ = у, если известно,

что у = 1 при х = О. (Ответ: 1 + 2х+ ~

х2 +...)

Самостоятельная работа

", 1.

1.

Найти

первые

три члена

разложения

функции

{(х) =-{; в ряд по степеням х -'4.

f(x) =

2.

Разложить

в

степенной

ряд

функцию

= 'п (1 -

3х) и

найти

область

сходимости

этого

ряда.

(Ответ:

-1/3::::;;: х < 1/3.)

2.

1.

Найти

разложение в

степенной

ряд

функции

f(x) =

х sin 2х.

f(x) =

2.

Разложить

в

степенной

ряд

функцию

(1

3

u

б

ласть сходимости этого

ряда.

+ х) (1 _ 2х)

и наити о

(Ответ: Ixl < 1/2.)

суммы х + 1 многочлен

3.

1.

Разложить

по степеням

f(x) =

х4

+ 3х3 -

6х2

+ 3.

f(x) =

2.

Разложить

в

степенной

ряд

функцию

= 'П (1 + 2х) и

найти

область

сходимости

этого

ряда.

(Ответ: - -} < х::::;;:-}.)

12.4. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ В ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ

Вычисление значений функции. Пусть дан степенной ряд функции у = {(х), Задача вычисления значения этой функции заключается в оты­ скании суммы ряда при заданном значении аргумента. Ограничиваясь определенным числом членов ряда, находим значение функции с точ­

ностью, которую можно устанавливать путем оценнвания остатка число­

вого ряда либо остаточного члена Rn(x) формул ТеЙ,10ра или Маклорена.

Пример 1.		Вычислить Iп 2 с		точностью 6 =0,0001
~	Известно, что степенной			ряд
	Iп (1	х2		i~		хn
		+х)=х- 2	+:3 - ...			+(-I)n-'7z +	(1)
при х =	1 сходится ус,товно		(см. §		12.1,	пример 8). для	того чтобы
вычислить Iп 2		с помощью ряда		(1)	с точностью 6 = 0,0001,		необходимо

взять не менее 10000 его членов. Поэтому воспользуемся рядом,

который	получается	в	результате вычитания степенных рядов функ­
ции Iп (1	+ х) и Iп (1	-	х):
			(2)

28

При 'хl < 1 ря,J, (2) сходится абсолютно, так как его радиус

сходимости R = 1, что легко устанавливается с помощью признака

Д'Аламбера.

I+х

Поскольку "'I'=X'"2 при х = 1/3, то, подставив это значение х

в ряд, получим

IП2=2(~+_I_з +-1-5 + ...

+---~.,-, + )....

3

3·3'

5·3

(2n-I)3'n-

Для вычисления 'П 2 с заданной точностью необходимо найти такое

число n членов частичНой суммы S", при

котором сумма остатка

Iг,,1 <

< б. В иашем случае

fn=2C2n+I~.32"+'

+

(2n+3~.32n+J

+..)

(3)

Поскольку числа 2n +

3, 2n + 5, '"

больше, чем

2n +

1. то. заменив их

на 2n + 1. мы увеличим каждую дробь в формуле

(3). Поэтому

г

,.

<

2

(1

+

1

)

=

2n + 1

з2,,+1

зZn+J

+ ...

=

2

(

1

1

)

(2n+I).32n+1

1+9+81+'"

=

2

1

(2n+I).3Z"+' 1-1/9

4(2n+I)·3 Zn - 1

Путем подбора значений n находим, что

для n = 3 г" < 0,00015,

при этом Iп 2 = 0,6931. ....

Пример 2. Вычислить -гес точностью б = 0,001.

~Воспользуемся разложением в степенной ряд функции еХ (см.

формулу 12.17),

в котором примем

х =

1/2.

Тогда

получим

_Г

1

1

1

-уе= 1 +

-- +

-- 2 + ... +

-- " + ...

2

2!·2.

n!·2

Остаток этого ряда

1

----------~< ---------

2"'= (n+I)!.2 n '

(n+k)!.2,,+k

(n+I)!.2"

k=1

k=1

так как (n+I)I«n+2)!< ... При

n=4 г

< -1-<0001

n

5!

.24

' .

Следовательно,

1

1

1

1

е

1(2

~ 1+

-

+

-- +

-- +

-- ~ 1 674.

2

8

48

384

'

Для определения числа членов ряда, обеспечивающих заданную точность вычисления, можно воспользоваться остаточным членом форму­

лы Маклорена

еОХ

Rn (Х) = (n+I)! х"+', r,J,e 0<0< 1; Х= 1/2. Тогда при n=4

29

1 )1	2(1/2)"+ 1
1R" (2"	< (п	+	I)!	< 0.001 ....
Пример 3. Вычислить	sin -}	с	точностью б = 10-3.

