RII_OCR[1]

где т, n - целые положительные числа; bi , aj Е R; i = О,	т, j = О, n,
Если т < n, то R(x) называется правильной дробью, если т;;;' n,-
неnравильной дробью.
Всякую неправнльную дробь путем делення числнтеля	на знамена·

тель можно представить в внде суммы некоторого многочлена н пра·

вильной дроби:

где	мn_m(х),		Ql(X) -	многочлены; ~:i~ - правильная. дробь; 1< n.
	Например,		2 х4 + 4			- неправнльная	дробь. Разделнв	ее числи-
			х +3х-l
тель	на знаменатель			(по		правилу деления многочлеиов),		получим
			х4 +4			х2-3х+ 10+	-33х+ 14 .
							х2 +3х-l

Так как всякий многочлен легко ннтегрируется, то интегрирование

рациональных фуикций сводится к иитегрнрованию правильных дробей. Поэтому в дальнейшем будем рассматрнвать функции R(x) при условии

m<n.

Простейшей дробью называется дробь одного нз следующих четы­

рех типов:

1)	А			2)	_А_
	х-а				(x-a)k'
3)	Mx+N .			4)		Mx+N
	x2 +px+q'				(x2 +pX+q)k'
где А, а, М, N, р, q -		постояниые числа; k -						целое, k ;;;. 2; р2 - 4q < О. '
Очевндно, что ннтегралы от простейших дробей первого и второго
типов	находятся легко:
		\_A_dx=A Iп Ix-al +С,
		J х-а							+ С.
	А		~	(х-а		)-k	dx=	А
	---kdх=А							k ,
	~(х-а)						(х-а)		(I-k)

Методика нахождения ннтегралов от простейшнх дробей третьего

и четвертого типов рассмотрена в § 8.4. Таким образом, всякая простей­ шая рациональная дробь может быть, проннтегрнрована в элементар­

ных функциях.

Известно, что всякий многочлен Рn(Х) С действцтельными коэффи­

циентами на множестве действительных чнсел может быть представлен

ввиде

				Рn(Х) =		ао(х -	<x,)k .... (х -	щ)k.(х2 + р,х +
						+ q,)" .. ,(х2 + psx + qs)",			(8,8)
где	<Х"	••• ,		<X~ -	действнтельные корнн многочлена Рn(Х)				кратностей
k"	... ,	k~,	а	p~ -	4qy < О		(у = 1,5);	k, + ... + k~ + 2/, + '" + 2/, = n;
числа		k"	...,	k~, /"	.. "	/s -	целые неотрнцательные. Тогда		верна

Теорема (о разложении правильной дроби в су_у nростейших

дробей). Всякую правильную рациональную дробь (8.7) со знаменателе,lI,

представленным в виде (8.8), можно разложить в сумму nростейших

31

рациональных дробей типа 1~4. В данном разложении каждому корню

(х" кратности k, (г =~)	многочлена Рn(Х)			(множителю (х -		cx,,)k,)
соответствует сумма k, дробей вида
A 1	А2	2+"'+		A k•		(8.9)
-- +	(х - сх,,)		(х -	k	•
х - сх"				сх,,)

Каждой паре комnлеКСНО-СОlJряженных корней кратности ty многочлена
Рn(Х) (множителю (х2		+	руХ + qy)") cooTBeTcfeyeT сумма ty элементарных
dробей	.
	M1x+N 1	+	M2x+N2	+	+ M"x+N t ,	(8.10)
	х2 + руХ + qy		(х2 + руХ + 1/у)2	."	(х2 + руХ + qy)'"
Для	вычисления	значений' А, М,		N в	раЗ}JOжении функции. Я(Х)

на CY~MY простейщнх рациональных дробей часто используют метод не­ определенных коэффициентов, суть которого· заключается в следующем.

