Статистическая физика / Конспект лекций

Найденные волновые функции:		— для системы
невзаимодействующих	бозонов и	— для системы
невзаимодействующих	фермионов, отвечают	энергетическим уровням

, которые представляют собой суммы энергий отдельных состояний

(4.4.1):

и являются собственными функциями гамильтониана рассматриваемой системы:

Эти волновые функции образуют полную ортонормированную систему функций:

Здесь мы использовали систему обозначений П.А.М. Дирака, в рамках которой матричные элементы некоторого оператора записываются как

Символы и обозначают соответственно конечное и начальное состояния (векторы состояния) как таковые, вне зависимости от того, в каком представлении рассматриваются волновые функции состояний. С помощью этих символов можно составить обозначения для коэффициентов разложения волновых функций: если мы имеем полный набор волновых

функций, отвечающих	состояниям	…, то коэффициенты
разложения по ним для волновой функции некоторого состояния
обозначают символом	:

Полученные выше результаты позволяет нам представить произвольную

волновую функцию	системы, которая состоит из
тождественных частиц, по собственным функциям
(4.4.14) (для бозонов — индекс	, для фермионов — индекс	):

121

где суммирование производится по всем выборкам			,	каждая из
которых характеризует	состояний из	всего	множества	состояний
(возможно, бесконечного множества).
Коэффициент разложения		в	соотношении (4.4.18)
определяется по общему правилу:

Чтобы не усложнять обозначения, мы опустили в равенстве (4.4.19) знак комплексного сопряжения у функции , который

никак не влияет на результаты рассмотрения.

Для выяснения физического смысла коэффициента разложения

(4.4.19) отметим, что величина	—
это плотность вероятности конфигурации микросистемы	при

условии, что микрочастицы находятся в одночастичных состояниях, которые

характеризуются набором	. В этом случае, очевидно,
конфигурация микросистемы рассматривается как случайная величина.
Следовательно, величина	определяет вероятность

того, что микрочастицы рассматриваемой системы занимают одночастичные

состояния из заданного набора		, т.е. микросистема, описываемая
волновой функцией		, находится в определенном
состоянии	. В этом случае эти состояния являются случайными

при заданной конфигурации системы.

Поменяем в обеих частях выражения (4.4.19) порядок следования

индексов:	. В результате такого
преобразования коэффициент	в разложении (4.4.18) определяется
аналогично (4.4.19):

Согласно проведенному выше рассмотрению, обмен порядка

следования	индексов	состояний:
	, в волновой функции		дает
			122

такие же результаты, что и обмен порядка следования ее аргументов: , а именно:

где, как обычно, значение отвечает бозонам, а — фермионам. В результате, сравнивая (4.4.19) и (4.4.20) и учитывая (4.4.210),

получим

Таким образом, по отношению к перестановке аргументов

коэффициент разложения		ведет себя как волновая функция
	. Из (4.4.22), в частности, следует, что если для
фермионов состояния	и	совпадают, т.е. два фермиона находятся в
одном состоянии, то

т.е. такое состояние не реализуется. Соотношение (4.4.23) является еще одной формулировкой принципа Паули.

4.5. Метод вторичного квантования для систем тождественных частиц

Соотношение (4.4.22) позволяет сформулировать наиболее корректную постановку вопроса, соответствующего понятию неразличимости

тождественных частиц,	о том, сколько частиц находится в состоянии ,
сколько в состоянии	и т.д.	Поэтому для системы тождественных частиц
естественными переменными		являются числа заполнения	, которые

указывают число частиц, занимающих состояние .

Поставим себе целью построить математический аппарат, в котором именно числа заполнения (а не координаты и проекции спинов) играли бы роль независимых переменных.

