RI_OCR[4]

напримеri	~ -~1=1'6.1+2'5'2+4(-1)(-3)­
~з= 4
2	-1	1
	- «-3)·6·2 + 2.4.. 1 + 5( -1) 1) = 71.
Перечислим основные свойства оnреiJелителей:
1) сумма	произведений элементо.в любо.го. ряда		о.предеJJИтеля и
их алгебраических до.полнений не зависит о.т но.мера			ряда и равяа

это.му о.пределителю:

n		It
~n = ~ ailAik =		~ akjA kj •			1.6)
k=l		k=l
Эти равенства мо.жно. было. бы	(как	и	фо.рмулу (1.4» принять		за
правило. вычисления о.пределителя. Перво.е нз них				называется раз­
ложением ~n па элементам i-й	страки,		а вто.ро.е -	разло.жением	~n
по элементам j-eo сто.лбца;

2)значение о.пределителя не меняется по.сле замены всех его.

стро.к со.о.тветствующими сто.лбцами, и иао.бо.ро.т;

3)если по.менять местами два параллелЫihIХ ряда определителя,

то. о.н измеиит зиак на про.тивопо.ло.жиый;	.
4) о.пределитель с двумя о.динаковыми	параллельными рядами ра­

веи нулю;

5)если все элементы некото.ро.го. ряда о.пределителя имеют общий

МlЮжитель, то. последний мо.жно. вынести за знак о.пределителя.

Отсюда следует, что. если элементы како.го.-либо ряда умио.жить на число. Л, то. о.пределитeJItt ~" умно.жится на это. же число. л;

6)если'все элементы како.го-либо ряда определителя равиы иулю,

то. о.пределитель также равеи нулю;

7)о.пределитель, у ко.торого. элементы двух параллельных рядо.в

соответственио ,про.норцио.нальны, равен нулю;

8) сумма всех про.изведений элемеято.в какого.-либо. ряда о.преде­ лителя и алгебраических допо.лнений со.о.тветствующих элементо.в дру­

го.го. параллельно.го ряда равна нулю, т. е. верны равенства:

n	n
~ ai/<Ajk = О,	~ a'iAkj = О (i =f= Л;
k=l	k=!

9) если каждый элемент како.го.-либо. ряда о.пределителя пред­ ставляет со.бо.й сумму двух слагаемых, то. тако.й о.пределитель равен

сумме двух о.пределителей, в перво.м из ко.то.рых со.о.тветствУ19ЩИЙ ряд

состо.ит из первых слагаемых,				а во.		вто.ро.м -	ИЗ вто.рых слагаемых:
	all	ан+ы1i		al n		аll	ан	al n
	а21	a2i+ Ь2;		а2n		а21	а21	б2n
		.....							+
	аnl	аnl + Ьnl		аnn		аnl	ani	ааа
			all		bl {	al n
		+	а21		Ь21	а2n
			аn !		Ьn/	а.n

11

Например,

;4	-~~7	3	-1
		-1	2
1	2+3	2	3

1О) определитель не изменится, если ко всем элементам какого­ либо его ряда прибавить соответствующие элемеиты другого парал­ лельного ряда, умноженные на одно'И то же произвольное число 71. •.

Например, для столбцов определителя это свойство выражается равен-

ством

	аll	ан	alj	al n
	а21	a2i	a2j	а2n
	аnl	Qni	anj	аnn
аll		а,,+л.аlj	alj		aln
а21		a2i + ЛQ2j	a2j		а2n
аnl		аn! + л.аnj	anj		аnn

Рассмотрим основные методы вblчисления определителей.

1. Метод эффективного nонuжения порядка. В 'соответствии со

свойством 4 вычисление определите.1Я n-го порядка сводится к вычисле­

нию n определителей (n - I)-ro порядка. Этот метод понижения порядка

не эффективен. Используя ОСНОВНЫе свойства определителей, ВЫЧИCJJе­ вие l1 n =f= О всегда можно свести к вычислению одного определнтеля

(n - 1)-го порядка, сделав в каком-либо ряду l1n все эле_нты, кроме

одного, равными нулю. Покажем это на примере.

Пример 1. Вычислить определитель

	30	-10	120	80
1'1. =	- 5	3	-34	-23
			3	- 7
	- 9	2	8	-15

~ По свойству 5 определителей из первой строки вынесем

множитель 10, а затем будем последовательно УМllожать полученную

строку на 3, 1, 2 и складывать соответственно со второй, третьей и

четвертой строками. Тогда, согласно свойству 10, имеем:

3 -1 12 8

4 О 2 1

4 О 15

-3 О 32

По свойству определителей (см. второе из равенств (1.6» полу-

ченный определитель можно разложить по элементам второго столбца.

