RI_OCR[4]

~ а)

Имеем det .41= , - :

~ I=

- 5* О.

Д~~ee нахоJ1.им алгеб­

раические

дополнения: А

"

=3,

A12 = -1,

А21

=

-2,

А22 = -1.

Следовательно,

3

-2] = [-3/5

2/5]

АА-

'

=

[1О

. А-'=-.!..5 [ -1

-1

1/5

1/5

'

б) Вычисляем det А = -8 * О и алгебраические дополнения А 11 =

= -2, A 12 = 2, А 1з = 4, А21

= 3, А22 =

1, А 2з =

-2,

А31 =

-7,

А 32 =

=

-5, А зз = -6. Тогда

A-'~-{-[-: _: =п AA-'~A-'A~E~

Введем попятие

ранга

матрицы. Выделим

в

матрице

А

k

строк

и

k столбцов, где k -

число, меньшее

или

равное

меньшему

из

чисел

т и n. Определитель порядка k, составлен-ный из элементов, стоящих

на пересечении выделенных k строк и k столбцов, называется минором

или определителем, nорожденным матрицей А. Например, для матрицы

-1	4
8	1
-2	О

при k = 2 определители
I~	-1	5
	-2	- 6
будут порожденными даниой матрицей.
Рангом матрицы А (обозначается	гапg А)	·называется наиболь­

ший порядок порожденных ею определителей, отличных от нуля. Если

равны нулю все определители порядка k, порожденные Данной матри­ цей А, то гапg А < k.

Теорема 1. Ранг матрицы не изменится, если:

1)nояенять места,lIи любые два nараллельных ряда;

2)уяножить каждый элемент ряда на один и ТО1" же множитель

;"*0;

3) nрибавить к элементам ряда соответствующие элементы любого другого nараллельного ряда, умноженные на один и тот же множитель.

Преобразования 1-3 называются элементарными. Две матрицы

называются эквивалентными, если одна матрица получается из другой с помощью элементарных преобразованиЙ. Эквивалентность матриц А и В

обозначается А ~ В.

Базисным минором матрицы называется всякий отличный ОТ нуля

МИиор, порядок которого равен рангу данной матрицы.

Рассмотрим основные методы нахождения ранга матрицы.

1. Метод единиц и нулей. С помощью элементарных преобразований

любую матрнцу можно привести к виду, когда каждый ее ряд будет состоять только из нулей или из нулей и одной единицы. Тогда число

оставшихся едиииц и определит ~одной матрицы, так как полу­

ченная матрица будет экв",ва~на исходной.

21

Пример 2. Найти ранг матрицы

-1	-1	О	-3	-']
A~[ ~	1	2	3	2 .
	-1	О	-4	5
6	3	4	8	-3.

~ Умножим третий сто.лбец матрицы А на 1/2. Далее, по.лученную первую строку умножим на 2 н вычтем ее из четвертой строки. Теперь

третий сто.лбец содержит трн нуля и единицу (в первой строке). Легко

делаем пули в первой строке на первой, второй, четвертой и пя.тоЙ позициях. Имеем

А_[ ~	-1	О	-4	=~l
-1	-1	О	-3
	О		о
4	I	О	2	-1 J

Теперь четвертую строку последней матрицы складываем со второй

и третьей, по.лучая прн этом еще два нуля во втором столбце, после

чего делаем нули в четвертой строке всюду, кроме единицы на пере­

сечении четвертой строки и второго столбца. В результате этнх эле­

ментарных преобразований имеем:

3 О О			-1 -3~]-~~3	О	О	-1 -3 - О О О 1 О .
О	О	1	О	О	1	о	ОО]	[О00000О 1 О О]
А- 6	О	О	-2	О	О	о
[О 1 О			О О О		О	О	О	О 1 О О О

По.лучили три едииицы. Следовательно, rang А = 3.

