RII_OCR[1]

11.23. r	E~
	-ytg- 3х	dx.
J	со52 3х
11.25. r	dx	•
J 5in2xVctg4 х
11.27. r tg6 2x		dx.
J	C052 2x
11.29. c~ dx.
J	51Л Х

12.1. r ';arctg6 3x dx.

J 1 + 9х2

12.3. rarcco52 3х .dx:

. J ';1 _ 9х2

12.5. ~ Varcco52 х dx.

-F+?

12.7. r arcco53х dx.

J ';1 - 9х2

12.9. rarC5in 5 2x dx.

J.)1-4х2

12.11.r arCC053 2x dx.

J ';1 - 4х2

12.13.r arccos 4х dx.

J~2

12.15. rarc5in 3 2хdx.

J~

12.17. r-\larctg ~xdx.

J 1 +4х

12.19. r';агсtgЗ хdx.

J ·1 +х2

	11.24.	~	';ctg3 5х dx.
			5in 2 5x
	11.26. ~		dx'
			co5 2xVtg2х .

11.28. c~ dx.

J 51П Х

12

12.2. r ~dx.

J~

12.4. r arcco5 tgЗ 2х dx.

J 1 + 4х2

12.6.

~~

12.8. r varctg~ х dx.

J 1 +х

12.10. ~		dx
		.)1 _х2 arcsin 4 х .
12.12. r arcctg7 3x			dx.
J		1 + 9х2
12.14. r arc5in 4 х			dx.
J		.)1 _ х2
12.16. r		dx		•
J(1 + х2) arctg7 х
12.18. rarccos6 3хdx.
J		1 + 9х2
12.20. ~		dx

51

12.21. r			dx	' .
J(1 +х2) arctg5 х
12.23. r
		Varccos 2хdx.
J ";1 _ 4х2
12.25. r arcsin			2	dx.
			5x
J ";1 -			25х2
12.27. rarctg8			3хdx.
J 1 +9х2 .
,	с;г-:-3
12.29. r	-yar{;t g: х dx.
J	1 +х

13

12.24. rarcctg4 5х dx.

J 1 + 25х2

12.26. r	dx	.
J ";1 -	25х2 arcsin 5х

12.28. r arccos27xdx.

. J ";1 - 49х2

12.30. rarcctg4 8хdx.

J 1 + 64х2

13.1. r x~x .	13.2.	r xdx			13.3. r x 2dx .
J е 3х +4		Je	xl	+ 3 ~	Jе	ХЗ	+ I

13.4. ~ еСО' Х sin xdx.

13.6. r sin хdx.

J eCOS х

13.8. ~ ез-х'хdх.

13.5. ~ е2х3 - 1x2dx.

13.7. ~ е7Х'+2xdx.

13.9. ~ е4х'+Бхdх.

13.10. ( .		dx	.	13.11. ~ e5X'-3хqх.
J~earcsinx
13.12. ~. еl		-4х'xdx.		13.13. ~ еЗХ'+4хdх.
13.14. ~	esinx+1		cos xdx.	13.15.	e4 - x 'xdx.·
13.16. rel g X _ 1_dx.				13.17. ~	e3cosx-t:2 sin xdx.'
J		cos2	х	13.19. ~ e5x'-3 xdx.
13.18. ~	e4sinx-1 cosxdx.
13.20. ~ e5- 2x'xdx.				13.21. ~ е4 -зх'хdх.
13.22. ~	eC~' 2х sin 2xdx.			13.23. ~	el - 6x'xdx.
13.24. ~	e-<3+ 1X 2dx.