~Подставим в формулу (12.19) значение х = 1/2. Тогда

SiП-21=-21 __I_з+		10 _ ... +(_1),,-1	1+'"
'.	3! . 2	5! + 2'	(2п- I)! . 2'''-
Та"	"а" остато" Зlrакочередующеr'ОСЯ ряда		Ir"1 ~ U"t-I (см. ряд

(12.6) и следствие из призна"а Лейбница), то достаточно наНтн первый

член и,,+", для

"оторого и"+" < б. Тогда S" даст значение фун"цни тре-

буемой точности. Очевидно, что уже третий

член

1

3

,

ряда ---о < 10-

б = 10-3

5!·2·'

поэтому с точностью

.

1

1

1

~ 0,479....

slП 2" ~

2" -

48

Пример 4.

Вычислить VЗ4 с точностью б =

10-3.

~ Очевидно, что ;jЗ4=

'У32 +

2 = 2(1 +

1/16)11:'.

Воспользуемся

биномиальным

рядом

(см. формулу

(12.21)

при

т =

1/5,

Х= 1/16:

1

(6'+

+(+ - 1)(+ - 2) _1_

+ '"

=1

~

I_

=

+

3!

16'

+

80

3200 +

.. ,

=

1 +0,0125 -

0,0003 + ... ~ 1,012,

пос"оль"у уже

третий член можно отбросить в си.~у того, что он

меньше б =

10-3 (см. следствие из признака Лейбница). Следовательно,

-Vз4= 2(1 +

1/16) 11" ~ 2,024 ....

Вычисление интегралов. Та" "а" степенные ряды сходятся равно­

мерно на любом отрезке, лежащем внутри их иитервалов сходимости, то с помощью разложений фУН"ЦИЙ в степенные ряды можно иаходить неопределеиные интегралы в виде степенных рядов и приближенно

вычислять соответствующие определениые интегралы.

						I
	Пример 5.		Вычислить			\ sin (x2)dx с	точностью б =		10-3.
						О
	~ ВОСПОJlьзуемся				формулой (12.19). Заменив в ней				х	на х', полу­
чим	ряд
	.	2	.2		хб	x lO	,l~[	х4f1 - 2		+ ...
	ып (х ) = х			-	3t	+ 5! - ... +	( - 1)	(2п _ I)!
Он	сходится		на	всей	числовой прямой, поэтому его можно всюду
почленltО		интегрировать. Следовательно,

30

I	I
~	sin(x2)dx= ~(x2_ ;~ + ~!O	4n	2
		_ ... +(_1)"-1 (2хп _-	I)! +...) dx=
v	О

(хЗ х 7 х" х'''-I )11

=Т-7-3!+rт-:Б!-···+(_J)n-1 (4n-I)(2n-I)! +... 10=

1	1	1	,,_1	1	+... ;:::;
=З-7-3!+rт-:Б!-···+(-I)				(4n-I)(2n-I)!
	1	1	0,3333 - 0,0381 = 0,295,
	;:::; 3 -	7-3! =
поско,~ьку уже третий член полученного знакочередующегося DЯД3
меньше 6 =	10- 3.....		r sin х
Пример	6. Найти			в виде степенного	ряда и
		интеграл) - x - dx

указать область его сходимости.

~ Воспользuвавшись формулой (12.19), IJОЛУЧИМ ряд для подын­

теГРi1льноtl функцни

1	х2 х4		х'2l1- 2
-siпх=I--, +-5' - ... +(-IГ 1		(2	n	_1)1 + ..
х	з..			.

Он сходится на !!сей числовой прямой, и, следовательно, его можно

почленно интегрировать:

( sin х		З	х"
	х -	х
) -х- dx = С +		"3.3! +	5:5! - ... +
+ (- I)n (2п _		х'2l1- I	I)! +..'
		1) (2п _

Так как при интегрировании степенного ряда его интервал схо­

димости не изменяется, то IJолученный ряд сходится также на всей числовой прямой. ....

Приближенное решение дифференциальных уравнений. В случае, когда точНо проинтегрнровать дифференциальное уравнение с помощью

элементарных функций не удается, его решен не удоБНо искать				в Вllде
степенного ряда, например ряда Тейлора или Маклорена.
При решении задачи Коши
	у' = {(х, у), у(хо) = уо,			(12.22)
используется	ряд Тейлора
		(")(х)	Хо)",	( 12.23)
	у(х)=	JL_,_O_(x -
		fl.
	fl=O
где у(хо) = уо,	у' (Хо) = {(хо, уо), а	остальные	производные У(n)(Хо)	(Il = 2,

3, ... ) находятся путем последовательного дифференцирования уравне­

ния (12.22) и подстаНОIJКИ начальных даl1НЫХ в выражения для этих

производных.

Пример 7. Найти пять первых членов разложения	в степенной
ряд решения днфференциального уравнения !I = х" + у2,	если у( 1) = 1

31