Тогда

2

15

32 : 1·

Получили определнтель третьего порядка, который можно вы­ ЧИCJJить по праВIIЛУ Саррюса или подобным же прием.ом свести к вы-

12

числению одного определителя второго порядка. Действительно,·вычитая

из второй и третьей строк данного определителя первую строку, получаем

84=101 ~	I~	~1=lol_O		13/=10.7.13=910. ~
-7	30	О	7	30

2.Приведение определителя к. треугольному виду. Определитель,

укоторого все элементы, находящнеся выше нли ниже главной диаго­

нали, равны нулю, называется определителем треугольного вида. Оче­

видно, что в этом случае определитель равен произведению элементов

его главной диагонали. Приведение любого определителя 8 n к тре­

угольному виду всегда возможно.

Пример 2. Вычислить определитель

	5	8	7	4	-2
	-1	4	2	3	1
85=	9	27	6	10	-9
	3	9	6	2	-3
		3	2	8	-1

~Выполним следующие операции. Пятый стоJiбец определителя

сложим с первым, этот же столбец, умноженный на 3,- со вторым, на 2 - с третьим, на 8 - с четвертым столбцом. В итоге получим опре­ делитель треугольного вида, который равен исхощlOМУ:

3	2	3	-12	-2
О	7	4	11
85= О	О	-12	-62	- 9 = -3·7·12·22 = -5544. ~
О	О	О	-22	-3

ОО О О -1

Приведение определителей к треугольному виду будет использо­

ваться в дальнейшем при решении систем линейных уравнений ме'l'OДОМ Жордана - Гаусса (его называют также методом Гаусса).

А3-1.1

1. С помощью правила треугольников (правила Саррю­

са) вычислить определители:

а)	-1	3 26) 3			4	-5
	2	8	1	8	7	-2
	1	1	2	2	-1	8
в)	1 -2			1

31 -5

42 5

(Ответ: а) -36; 6) О; в) 87.)

13

2. Методом понижения порядка вычислить опреде­

лители:
а)				15325				15323					37527								б)			2	4		-1				2
				23735				23735					17417											-1	2		3				1
				23737				23737					17418											2	5		1				4
																									2					О	3
(Ответ: а)							-22 198; б)						16.)
3.		Вычислить определители																			методом					приведения их
к треугольному виду:
а)						1		2	3 4										б)			-2 5 9
						О		2	5				9									-1			7		4
						О		О	3				7											3	3		4
			-2				-4		-6				О											2	3		4
(Ответ: а) 48; б) 20.)
4. Вычислить определители, предварительно упро-
стив их:
а)					х2 +а2			ах 1						б)				7			8 5 5 3
					у2+ а2			ау	1									10			11			6	7		5
					Z2+ a2			az	1									5			3			6	2		5
																		6			7			5	4		2
																		7			10			7	5		О
.(Ответ: а)							а(х - у)(у -						z)(x - z); б)											5.)
								Самостоятельная													работа
Вычислить определители.
1.		2				1	5	1					2.						1		2	3		4
		3				2	1	2											2		3	4		1
		1				2	3	-4											3		4	1		2
		1				1	5												4		1	2		3
					(Ответ:			54.)											(Ответ: 160.)
3.		2					1	1					8
		1				- 3		-6					9			(Ответ: - 27.)
			О				2	2	-5
		1					4	6					О

14

1.2. МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ

Прямоугольная таблица,

составленная

из

т Х n

элементов ai/

(i = 1, т,

j = 1, 11)

некоторого множества,

называется

матрицей

и запнсывается в виде

al2

...

а._ ]

al2

а._

)

А

=

~~I • •а

22

...

а2n

или

А=

~2:.

а22

~~n.

(1.7)

гаml аm2

Саml

аmn

аm2 ... аmn

Элементы матрицы нумеруются 2 индексами. Первый индекс i

элемента

aij

обозначает номер

строкн, а

второй

j -

номер

столбца,

на пересечении которых находится этот элемент в матрице. Матрицы обычно обозначают прописными буквами латинского алфавита: А, В, С, ...