13.29. r x~x .	13.30. e4- 5x'xdx.
J е2х +1

·52

14.1. r \- 1 dx.
J 7х +4
14.3. r2~+ 1 dx.
J 5х +				1
14.5. Jr23хх2-+72 dx.
14.7. r 5;+-х					dx.
J 3х +				1
14.9. r 2х -			3 dx.
J -у'х2			+ 9
14.11. r х -				1 .
J	5-2х2dx
14.13. r	2x				3	dx.
		2+
J5x		+2
14.15. r x-3 2dx.
J	1-4x
14.17. r 5~-2 dx.
J	х		+9
14.19. r 1 -					2х		dx.
J	-у'3х2				+ 2
14.21. r.2х-3 dx.
. J	-у'4		_		х2
14.23. r3х + 4 .
J	5-2х2dx
14.25. r 5х + 2 dx.
J	-у'х2 + 9
14.27. r х-				52dx.
J8-4x
14.29. r 3х+ 2							dx.
J	-у'2х2				_		1

14

14.2.( 1 :;- 2х dx.

J 5х -1

14.4. (~dX.

J х2 + 4

14.6. ( 52- Х dx.

J 3х + 1

14.8. (и,dХ.

J 7х2 + 3

14.10. Jr33хх2-+21dx.

14.12. (2X+ 3 dx.

J 1-3x2

14.14.( \ - 3 dx.

J 4х + 1

14.16. (3x-~dx.

J 4-х

14.18. rш,dх.

J 5х2 +1 .

2х

14.20. ~~dx.4 .

х + 16

14.22. ( 2х- 1 dx.

J -у'5 - 3х2

14.24. (3х-3 dx.

J"-\j1_x 2

14.26. (~dx.

J х - 8

14.28. (~dx.

J 7х +3

14.38.( -Rdx.

J 4 - 9х2

Решение типового варианта

Найти неопределенные интегралы (в заданиях 1-5

результаты интегрирования проверить дифференциро­

ванием) .

1.)rз- 2хv;4 +-Vx2dx.

~ Разделив числитель подынтегральной функции на

знаменатель и использовав второе и третье правила инте­

грирования, а также таблицу основных неопределенных

интегралов, получим

~3 ~2:V-/ -vx2 dx =					3 ~X- / dx - 2 ~ X15;4~X+~X /					12	dx =
					1 4				5
= 4хЗ/4			_~XI9/4 +~XI7/12 + С =				4_4~з _~_4Q9 +
			19		17		ух		19'Vx .
					+ :; '{гх'7+ с.
	Проверим полученный результат:
(	4хЗ/4	_~X19/4 +~XI7/12 + с)' =					4 '~X-l/4 -~ Х
			19		17		4		19
	Х ~XI5/4 +~.!2x5/12 = зх- 1/4						_ 2X 15/ 4+ X5/ 12 ...
		4		1712						.
	2.	r	dx		•
		)--v (4		8х?
	~	r	dx		=( (4-8x)-2/5dx= __5_(4_8х)З/5+
		) \/(4 _ 8х)2			)				8·3
								+ с.
				+ С = - :4-{/(4 -			8х)3
	Выполним проверку результа га:
(	-~(4 - 8х)3/5 + с)' = -~~(4 - 8хГ2/5(-8) =
	24				24 5
					= (4 - 8хг2/5. ...
	3.	~6~\X.
		(	dx		1		.
	~ )6-7Х= -уlп 16-7xl						+с.

54

Проверим полученный результат:

( - -} In 16 - 7хI + с)'= - -} 6 ~7х • ( - 7) = 6 ~7х' ~

4.~ cos (2 - 5x)dx.

~~СОS(2-5х)dх=-+siп(2-5х)+С.

