Статистическая физика / Конспект лекций

где — некоторая функция одного аргумента. Подобное соотношение согласно (6.3.11), (6.3.12) имеет место и для среднего числа частиц:

Используя соотношение (6.3.16), находим для энтропии квантового идеального газа:

Следовательно,		энтропия		, приходящаяся		на одну
частицу, является функцией только одного				параметра	.	Поэтому в
квантовом идеальном газе при адиабатическом процессе						для
заданного	полного	числа частиц		остается	постоянным
отношение	.
Заметим, что величины			и	также зависят только от одного
параметра		(см. (6.3.16),	(6.3.17)).	Поэтому при адиабатическом

процессе в квантовом идеальном газе с заданным числом частиц выполняются следующие равенства:

Эти равенства совпадают с уравнениями адиабаты Пуассона для классического идеального газа. Однако показатели степени в формулах (6.3.19) не связаны теперь с отношением теплоемкостей.

6.4. Переход к статистике Больцмана. Критерий вырождения

Мы рассмотрели общие термодинамические соотношения, которые справедливы как для идеального газа бозонов, так и для идеального газа фермионов. Перейдем теперь к более детальному анализу полученных выше выражений для термодинамических функций для выявления отличий между свойствами этих газов.

Как было отмечено выше, в общем случае термическое уравнение состояния квантового идеального газа определено в параметрическом представлении (6.3.8), (6.3.11). Для практических целей предпочтительнее

181

вывести приближенные уравнения, справедливые в определенной области термодинамических параметров.

Предположим, что величина параметра мала по сравнению с единицей:

Так как зависимость этого параметра от температуры и плотности на данном этапе неизвестна, смысл критерия (6.4.1) пока не ясен.

Далее в выражении (6.3.1) для термодинамического потенциала Гиббса

разложим логарифм по степеням малого параметра

(6.4.1):

. После ряда простых преобразований получим представление для термодинамического потенциала Гиббса в виде следующего соотношения:

где так называемые групповые интегралы					зависят только от
температуры:

В уравнении (6.4.2) величина , называемая активностью, связана с химическим потенциалом соотношением:

и имеет размерность плотности .

Если в соотношении (6.4.2) пренебречь всеми членами, кроме первого,

то получающееся выражение для термодинамического потенциала
соответствует, как говорят, статистике Больцмана.
Учитывая общие термодинамические соотношения:
, а также замечая, что согласно (6.4.4)	,

получаем разложения для давления и плотности газа в ряды по степеням активности:

182

Отметим, что эти выражения могут быть получены непосредственно из соотношений (6.3.8), (6.3.11). Первые члены этих разложений совпадают с соответствующими результатами для классического идеального газа, а остальные, в которые входят величины , , учитывают квантовые эффекты, обусловленные тождественностью частиц.

Если в (6.4.5) выразить активность через плотность и подставить полученный результат в выражение для давления, получим разложение для давления квантового идеального газа по степеням плотности:

где вириальные коэффициенты определяются групповыми интегралами

(6.4.3):

Используя (6.4.5), вириальное разложение (6.4.7) можно записать в виде:

или с более удобными численными коэффициентами

Первый член вириального разложения (6.4.9) соответствует термическому уравнению состояния классического идеального газа, остальные учитывают отклонения от этого уравнения, вызванные квантовыми эффектами.

Отметим, что первый поправочный коэффициент к давлению классического идеального газа в (6.4.9) имеет разные знаки для фермионов и бозонов.

Для фермионов при заданной плотности и температуре давление выше, чем для идеального классического газа, как если бы между частицами действовали силы отталкивания. На самом деле такое поведение — результат действия принципа Паули: при уменьшении объема уменьшается и число «вакантных» состояний, которые еще могут быть заняты частицами, поэтому газ фермионов сильнее сопротивляется сжатию, чем идеальный классический газ, в котором ограничений на числа заполнения нет.