С учетом формул (8.9), (8.10) данную дробь Я(Х) представнм в виде

суммы простейщих' рациональных дробей с' неопределенными коэффи­ циентами А, М, N. Полученное равенство является тождеством. Поэтому,

если привести все дроби к общему знаменателю Рn(Х) В числителе получим многочлен Q~_ 1 (х) степени n - 1, тождественно равный многочлену

Qm(X), стоящему в чнслителе выраження (8.7). Приравняв коэффнцненты

при одинаковых степенях х в этнх многочленах, получнм систему n

уравнений для определения n нензвестных коэффициентов А, М, N

(с индексами).

В некоторых случаях с целью упрощення вычислений можно восполь­ зоваться следующим соображеннем. Так как многочлены Qm(X) и Q~_I (х) тождественно равны, то их значения равны при любых чнсловых

значениях х. Придавая х конкретные числовые значення получаем

систему уравнений для определения коэффициентов. Такой метод на­ хождения неизвестных коэффициентов называется методом частных значений. Если значения х совпадают с действительными корнями зна­ менателя, получаем уравнение с одннм неизвестным коэффициентом.

( 2х-3

Пример 1. Найтн Jx(X_I)(x_2)dx.

~ В соответствин с формулой (8.9) разложение на элементарные

дробн имеет вид

(	2х-3	dx(s;:)((..i+_B_+~)dX.	(1)
Jx(x-l)(x-2)		J х х-I х-2

Если привести дробн нз данного разложення к общему знамена­

телю, то он совпадет со знаменателем исходной подынтегральной

функции; а числители подынтегральных функций в левой и правой

частях формулы (1) будут тождественно равными, т. е.

2x-3==A(x-I)(x-2)+Bx(x-2)+C(x-l)x. (2)

Приравннвая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях тождества (2), получаем систему уравнений

Х21l		О	= А + В + С,		}
x 2			=	-3А-2В-С,
х	О	-3 =		2А,
рещение которой: А =	-3/2,		В = 1, С = 1/2.
Теперь найдем коэффициенты разложения					методом частных зна­

чений. Подставим в тождество (2) вместо х частные значения, равные корням знаменателя al = О, а2 = 1, аз = 2. Получим р'авенства - 3 =

32

= 2А, -1 =

-

В,

1 =

2С, откуда следует,

что' А = - 3/2, В = 1,

С =

1/2.

Подставив

в

равенство (1) найденные значения коэффи­

циентов,

окончательно имеем

~ X(X~XI~:_2) dx= ~( -:/2 + x~ 1 + xl~22 )dX=

3

I1

1

Ix - 21 + С*,

= -21п Ixl + Iп Ix -

+21п

где

С* -

произвольная

постоянная интегрироваНIIЯ. ~

Пример

"

(

xdx

1)" .

2. Наити J (х

_ 1) (х

+

~ На основании теоремы о разложении правильной дроби в сумму

простейшнх дробей нмеем

(

xdx

(8.9)

((

А

В

С)

J (x-I)(x+ 1/

=

J ~

+ (х+

1)2

+ (х+ 1)

dx.

Приведя

дроби в обеих частях последнего равенства к общему

знаменателю,

имеем

х==А(х+ 1)2 +

В(х- 1)+ С(х2

-1).

(1)

При х =

1 и х =

-1 находим,

что 4А =

1,

-1 = -2В,

т. е. А =

= 1/4, В = 1/2.

Для вычисления значения С прнравняем в тождестве (1)

коэффи­

цненты при х2• Получим

О = А +

С,

т.

е. С =

-1/4.

Окончательно имеем

(

xdx

(

1/4

d

(1/2

( -1/4

J (x-I)(x+ 1)2

=

J~

х+ J (х+ 1)2

dx+ J~dx=

=

1

1

1

1

-Iп Ix-II = ---- -Iп Ix+II+C*=

4

2 х+

1

4

=-1 IIпх-~I

I----1 1 +С*.....