Выполним проверку результата:

		1	(2 -		-1.)'	=		1 .	5х)· (-5) =
	( -5" siп			5х) + (;			-5" cos (2 -
					= cos (2 -		5х). ~
	5.	r 3dx .
		J.j4x2 -	3
~ r			=~ r				=~ ln 12х --V				1 + с.
		3dx			2dx					4X2 - з
	J ,)4х2 _ 3		2	J	.j(2x)2 _ (.j3)2			2
	Проверим полученный результат:
(	~ ln 12x--V4x2 -				31 + с)'=~			(2+2~)_
								2х -	,)4х2 - 3
		_	3	2(~+2x)
			2 (2х+ ,)4х2 - 3),)4х2 -					3
	6.	r 7xdx .
		J 3х2 + 4

~ Преобразуем подынтегральную функцию таким образом, чтобы в числителе получилась производная

знаменателя:			=2. r 6xd~ =2.lп (3х9. + 4) + с.
r 7xdx							~
J 3х2		+ 4	6 J	3х2 + 4	6
7. r	dx
J,)6 -		5х2 '
~ r	dx	5х2	=_1 r	d(-J5x)	(-/5х)2	=_1 arcsin ~х+ С ~
J,)6 -			.j5J-V(.jб'у-			-/5	,fб-:

8.~e5-4Xdx.

~~ e5- 4Xdx= -+~е5-4Хd(5_4Х)= _+е5 -4Х + с. ~

55

(V'

п

(х + 2)

d

9.

З

j

х+ 2

х.

~

( In3/7 (х+ 2)d(ln (х+ 2)) =

(V'n

3

(х+ 2)

dx =

j

х

+2

j

~

=2-lп1О/7 (х + 2) + С = 2-1 IIп1О (х + 2) +с

.

10

,О У

1О. .~ 5COS 3xdx .

VSin 3х-4 .

.~ r5

cos3x

dx=i-( (siпЗх-4гl/5ЗеоsЗхdх=

j Vsin

3х-

4

j

4) =+ ~ (siп Зх - 4)4/5 +

=i- ~ (sin Зх -

4)-1/5d(sin Зх -

r

+

С= 152~ Зх-4)4+ С....

11.

dx

.

j sin 2 4xVctg2 4х

~ r

dx

=

-~J etg- 2/ 34x( __4_dx) =

j sin2 4xVctg2 4х

4 j

sin" 4х

=-+~ etg- 2/ 34xd(etg 4х)= - { etg 1/ 3 4х +С =

=- ~-\!etg 4х+ С....

12. r

Varcctg5

2х

dx.

j

1 + 4x~

....

~ Varcctg5 2хd

_

I ~

aree

t

g

5/3 2

(

-

2) d

-

......

1

+ 4Х2

Х

-

-- 2

х

1 + 4х2

х-

= _+ ~ areetg5/ 3

2xd(areetg 2х) =

-{- ~

arcetg8 / 3

2х+

+С= - ,36-\!areetg8 2х+ С....

13.~e3COSX+2sinxdx.

~~ е3 cos x+2 s in xdx = _+ ~ е3 cos х+.2d(З cos х + 2) =

=-i-езroSХ+2 + с....

56

14.	(3х + 10 dx.
. )6х2 -4
~ (3х + 1О dx = r 3xdx			+ 10 r~ = ~ r 12xdx		+
)6х2 -4		')6х2 -4	)6х2 -4	4 )6х2 -4
+~	dx	= ~ Iп	16х2 _ 41 +_5_ In l-,jбx-		21 + с....
,j6J (-/6х)2 - 22		4	2-/6	-/6х +	2

ИДЗ-8.2

Найти неопределенные интегралы.

						1
1.1.	~	2 - 3xd	х.
		- 2 -
		х +2
(Ответ: -J2 arctg				x~ -		~ In Ix2 + 21 + с.)
		.		.)2
1.2. r 3-5х dx.
	)..}1 _х2
(Ответ: 3 arcsin х+ 5~+ с.)
1.3. r 8 - 13х				dx.
	)	..}х2 _	1
(Ответ: 81п 1х+-VX2						11 -	13~1 + с.)
1.4. r) 26хх2+- 11 dx.
(Ответ: ~ ln 12х2				-	I1	+flnl~x-11 + с-)
							2х+ 1
(Ответ: -\12			х2 -		2 arcsin		_xгn + С.)
							:у2
(Ответ:		~ a~csin 2х+ ~ -J1 -					4х2 + с.)