183

В случае бозонов ситуация противоположная — давление уменьшается по сравнению с классическим идеальным газом, как будто между частицами имеет место некое «притяжение». Этот эффект в действительности обусловлен тенденцией бозонов «скапливаться» в состояниях с наименьшей энергией в отличие от идеального газа, подчиняющегося статистике Больцмана.

Теперь мы можем рассмотреть пределы применимости нашего разложения, связанного с условием (6.4.1) и, следовательно, пределы справедливости статистики Больцмана. Согласно (6.4.8) критерий справедливости определяется безразмерным числом , которое называется

параметром вырождения:

Убедимся в том, что малая величина параметра вырождения (6.4.10) обеспечивает выполнение исходного условия (6.4.1). Для этого выпишем разложение по плотности для параметра , обращая степенной ряд (6.4.5) для плотности :

Следовательно, при справедливости условия (6.4.10) выполняется и исходное условие (6.4.1).

Учет только первого члена в разложении (6.4.11) приводит к равенству для активности , которое соответствует случаю классического идеального газа, при этом химический потенциал удовлетворяет равенству:

т.е. химический потенциал идеального газа в рамках статистики Больцмана является большой отрицательной величиной.

В	свою очередь, энергия Гельмгольца (свободная энергия)			и
энтропия	идеального газа Больцмана имеют вид:

184

Если теперь применить предел малости вырождения (6.4.10) к распределениям Бозе – Эйнштейна и Ферми – Дирака (6.2.5), то нетрудно убедиться, что эти распределения с учетом (6.4.12) переходят в распределение Максвелла – Больцмана:

Таким образом, для заданной плотности приближение Больцмана справедливо при высоких температурах, а для заданной температуры — при низкой плотности. Важно также отметить зависимость от массы частицы. Из-за этой зависимости эффекты квантовой статистики наиболее важны и легче всего обнаруживаются в системах, состоящих из легких частиц.

Противоположный по отношению к условию (6.4.10) критерий

представляет собой условие, при котором статистика Больцмана неприменима, и идеальный газ необходимо рассматривать с использованием распределений Бозе – Эйнштейна или Ферми – Дирака. В этом случае квантовый идеальный газ принято называть вырожденным, а критерий

(6.4.16) носит название критерия вырождения.

Рассмотрим возможность применения статистики Больцмана сначала для газа, состоящего из обычных атомов. Подставляя в условие (6.4.10)

численные значения постоянной Планка,	плотности	и массы
, получим	. Таким образом,	для обычных

газов при близком к нормальному значении давления использование статистики Больцмана является хорошим приближением вплоть до весьма низких температур.

Иначе обстоит дело для газов, состоящих из легких частиц, как

например, электронный	газ в металлах	с характерной	плотностью
. При массе	электрона	, такой	газ является
вырожденным вплоть до температур		.

185

6.5. Вырожденный идеальный газ фермионов. Энергия Ферми

Перейдем теперь к изучению поведения квантовых идеальных газов в случае выполнения критерия вырождения (6.4.16). В этом случае идеальные газы фермионов и бозонов ведут себя совершенно по–разному. Начнем с рассмотрения идеального газа фермионов.

Пусть плотность такой системы остается постоянной, а температура понижается. Тогда частицы будут стремиться распределиться по состояниям так, чтобы энергия системы была минимальной. Однако в силу принципа Паули они не могут скапливаться в каком–либо одном состоянии.

При приближении температуры к нулю энергетически наиболее выгодно такое распределение, при котором частицы заполняют подряд все состояния: от состояния с наименьшей энергией до некоторого предельного по энергии состояния, пока все частицы не окажутся распределенными. Этот предельный энергетический уровень называется энергией Ферми и обозначается как . При этом на каждом энергетическом уровне находится по одной частице или, если он вырожден, то частиц.