4

Х"

2х+1

Пример

"~

xdx

Наити

(x-I)(x

2'

@

+1)

~ Согласно

формулам

(8.9),

(8.10), ра.sЛОЖНМ подынтегральную

функцию в сумму простейших дробей; выполнив приведение к общему

знаменателю, получим

(	xdx	_ ((_А_		Mx+N )dx-
J (х- 1) (х2 + 1) -			J х - 1 +	х2 + 1	-
	=( A(x2 +1)+(Mx+N)(x-l) dx.
	J	(x_I)(x 2 +1)
Следовательно,
	х==А(х2 + 1)+(Mx+N)(x-I).
При х =	1 получаем	1 =	2А, т. е. А =	1/2. Далее,
		х2	\ А + М =О,}
		х.	А - N= О,
откуда М =	-1/2, N =	1/2.

33

Окончательно имеем

~ (x_I)(x 2

+1)

-~(

- 1

--1

х+-1)

-;-+

х2

+1

2

-

xdx

2

2

dx-

1

1

Iп Ix

2 + I1 +

1

с.....

=

"2 Iп Ixl - 4"

"2 arctg х +

.

Найти

J(x)

=

~ х4 + 3х2

-

5

dx.

Пример 4.

2

х

з

+ 2х

+ 5х

~ В данном случае подынтегральная функция является иепра­

вильной дробью. Путем деления числнтеля на знаменатель выделим целую часть рацнональной дроби и правильную рациональную дробь:

х4 + 3х2 - 5 =		_ 2 + 2х2 + 1Ох - 5
хз + 2х2 + 5х		х	х3 + 2х2 + 5х .
Следовательно, с учетом формул (8.9) и (8.10)
J(x) = r (x-2)dx+ r		2х2+ IOx-5 dx=		(х-2/ +
J	J х(х2		+ 2х + 5)	2

+ ~(~ + x2~2~:5) dx.

Приведя к общему знаменателю дробн в последнем ннтеграле

нприравняв числители подынтегральных дробей в левой и правой

частях запнсанного равенства, получим

2х2 + 10x- 5==А(х2

+ 2х + 5)+ мх2

+ Nx.

ПрираВlIивая коэффицненты при одинаковых

степенях х,

имеем:

~~I

1~:1А++Мл'r,}

х

О

-

5 = 5А,

откуда А =

-

1,

М =

3,

N =

12.

Окончательно получаем

J(x) =

(х --; 2)2 +

С(_ -lх +

3х +

12

)dX =

(х -

2)2

J

х2 + 2х + 5

2

-lп Ixl+~r

2х+2+6 dx= (х-2)"

-lп Ixl

+

2

J

х2 +2х+5

2

3

r

х2

2х + 2

d

х +

9 r

dx

(х -

2)2

1

1 1

+"2

J

+ 2х + 5

J (х

+ 1)" +

4

=

2

-

п

х

+

+

3

2

+

2х + 51 +

9

х+l

с.....

"2 Iп Ix

"2 arctg - 2 - +

А3-8.6

Найти данные неопределенные интегралы.

l'

(х-2)2 + с.)

1. r~

2 х -

4

dx. (Ответ: ln

J х

-

5х

+ 6

Ix - 31

.

·-Ь

34

2.

х5 +х' - 8

dx.

(

Ответ:

хЗ

XZ

+ 4 +

~

3

-

+ -

х -

4х

3

2

+ ln\ Х2 (Х_2)5

1

+ с.)

(х+2)З

3.

r х

3

+ 12

dx. (Ответ: х + ~ + ln (х- 1)2 + с.)

J

хз

- х

х

Ixl

4•

х2 - 2х + 3

d

х.

( О

твет:

1

~

З

2

+Зх)

-- +

(x-I)(Х

-4х

х-I

1 -J(x - 1) (х-

3) + С )

+ n

Ixl

.

5•

~

(2X2_3x-3)dx

(о .

(x-I)(x 2

-2х+5) •

твет.