57

1..7 ~5-Зх d

_~ Х.

-у2х2 + I

(Ответ: ~ Iп l..{2х+-.J2x2 + 11 - ~ -.J2x2 + 1 + С.)

1.8. r			1 +х dx.
J .)2 _ х2
(Ответ: arcsin .:д --.J2								х2 + С.)
1.9. r Зх+2 dx.
	J	2х2 + 1
1.10.		r 1 -		5\dx.
.		J	1 +25х
(Ответ: -}- arctg 5х -							/0 lп 1I + 25х2 1 + с.)
1.11.	~		4х-З d		х.
			- 2 -
			Зх	- 4
(Ответ: ~ ln				Iзх2 -41-flпl-ГзХ-21 + с.)
									-Гзх+2
1.12. r~dX.
	J		х2	-6
(Ответ: 5-.Jх2				6+ In 1х +-.Jх2					61 + с.)
1.13.			r х-з d			Х.
			J 9х2 + 7
(Ответ: 118			Iп 19х2 + 71				-	!rт arctg ~ + с)
1.14. r~dX.
	J		4-Зх2
(Ответ:		!vз arcsin -Jfx +-.J4 -							зх2 + С.)

58

1.15. r 4 -		2х	dx.
J .уl _4х2
(Ответ: 2arcsin 2х +{-V1 - 4х2					+ с-)
1.16. r 5-~dx.
J 2+х				12 +х2 1 + с.)
(Ответ: _5_ arctg~ - { In
-,J2			-,J2
1.17. r~dx.­
J	1 + 4х2
(Ответ: {- In		12х +-V1 + 4х2 1		+ ~ -У1 + 4х2 + с-)
1.18. r 5 -		4х	dx.
J~
(Ответ: 5 arcsinx +4~2 + с.)
1.19. r 5х-I dx.
J .ух2 - 3
(Ответ: 5-Vх2		3 - In Iх +-Vх2			з1 + с.)
1.20. r 1 ~ 3х dx.
J 4х - 1
(Ответ: +lnl~~~:I- ~ In 14x2 -					11+C-)
1.21. r х- 52			dx. (Ответ: - ~ In 13 -2х2 1 +
J	3-2х				4
				+ _ 5 In /-,J2x- -Vз /+ с.)
1.22. r х+ 4			dx.		2,j6 -,J2x + -Vз
J .у9-х2
(Ответ: --V9			х2 +4arcsin	~ + с.)
1.23. r 2~-7 dx.
J	х -	5
(Ответ: In	Ix2 -51- 7_ln Ix--Y51 + с.)
			2-У5 х+-У5

59

1.24. rF.dx.

J х2 _ I

(Ответ: 7~I - 2 Iп 1х+.Jx2 I1 + С.)

1.25. r 1 + 3х dx.

J -.}х2 + I

(Ответ: In Ix+.Jx2 +11 +З~I+С.)

1.26. rJxх2-+75 dx.

(Ответ: -} In		Ix2 + 71	-~ arctg~ + С.)
1.27. r 3-7~ dx.			-!i	-!i
	J I +х
(Ответ:	3 arctg х - ~		ln 1I +х2 1	+ с-)
1.28.	rJ I8+-	32хХ2dx.
(Ответ:	:rз arctg-{3x -f In 11			+ зх2 1 + с-)

1.29. r 3х + 7 dx.

J-.}x2 + 4

(Ответ: з.Jх2 +4+7IП Ix+.Jx2 +41 +с.)

1.30. r~dX.

J 3х2 -4

(Ответ: ~ .JЗх2 -			4 - !vз In l-{3х +.JЗх2 - 41 + с.)
			2
2.1. r	sin 2х		dx.
J	1+ 3 cos 2х
(Ответ: --} Iп 1I			+ 3 cos 2xl + с-)
2.2. r	3х3	4 dx.
J I-x			_х4 1 + С.)
(Ответ: - : In 1I

60