За базисиый мииор можно взять, например, определитель третьего

порядка, который находится на пересечеиии первой, третьей, четвер­ той строк и второго, третьего и четвертого столбцов (на пересечении

этих строк и столбцов в последней матрице стоят единицы). Так как

перестановка рядов матрицы ие производилась, то однн из базисиых ми­ норов матрицы А следующий:

I-i ~ -il*o.~

2. Метод окайАияющux миноров. Минор МН I		порядка k + 1, содер­
жащий в себе минор M k порядка .k, называется		окацAtЛЯЮЩUAt мииор
M k • Если У матрицы А	существует минор M k * О, а все окаймляющие
его миноры M k + I = О,	то гапg А = k.

Пример 3. Найти ранг матрицы

A~[~ =: !Н

~ Имеем М2= I=~ ~1*О. ДЛЯ М2 Окаймляющими будут только

два мииора:

22

мз=l~ - 9	51	1-3	5
	3	-9	3
-3
-6	4 , Mf= -6 4
каждый из которых равен нулю.		Поэтому rang А = 2, а		указанный
минор М2 может быть принят за базисный.....
Теорема 2 (Кронекера -	Капелли). для		того чтобы	система т

линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных Xt,

X'l, нО, ХN

allxl + al2X2 +...+ alnXn = b l, }
а2,Х! + а22Х2 +... + а2nХn = Ь2,
...................	( 1.13)
aтlXI +ат2Х2 +... + атnxn = Ьm

была совместна (имела решение), необходимо и достаточно, чтобы ранг ОСНQВНОЙ матрицы

		А =	~"~2.1.		аа22'2	а2n,"]				(1.14)
				атl	ат2	атn
системы (1.13) и ранг так называемой расширенной матрицы
	["атl		ат2		атn	Ьт			Ьm
			а22		а,"	Ь']	[		2
			а'2						Ь]
В =	~2~.				~2~	~~	= А			(1.15)
системы (1.13) были равны,				т.	е. гапg А =		rang В = г. Далее,			если
tang А = гапg В и	r =	n,	то	система		(1.13)	иМеет		единственное ре­
шение; если r < n,	то	система			(1.13) и'меет бесконечное множество
реше1Шй, зависящее от n -			r nроизвол6НЫХ параметров.
Система (1.13) наЗывается однородной, если все ее свободные
члеиы Ь/ (i = 1, т)	равны иулю. ЕСJIИ хотя бы одно								из чисел отлично

от нуля, то система называется неоднородноЙ. Для однородной системы уравнеинй гапg А = гапg В, поэтому она всегда совмеС1на.

Пример 4. Выяснить, совместна ли система уравнений

4х, +3Х2 -		3хз -	Х4 = 4, }
3ХI -	Х2 + 3Хз -		2Х4 = 1,
3х, +	Х2	-	Х4 = О,
5Х,I +	4Х2 -	2хз +	Х4 = 3.

~ Выпишем расширенную матрицу данной системы и найдем ранги основной н расширеиной матриц. Имеем:

3	3	--1	4]
	- 3
-1		2	1
1	О	-1	О .
4	- 2	1	3

Не будем переставлять столбец свободных членов с другимн столб­

цами матрицы, чтобы сразу определить ранги основной и расширенной

матриц. Второй столбец матрицы В умиожим на 3 и вычтем из первого,

23

а также С,ложим второй столбец с четвертым. В результате в тре:гьей

строке получим все нули, кроме еднницы во втором столбце. Тогда

легко можно обратить в нули все остальные элементы второго столбца.