1

t

х-I

с)

+2

агс

g - 2 -

+ .

6.

r

~2dx

. (Ответ: -21

arctg х+ ~ lnl~1 + с.)

Jx - I

4

I+x

7.

r

2xdx

. (Ответ: х-I

":"--21 lnlx+ 11 +

J

(х+ 1)(x2

+

1)2

2(х2 + 1)

+

+ln (l +х2)+ С.)

Самостоятельная работа

Найти неопределенные интегралы.

1. а) r

J

dx	; б) r	4dx .
(x-I)(x+2)(x+3)	J	х(х2 +4)

(	Ответ: а) _1 lnl (x-I)(x+3)' 1 + с· б) ln ~ + с.)
		.	12	(х +	2)4	'	Iх I
	2. а)	(	2		dx; б)	r	dx ..
			2x +4IX-91
		J(x-I)(x+3)(x-4)				Jx(x+I)'
(	Ответ:	а)	lnl (х -	1)4 (х -	4)51 + с;	б)	_ 1 _ +
				(х+ зу			х + 1

+ lпlх~II+С-)

3. а) r	~x	; б) r	2 13dx	.
J х(х	- 1)	J х(х	+ 6х + 13)

35

(Ответ: а) ln -J~2x~1 + С, б) ln 2	х	+
-Jx	+ 6х + 13

+5 аrctg х -;- 3 + С )

8.7.ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ

ФУНКЦИЙ

Не для всякой иррациональной функции можно найти первооб·

разную в внде элементарной функции Рассмотрнм интегралы от некоторых иррациональных функций, которые с помощью определен­ ных подстановок приводятся к интегралам от рациональных функций

новой переменной. Интеграл вида

	(R(x, (ах + ь )"/"						, .. ,	( ах+ ь )"/")			dx,
	)		сх + d					сх	+ d
где R -	рациональная			функция, а, Ь, с, d -						постоянные, г" S, -
целые	положите,lьные			числа,		i = 1, V, приводится К интегралу от
рациональиой		функции		новой		переменной и с помощью подстановки
					ах + ь =			иm
					cx+d
(здесь	число	т - наименьшее общее						кратное		(НОК) знаменателей
дробей~, ..,2, т е				т =		НОК (SJ,		.. , sv).
	SI	SV
В частности,			интеграл		вида
				JR(x, Х"/", .. ,				x,,/s')dx
приводится К		интегралу		ОТ	рациональной				функции новой переменной
и с помощью подстановки х =						и'"
Пример 1.		Найти (		;j}.dX
			)	4 хз"+ 4
~ Так как НОК(2, 4) =					4,	то
	(		-Vxdx	=	(	x J / 2 dx
	) W+ 4				) хЗ/4 + 4
=4) изи~4 u3dU=4) и~5~и4 =4Низ									- U:~4)dU= ~ иЗ _
	- ~ lп 1иЗ+41 + С=					!..... v;з- ~ lп				IV;З+ 41 + с,
	3	V--; <111				3		3
поскольку и =
Пример 2.		Найти (			v:+!dx
			) -ГX+I+ Vx + 1

36

~ Так как НОК(2, 3, 6) =	6, то
\ ~dх	IX+ 1 =u6 '1 \	З	и	2 6и5d и =
J -{;+I+Vx+ 1 =	dx=6u 5du = J и		+ и

= 6 ~ и~ 1 du = 6 ~( иЗ- и2 + и- 1 + и~ 1 ) du =

=~ и'-2иЗ +3и2 -6и+6Iпlи+II+С=

=~ V(x+ 1)2_2~+з#.jх+ 1-6Vxt 1 +61п IVx+ 1 +

+II+C..... \

~)...,

Интегрирование 'некоторых 'функций, рационально зависящих от

~аХ2 + Ьх + с, описано в § 8.3, 8.4.