Если у матрицы т строк и n столБЦ<JВ, то по определению она имеет размерность mХn. В случае необходимости это обозначается следую­

щим образом: Аmхn• Матрица называется числовой, если ее элементы ач - числа; функциональной, если ац - функции; векторной, если ац - векторы, и т. д. Матрицы А и В называются равными, если все их соот­ ветствующие элементы ац и bij равны, т. е. aij = bij . Следовательно, равными могут быть только матрицы одинаковой размерности. Матри-

. ЦЫ, у которых т = n, называются квадратными. Если i = 1, то ПOJIучаем матрицу-строку; если j = 1, имеем матрицу-столбец. Их также называют

вектор-строкой и вектор-столбцом соответственно.

Перечислим основные операции над матрицами.

1. Сложение и вычитание матриц. Эти операции определяются

только	для матриц одинаковой размерности. Суммой (разностью) маТ­
риц А	и В, обозначаемой А +В			(А -	В), называется матрица С, эле­
менты	которой	Сц = ац ±	Ьц, где	ац	и Ьц - соответственио элементы
матриц А и В.		Например,	пусть

А=	21-46],В= [-23			74].
	(- 3	9	8 -11
Тогда		10]	(3-1	-1~].
А+В= ( ~
	-1
		3,А-В=
		-2	-11	20

2. Умножение матрицы на число. Произведением матрицы А и

числа л, обозначаемым М, называется матрица В той же размер­ ности, элементы которой bij = '.aij, r де ац - элементы матрицы А, т. е. при

умножении матрицы на число (числа на· матрицу) надо все элементы

матрицы умножить иа это чнсло. Например, пусть

л= - 2, А = [~ _ ~].

Тогда

15

3. У.мlЮЖение .матриц. Произведение.м .матриц А mхn и Вnхр на­ зывается матрица Сmхр = А . В (нли проще АВ), элементы которой

n

Ci/ = ~ aikbki' где ajk, b ki - элементы матриц А и В. Отсюда следует, k=1

что произведение АВ существует только в случае, когда первый множитель А нмеет число столбцов, равное числу строк второго мно­ жителя В. Далее, число строк матрицы АВ равно числу строк А, а число столбцов - числу столбцов В. Из существования произведения АВ не следует существование произведеиия ВА. В случае его существования,

как правило ВА =f= АВ. Если АВ = ВА, то матрицы А и В	называются
nерестановОЧНЬt.ми (или коммутирующими). Известно,	что всегда
~ЩС=А~q	.
Пример 1. Найти АВ и ВА, если:

А = [i	3	-;}
	-5
~ Имеем:
	АВ = С 2х2 = [СС1121
где СI1 = 4( -1) + (-5) (-2) + 8·3 = 30; С12 = 4·5 + (-5) (-3) +
+8.4=67; c21=1(-I)+3(-2)+(-1)3=-IO; c22=1.5+
+3(-3)+(-1)4= -8.
В результате АВ =	30 _687].
	[ _ 10
Далее находим
	С1З	]
	~23	'
	сзз

где ё11~(-I)4+5.I=I;			ё12 =(-I)(-5)+5.3=20;	l2.1З=
=	(-1)8+5(-1) = -13;		ё21 = (-2)4+(-3) f = -11;	l2.22 =
=	(-2)(-5) +	(-3)3= 1;	ё2з =(-2)8+(-3)(-I)=-13;	СЗ1 =
=3·4 + 4·1 =		16; ёз2 =3(-5) + 4·3= -3; ёзз = 3 ·8+4(-1) =
= 20. Имеем:

ВА= [-1~		20	-13 .
			-13]
	16 -3		20
Итак, АВ =f= ВА. ~			~JВ =
Пример 2. Даны матрицы: А = [~				[ _	~ -~]. Найти
АВ иВА.
~ Имеем:					-5]
АВ=[3'I +5(-1)	3(-5)+5'2]=[-2
1 . 1 +2( -1)	1(-5)	+2·2		-1	-1 '

16

BA=[1'~+(-5)I	1'5+(-5)2]=[-2		-5}
. ( - 1)3 + 2· 1	( - 1)5 + 2 . 2	- 1	-1 .

Следовательно, АВ = ВА. ~

Пример З. Найти (АВ)С и А(ВС), если:

A~Н Н B~[; -~ -:].

~ Имеем:

АВ= [-~ ~ =~], {АВ)С=[ ---;~l.