Получим

		-5	О	-3	-324JI
B~		6	О
	[	О	I	О	О	О .
		-7	О	-2	5	3
Теперь вторую строку прибавим к первой и четвертой, а затем в
получеиной матрице первый			столбец		сложим с четвертым. Имеем:
В~lО~ ~I				~О ~О О~J.
		-1 О 1			1 4

Далее третий стОлбец последней матрицы вычтем из четвертого, рав­

ного ему, и прибавим к первому. Полученный первый столбец, умножен­ ный на 5, вычтем из пятого. Тогда

	В~ri			~ ~ ~	-~]~I-~			~ ~	~	!].
		l~olo				4	l~o		00
Получили гапg А =			3,	гапg В =	4,	откуда гапg А =F- гапg В, т. е. исход­
иая система уравнений несовместна....
					А3-1.3
	1. Найти матрицу А -1, обратную данной матрице А,
если:				_~ ; б) А~ ~ 7							-~]1 .
	а) А~[!		2						6
			21	-5]				О	1
								[О 3	1
								2	2		1
(		-,		[-10			12	14]
Ответ: а) А			~ + ~~				- 9
								-1~	;
							-3		-~H)
				-3			-3	3
	б) A-I=~r--137						3	-13
							- 3	8
				15	18		3	-3

2. Найти ранг матрицы А с помощью элементарных

24

преобразований или методом окаймляющих миноров и указать какой-либо базисный минор, если:

а) А~[ =~			~ =~		=:}
	1	О	1	-1
	2	1	3	-2
б) А =	- 3 -1 -4			3
	4 -1		3	-4
	1	1	2	-1
в) А=	[-1~ 84	22	~]
7		1	-4
(Ответ: а) 2; б) 2; в)			3.)
3. Зная основную матрицу А					и расширенную матри­

цу В, записать соответствующую им систему линейных

алгеораических уравнений и решить вопрос о ее совмест­

ности или несовместности, пользуясь теоремой Кроне­

кера -	Капелли:				--2]			B~[A
а) А~[1			-1	2
			-1		1	,					Н
			-5	8	- 7
			-1
		3							6
		1	-5						12
б) А=		2	4 О		, В=		А		-6
		2		3					3
		5	О	4					9
(Ответ: а) rang А =				2, rang В = 3, т. е. система несовмест­
на; б)	rang А = rang В = 3,					т.		е. система совместна.)
			Самостоятельная					работа
1. 1)	Найти матрицу А -1,					обратную матрице

A=[~ -~ -;];

6 7 - 3

25

2) найти ранг матрицы А с ПОМОЩЬЮ элементарных

преобразований и указать какой-либо ее базисный минор,

если				[37	3,	,!}
		А=
				15	7
(ответ:	')	A-1=~	[-511		,5	-8 .		2)	rangA~2)
				15	3	4]
		10		25	9	-14	'

2. 1) Для матрицы А найти матрицу А -1 И убедиться,

что АА- 1 =Е, если

2 1 3]

А= [1 О 2 ; 1 О 4

2) найти ранг матрицы А и указать какой-либо ее

базисный минор, если

	A=[-~ -~			-:	~	~l.
		-3	1	2	-4	lJ
(ответ:	1) А- 1 =		О	-4	2]	2) r~ngА = 2.	)
		- +-2		5	- 1 ;
		[	О	1-1
3. 1)	Найти матрицу А -1, если
	A=[-~			-~	-~];
	.	3		-2	-1 .
2) найти ранг матрицы А и указать какой-либо ее
базисный минор, если

	l	4	4
			-1
А=	-1		1
		6	3

26

(OToeT:l) А-'= [~ i Н 2) гапgА= 3.)

1.4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Матричиыil метод. Пусть для системы (1.13) т = n и основиая Мlaтрица А вида (1.14) - иевырожденная, т. е. det А =F- О. Тогда для

А существует единственная обратная матрица А -1, определяемая

формулой (1.11). Введем в рассмотрение матрицы-столбцы для неиз­

вестиых и свободных члеиов:

				XI]			[bll			(1.16)
				Х2	. -			Ь2
			Х=	[~n '	В=			ln .
Тогда систему (1.13) можно записать в								матричной форме:		АХ = В.
Умножив это	матричное уравнение				слева			иа	А- 1, получим	А- JАХ =
=A-1B, откуда EX=X=A-JB. Следовательно, матрица-решение Х
легко находится как произведение А- J И В.
Пример 1.	Решить систему уравнений матричным методом:
			2х-	4у+ z = 3,				}
			x-5y+3z= -1,
			х- у+ z= 1.
		-4
		-5
		-1
Обратная матрица								31 --7]5
						-2			-6
(см. пример[~:з§ ~3)~~JaX[OA~:J:								[-2.з+3(-1) -7'IJ
Х=- ~	2	I	-5	-1	= - ~				2.3+1(-1)-5.1 =
	4	-2	-6	1					4·3-2(-1) -6·1

т. е. Х = 2, У = О, z = - I - решение данной системы.....

27

Формулы Крамера. Если для системы (1.13) т = n и det А =1= О,

то верны формулы Крамера для вычис~ииянеизвестных Х; (i= ~):

x;=/),~)//)" и= ~),

(1.17)

где /)', = det А, а /),~) являются определителями n·го порядка, которые

получаются из /)', путем замены в нем i·ro столбца столбцом свободных

члеиов исходной системы.

Пример 2. Решить систему уравнений с помощью формул Крамера:

	2х, -	Х2 -	3Хз = 3, }
	3х, + 4Х2 -		5хз = -8,
		2Х2 + 7хз = 17.
~ Вычислим
	-1
/),з=detA = 1~ 4		-31	=56-18+20+21 =79.
		-~
	2

Последовательно замеНIIВ в /)'З первый, второй и третий столбцы

столбцом свободных членов, получим:

/)'~')=I-:				-~		=~	1=395' XI= ~~')		= 379: =5,
/),~2)=	1~		17		2	7		3
			-8		-5	1= -158, X2=~=-79= -2,
			3	- 3				1'>~2)	158
			17		7
/),~3)	=	1~	-1		-~1=237'			Хз = -к;- =	79 = 3.....
				4
								/),~3)	237
				2		17

Метод последовательных исключений Жордана - Гаусса. Если основная матрица А системы (I.13) имеет ранг r:S;;; n, то расширенная_

матрица В этой системы с помощью элементарных преобразований

строк и перестановок столбцов всегда может быть приведена к виду

		al2		а"	а',+1	а"		5,
		о		а2'	а2'+1	а2n		52
		О	О		arr+1	а"		5,		(1.18)
		о	о	о	о	о		5'+1
								, ..
		о	о	о	о	о		5m
Матрица	(1.18)		является		расширенной матрицей					системы
Х, +	а'2Х2 +... +			al'x, +	al,+IX,+1 +	... +		а,nхn= 51, 1
.		Х2 +	... +	а2,Х' +	а2'+IX,+ 1+	... +		а2nХn =		52,

28

			Х, + a,,+IX,+1 + ..,+ атХ. = ь"
				? .~~'.+~'	JO (1.19)
				О =Ьт,
которая	эквивалентна		исходной системе (т. е. имеет те же самые			ре­
'шения, что и исходная система). Если хотя бы одно из чисел					Ь,+ 1,	••• ,
Ьm отлично от		нуля,	то система	(1.19) и, следовательно,	исходиая
система	(1.13)	несовместны. Если		же Б'+I = ... = Бm = О, то	система

(1.13) совместна, а из системы (1.19) можно последовательно выразить

в явном виде базисные неизвестные х" Х'_" ..., Х2, ХI через свободные

неизвестиые X,+I, ..., Х., т. е. решить систему (1.13). Если г=n, то

решение этой системы единственно. .

Пример 3. С помощью метода последовательных исключеинй Жорда­ на - Гаусса решить вопрос о совместности даиной снстемы и в случае

совместностн решить ее:

2Х'+3Х2+ Ilхз+5Х4=				2,}
ХI +	Х2	+	5хз + 2Х4 =	1,
3ХI +	3Х2	+	9хз + 5Х4 = -2,
2х, +	Х2	+	3хз + 2Х4 = -3,
ХI +	Х2	+	3хз + 4Х4 =	-3..