Рассмотрим интеграл видil

\Pn(x)dx

J -../ах2 + Ьх+ с '

где Рn(Х) - многочлен степени п. Оказывается, что данный интеграл

всегда можно представить в внде

	Рn(Х)
\		dX=Qn_l(X)-У(lХ2			+Ьх+с+
J ~ах2 +Ьх+с
		+ л. \	dx ~		(8.11)
		J -../ах2 + Ьх+ с
где л. Е R;	Qn-I (х) -	многочлен	. степени n -		1 : с неоripеделенными

коэффициентами, которые находят следующнм образом. Дифферен­

цируем равенство (8.11), в результате получаем тождество, .из кото­

рого определяем· lЮэффициеНТ!>I многочлена Qn-I (х) и число л..

Пример 3. Найти	~.	х' + 4х2
		_ г;;---:-; dx .
		-ух2 +\4

~Согласно формуле (8.11), имеем

\ ~ dх=(АхЗ+Вх2+Сх+D)-"/х2+4+л.\~.
J	х2 +4						J -Ух2 +4
Проднфференцируем последнее равенство. Получим
	х' + 4х2	= (3Ах2 + 2Вх + С) -Ух2 + 4 +
	-../х2 + 4				+л. h.2
	+(АхЗ +Вх2	+Сх+D) ~2						(1)
		х	+4				х + 4
Умножим обе части		равенства О)	на	-Ух2		+	4. Тогда
х' +	4х! = (3Ах2 + 2l1x + с) (х2 + 4) +			(АхЗ		+	~x2 + Сх +D)x +	л:

37

Воспользовавшись методом неопределенных коэффицнентов, полу-

чим систему уравнений

х'З	1 =3А+А,	}
х	О =2В + В,

х2 4=12А+С+В,

х' 0=4B+D,

хО О =4С+ А,

решение которой: А = 1/4,				В = О, С =		1/2,	D = О,	А= -2.
Следовательно,
х4+4х2		хЗ	+2х -2		~	2 Iп	I	~I2
_ г;;-:-;		dx =	4	ух	+ 4 -		х + -Ух + 4		+ С*. ....
~ -ух2	+ 1
Интеграл от дифференциального бинома
				Jxm(a + bxn)Pdx,
где а, Ь -	постоянные,		отличные от			нуля,	т, п,	р -	рациональные

числа, можно привести к интегралу от рациональной функции с по­

мощью подстановок Чебышева в следующих трех случаях:

1)если р - целое число, то имеем рассмотренный выше случай интегрирования простейших иррациональных функций;

2)если (т + I)/n - целое число, то применяется подстановка

а+Ьхn=и', p=r/s, s>O;

3) если (т + 1)/п + Р - целое число, то используется подста­

новка а+Ьхn=и'хn .
Пример 4. Найти r					dx .
				jx7~
~ Так	как т= -7,				п=4,	р= -1/2, то		(т+ 1)/п+р=
= - 3/2 -	1/2 = - 2 -			целое число.		Имеем	третнй	случай интегри­
руемости диффереициального бииома. Тогда
	~	dx		=/I+X4=U2x4,X=(U2 _1)-1/4,/_
	x7 -.Jl		+х'		dx= -	~(u2_1)-5/4Udu -
						2
=	~(и2 _	1?/4и-'(и2			_ 1)1/2( _-} ) (и2		_ 1)-5/'udu =
=-2"j(u1(			-1)dU=-1б"U+2"U+3 1				С=U=I ~Iх2 =
			=(_~+6 _12 )~+C.....
				6х	3х

АЗ-В.7

Найти данные неопределенные интегралы.

1.(	3х -	dx	.
j		4Ух

2. ( -Vxdx .

jW-V:

-11 + с-)

(ответ: ~lпIз-Гх+41+С.)

6 _БГ5 12 ~2Г5	12	1 ~2Г5
( Ответ: БУХ +Б ух	+sln	-ух -

.38

3. ( -vз;+4.dx ~ (Ответ: ~(~-v3х+ 4 -
J 3х+4+2 3х+4	32

-2-v3х+ 4 + 4 ln (-V3х+ 4 + 21) ) + с.)