9 3 -3

-15

BC=[-I~]. А(ВС)=[ ---;~],

-15

т. е. (АВ)С=А(ВС). ~

А3-1.2

1. Даны матрицы А и В. Найти: А + В, 2А, А -

а) A~[ ~	8]~	, В= [-]~		-7]1 ;
если:
- 7				-1
б) А~[ :	3	-1	Оi],В= [- О 1			-2
	7	9.			4	- 8
-2	4	4	- 3		2 5	11
2. Даны матрицы А и В. Найти АВ и ВА, если:
а) А~[~	-1О	Н B~[~		- 32	-Н
	о			7
б) А= [;	-1	а B~[;		П
В) А~IO B~[5			-2 3];

3В,

~]

17

г)	А= [i		;].		B=[~		~}
д)	А=	[~	~].		B=[~		6}			-2
(ответ; а)		AB~[~				-11	19 ,ВА= -13
						1	11]		[6	-7	-18~}
					13	13	29		21	3
	б)	АВ=[~				1I]	ВА =	[21	--17	35]
						17 '		1~	1	2~ ;
							10	-4	I!}
	В)	ВА =		[13J,		АВ=	[15	-6
							20	-8
	г)	АВ =		ВА = [10.7			141ОJ;
	д)	АВ=		[ ~		~JВА=		[~	~YT)

3. Для матрицы А найти все перестановочные (комму­ тирующие) с ней квадратные матрицы В. Проверить выполнимость равенства АВ = ВА, если:

(Ответ: а) В=[3: -;:} б) В=[a~b 5alЬ J'где а,

Ь- любые числа (параметры) .)

4.Даны матрицы А, В и С. Найти А(ВС), (АВ)С и по­ казать, что (АВ)С . А(ВС), если:

а) A~[~ =НB~[~ -~]. C~[-~ -~~}

18

б) А		"[4 2 9 -7]				[~]
		=	8 3 II	О' В =		_~ ,
С= [-1		9	3 6].
(ответ:		а)	АВС=[i~	7;~J;
\			28	1030
		б)	АВС= [	52	-468	-156	-312])
			-19		171	57		114 .
			Самостоятельная работа
18[1д	аны					[О
		-1маТР3JИЦЫ:		[ О	-1 ]			1 2 О]
А= 2			О 2 ,В=	1	l'	С= -11"		2 О О .
								210

Найти те из произведений АВ, ВА, АС, СА, ВС, СВ, кото­

рые имеют смысл.

(ответ: BA~[-~ _~ -а AC~[~ ~. ~ gJ)

2. :ля[дан~ы; маТ~ИJ~ Ави в[~аги (1 +~~)]". если:

-3 6 9

4 -1 О

(ответ:[-л ~: ~~J)

З. Найти (АВ)С и А(ВС), если:

А~П ~ -;]. в~П Н C~[-~ ~}

(ответ: [-~~ 10~J)

19

1.3.ОБРАТНblЕ МАТРИЦbl. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗО8АНИЯ. РАНГ МАТРИЦbl. ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА - КАПЕЛЛИ

Квадратная матрица порядка n

А = [:~2.'.а"	а22	аа2n,"]	(1.8)
	а'2
аnl	аn2	аnn

называется невырожденной, еСJjИ ее определитель (детерминаит)

det А =	а21	(1.9)

в случае, когда det А = О, матрица А называется вырожденной.

Только для квадратных невырожденных матриц А вводится понятие

обратной матрицы А -1. Матрица А -1 называется обратной для квад­ ратной невырожденной матрицы А, если АА -1 = А -IA = Е, где Е­

единичная матрица порядка n:

(1.10)

Известно, что для А существует единствеиная обратиая матрица

А - 1, которая определяется формулой

			А*=	~:2.	А21
А-	1	А*			А 22
	=	det А'		гА',n А 2n

...
... Аn2
A"J	(1.11)
А nn

Матрица А* называется присоединенной, ее элементами являются алгеб­

раические Д<JПОJ.нения Ац транспонированной .матрицы А т, т. е. матрицы,

полученной из данной матрицы А заменой ее строк столбцами с теми

же номерами:

all	а21	а.,]
А т= ~'.2.	а22	аn2	(1.12)
[
а, n а2n		аnn
Пример 1. Дана матрица А. Убедиться, что она невырождениая,
найти обратную ей матрицу А -1	И	проверить	выполнимость равеиств

АА- 1 =A-1A =Е, если:

	-1 ~]
-1	-4
а) А = [ 1	-5

20