Идеальный газ фермионов при «нулевой» температуре называют полностью вырожденным, он имеет значительную, как говорят, «нулевую энергию». Именно в этом заключается его наиболее важное отличие от

идеального газа бозонов.
Обратим внимание, что понятие нулевой температуры (	) имеет

формально математический характер в силу ее недостижимости. На самом

деле, естественно, подразумевается требование		. Однако
использование условия	оказывается весьма	полезным для

математических преобразований и широко применяется в литературе.

Таким образом, согласно проведенному выше обсуждению среднее число заполнения при нулевой температуре равно:

где — ступенчатая функция Хевисайда:

Для установления связи этого результата с общей формой распределения Ферми – Дирака (6.2.7), рассмотрим формальный предел этого распределения при с учетом поведения экспоненциальных функций:

186

Поэтому для среднего числа частиц имеем

что эквивалентно выражению (6.5.1), если принять формально математическую запись нулевой температуры

На этой основе нетрудно вычислить энергию Ферми. Если зафиксировать плотность числа частиц в системе, то из соотношения (6.3.11),

используя замену переменной							и равенства (6.5.1), (6.5.4), находим в
пределе	:

Следовательно, выражение для энергии Ферми как функции плотности

имеет вид:

Энергии Ферми соответствует импульс Ферми , связанный с ней соотношением

187

На основе распределения (6.5.1) мы можем вычислить внутреннюю (среднюю) энергию (6.3.13):

и давление (6.3.15):

Таким образом, благодаря наличию предельной энергии давление идеального газа фермионов при нулевой температуре имеет значительную величину.

Полученные выше результаты, которые соответствуют пределу			,
физически отвечают температуре системы		, которая мала по сравнению с
некоторой характерной температурой	:	, где	—

температура вырождения (или температура Ферми). Это ограничение, как и следовало ожидать, противоположно условию (6.4.10) применимости статистики Больцмана.

Тем самым, мы можем считать, что полученные выражения для термодинамических функций вырожденного идеального газа фермионов представляют собой первые члены разложения соответствующих величин по степеням малого параметра . Для того, чтобы убедиться в этом и определить следующие члены такого разложения, нам потребуется систематический метод, разработанный А. Зоммерфельдом для вычисления величин вида

в пределе , в том смысле, что . Здесь — некоторая функция , такая, что интеграл (6.5.11) сходится. Введем также функцию

Интегрируя по частям, преобразуем соотношение (6.5.11) к виду

188

В интересующих нас случаях первые два слагаемых в (6.5.13)

обращаются в нуль, так как		и	. Строго говоря, для
справедливости этих утверждений,		необходимо,	чтобы функция		при
не возрастала быстрее, чем		,	а при	не возрастала
быстрее, чем	. Считая эти условия выполненными, находим

Перейдем в интеграле (6.5.14) к новой переменной интегрирования

:

и рассмотрим свойства функции

Нетрудно видеть, что эта функция является четной:

а также быстро, как		, убывает с ростом абсолютной величины					,
так, что эта функция заметно отличается от нуля только вблизи точки							,
которая эквивалентна		.
Поэтому существенный вклад в интеграл (6.5.15) вносят только малые
значения	. Следовательно, мы имеем возможность разложить функцию
	в ряд по степеням переменной под знаком интеграла:

189

где	— значение производной		– го порядка от функции	(6.5.12)
при значении		.
	При низких температурах в соотношении (6.5.18) с точностью до
экспоненциально		малого члена	можно заменить нижний	предел

интегрирования на . После этого учтем также, что функция (6.5.16) является четной функцией (см. (6.5.17)). Поэтому вклад в

интеграл дают только члены ряда (6.5.18) с четными степенями :

Для имеем

а при , интегрируя по частям, находим

где — хорошо известные и табулированные числа Бернулли, в частности,

Используя все полученные формулы, выразим результат через

первоначальную функцию	(6.5.11):

Здесь учтено, что согласно (6.5.12) .

В асимптотическом разложении (6.5.22) существенно лишь конечное число членов. Первые два члена имеют следующий вид:

190