4.~~~гVx' (Ответ: 4(+-ух+ 7-Ух+49 ln I-Yx-

-71)+С.)

5. (у:-+:	d:. (Ответ: lnl-Jl+x-~I-XI +
J	~+ l-х

+ 2arctgyт;j!;+ С.)

	6.	~хЧ/(1 +X 3)2dx. (Ответ: +-\1(1 +х3)8_
--}-\I(1 +х3)5 + С.)
			Самостоятельная работа
	Найти неопределенные интегралы.
	1. а) (		~ dx;	б)	(	хЗdх .
		J-\fxЗ+ 1		.	J .ух2 + 2
(Ответ: а)			з		з		+ С;
			~ (-Ух -	ln (-Ух		+ 1))
. б)	(X	2 -4)F' + С.)
	2. а) ~-#;;/Гхdx; б)				~			4xdx
						V(x+ 1/+Vx+ 1 + l'
( Ответ: а)			2_4С9	1212Cll3З		+ С;	3~			4(х+ 1) +
			9" ух --тз -у X				б) 3-у х+ 1 -
								+с)
	3. а) (		dx .	б) (		4xdx				.
		)v;+ ~'		) V(зх - 8/ -				2VЗХ - 8 + 4
(Ответ: а)			6(-f- v;+-V; - ln (1 +"Ух)) + С;
б)	{-\I(Зх -		8)4 + ~ (3х -		8) + С.)

39

8.8. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВblРАЖЕНИЙ

Интегралы вида
				JR(cos х, siп x)dx,					(8.12)
где R -	рациональная			функция, приводятся				к интегралам от рацио·
нальных функцнй		новой		переменной		и с помощью универсальной под·
	х	и. В этом случае
становки tg'2 =
	cosx=		1-и:, siпх=~, dx=....?:!.':.!!..						(8.13)
			1 + и			1 +	и'	1 + и2
(см. § 8.6).
Пример 1. Найти			\		dx		.
			J 1 +		siп х + cos х
~	Полагаем		х		и. Тогда, согласно равенствам				(8.13),
		tg'2 =
\	dx	=\			2du/(I+u2)=\~=
J 1 + siп х+ cos х			J 1+		~ +	1 - и'		J 1+ и
					1+u'	1+u2
	=	lп [1 +		и[	+ С= lпl1 +		tg ~ I+ С.....
в случае, когда имеет место тождество
	R( -cos х,				-siп х) == R(cos х,			siп х),

для при ведениЯ подынтегральной фуикции к рациональиому виду можно

применять упрощенную подстановку tg х = и. При этом

. и	1	dx=~. (814)
SlПх= ~' cosx= ~'		1 +и2 .

Пример 2. Найти \	d~	2	Х	•
J 3	+ slП

~Положив tgx=u, согласио формуле (8.14), получим

	\	dx			\ du/(1 + и2)			\	du
	J3 +		si п2х = J3 +			u2/(1	+ и2) = J 3 + 4и2 =
		1			2и	1		2 tg х		С.....
	= -- arctg - + C= -- arctg -- +
	2	-Vз			-Vз	2 -Vз			-Vз
Пример 3.		Найти		J tg5 2xdx.
~	Примеиим подстановку tg 2х =						и. Тогда:
		х =		1	arctg и	dx =	1	1
				-			-	--- 2 du,
				2		'	2	1 +	и
С tg 5 2xdx=..!..\ U5 _1					dи=..!..С(из _u+_и .)du=
,)	2 ,)		1	+ ,,2		2 ,)			1+,,2
1	1	1					1		1,
=8,,4	-ти2+т1П (1 + и2)+ С=8 tg							4 2х-'4 tlf 2х+
			+т11П (1			+ tg2 2х)+ С.....