~ Составим расширенную матрицу В и проведем необходимые

элементарные преобразования строк:

B=~!2	:1	li3 2~	--3~J~ll2 ~1			I~3	:2 --3l]~
1		3 4 -3			3 3 9 5 -2
~-+~~о -1О		--7~	-2~	--~j"",~~5 О		О~ :О		--7: il7 --
О	О -6 -1 - 5				О О - 6 -1 -5
~~~о	оl :о -~		-1~j--~~О Оо			О:	- 1~- 1ij.
О О О -7				7	О О О		О	О
		Х, + Х2 + 5хз +2Х4 =				I,}
Последней матрице		соответствует система,				эквивалентная исходной:
			Х2 + Хз + Х4 =			О,
				Хз -	Х4 =	2,
					Х4= -1.

Из нее, двигаясь снизу вверх, последовательно находим: Х4 = -1, Хз =
= 2 + Х4 = 2 - 1 = 1, Х2 = - Хз - Х. = - 1	+ 1 = О, Х, = 1 - Х2 - 5хз­
- 2Х4 = 1 - 5 + 2 = - 2.

29

Итак, система совместна, ее решение единственно (г = n =	4): х, =
= -2, Х2 = О, ХЗ = 1, Х4 = -1. Проверкой легко убедиться в	правиль­
иости найденного решения. ....

Пример 4. Методом Жордана - Гаусса показать, что данная си­

стема имеет бесчисленное множество решений, зависящих от двух па­

раметров, и найти эти решения:

Х, +2Х2 +ХЗ +Х4 =5,}
ХI +	Х2	+ ХЗ + Х4 = 3,
	Х2	=2.

~ Составляем расширенную матрицу системы В и находим rangA

и rang В с помощью элементарных преобразований строк:
В=[А1В]= ~о				21	15]3
		1		1 О	О	2
-~ -1	-11 -1		- 3:J-[iО			О О1	О	П
2		1				2
			2 < n = 4.
Следовательно, rangA =		гапgВ =				Поэтому		система сов­

местна и имеет бесчисленное множество решений, зависящих от двух

(n - r = 4 - 2 =	2) параметров.
Последней матрице, эквивалентной данной матрице В, соответст­
вует система уравнений
	Х, + 2Х2 + Хз +Х4 = 5, }
	Х2 + Хз + Х4 =	3,
эквивалентная	исходной. Так как ~2= I~	;I= 1 *'О, ТО В качестве

базисных неизвестных берем ХI и Х2, а Хз и Х4 принимаем за свободные

неизвестные (параметры). Тогда из второго уравнения последней си­

стемы имеем Х2 = 3 - Хз -				Х4. Подставив выражение для Х2 в		первое
уравнение, найдем					Хз - Х4 = -1 + Хз + Х4• ....
	ХI = 5 - 2(3 -		Хз -	Х4) -
З а м е ч а и и е.		За базисиые			неизвестные можно было бы принять
также XI,	Хз, или Х"	Х4,	или Х2, Хз,		ИЛИ Х2, Х4, ио не Хз, Х4, так как опре­
делитель,	составленный		из	коэффициентов при Хз и Х4, равен		нулю
(\: :I=	о). и поэтому Хз и Х4 невозможно выразить через ХI и					Х2.

А3-1.4

1. Доказать совместность систем с помощью теоремы

Кронекера - Капелли, записать системы в матричной

форме и решить их матричным способом:

а) {	2Xl-X2	=-1,	{4Xl+2X2-ХЗ=	О,
	Xl+2X2-Хз=-2, б)		Хl+2Х2+ХЗ=	1,
	Х2+ХЗ= - 2;,		Х2-ХЗ= -3.

30