В таком аппарате состояния системы описываются, как говорят,

волновой функцией в представлении чисел заполнения				(в
отличие от полной волновой функции системы			).
Найдем связь между этими двумя представлениями состояний,
описывающих систему тождественных		частиц. Плотность вероятности
	того, что в состоянии	будут находиться		частиц, в
состоянии —	частиц и т.д., равна сумме вероятностей конфигураций,
				123

получающихся из данной конфигурации путем всех перестановок обобщенных координат :

где суммирование ведется по всем возможным перестановкам пар индексов, обозначающих состояние. Но в силу соотношения (4.4.22) все члены в правой

части равенства (4.5.1) равны друг другу. С другой		стороны, существует
способов распределения	частиц по	занятым состояниям.
Поэтому

Соотношение (4.5.2), справедливое как для бозонов, так и для фермионов, позволяет осуществить преобразование от представления обобщенных координат к представлению чисел заполнения, которое является сутью метода вторичного квантования. Этот метод был развит П. А. М. Дираком для фотонов в применении к теории излучения, а затем распространен на фермионы Е. Вигнером и П. Иорданом.

Отметим, что в большинстве случаев это представление содержит бесконечное число переменных, ибо для каждой частицы существует бесконечное число разрешенных уровней, например, разрешенные значения импульса для свободной частицы. Однако в каждом состоянии системы частиц только конечное число чисел заполнения отличается от нуля, так как

Формализм чисел заполнения наиболее удобен для описания квантовых систем многих частиц и обладает тем преимуществом, что содержит в простой форме все эффекты квантовой статистики, возникающие из требований симметрии для бозонов и фермионов. Явное преобразование уравнения Шредингера к представлению чисел заполнения можно осуществить непосредственно на основе соотношения (4.5.2). Здесь мы представим только итоговые результаты такого формализма.

Определим теперь операторы рождения и уничтожения ,

которые устанавливают связь между различными волновыми функциями системы, которая состоит из тождественных частиц. В случае

бозонов эти операторы определяются равенствами:

124

Для того, чтобы дать определения для операторов уничтожения и рождения фермионов необходимо учесть, что перестановка двух индексов, характеризующих состояния, приводит к изменению знака волновой функции. Поэтому необходимо условиться о некотором естественном, но, по сути, произвольном упорядочении индексов этих состояний:

Лишь приняв подобное соглашение можно добиться определенности знака волновой функции при перестановке двух индексов состояний.

Теперь определим для фермионов оператор уничтожения

и оператор рождения

Вэтих выражениях — число занятых состояний, «меньших» состояния

(см. (4.5.6)):

Всилу условия (4.5.6) это число имеет определенное значение.

Согласно соотношениям (4.5.7), (4.5.8) фермион может быть «удален» только с занятого состояния и «введен» только на свободное состояние.

Из определений операторов рождения и уничтожения немедленно следуют правила коммутации для них. Эти правила имеют вид:

для бозонов и

для фермионов.

125

Оператор		называют антикоммутатором для
операторов и	. Заметим, что все физические свойства системы, связанные
со свойствами симметрии отражены в принятых правилах коммутации.
Оператор	числа частиц	для состояния, которое определяется

набором квантовых чисел , определяется равенством

а число заполнения

является собственным значением оператора

:

Для	системы	бозонов	соотношение	(4.5.13)	получается
непосредственно из определений (4.5.4), (4.5.5).
Для системы фермионов вывод соотношения (4.5.13) из (4.5.7), (4.5.8)
несколько сложнее. Прежде всего, полагая в (4.5.11)				, мы видим, что

Иначе говоря, два фермиона не могут находиться в одном и том же состоянии. Тем самым, принцип Паули действительно учитывается правилами коммутации (4.5.7), (4.5.8). Следовательно, числа заполнения каждого состояния могут принимать лишь значения 0 или 1. В этом можно также убедиться, замечая, что оператор числа частиц в состоянии , формальный вид которого одинаков для фермионов и бозонов, с учетом соотношений (4.5.7), (4.5.8) для фермионов обладает следующим свойством:

Равенство может выполняться только для операторов и . Поэтому для доказательства справедливости соотношения (4.5.13) для

фермионов необходимо лишь показать, что оно вытекает из формул (4.5.7),

(4.5.8) при условии, что	и	. Действительно, для случая
имеем	, а для случая		—
, что и доказывает равенство (4.5.13).
Рассмотрим теперь	некоторый	оператор	, который представляет
собой сумму одночастичных операторов:

126

Примером оператора могут служить оператор для кинетической энергии частицы или оператор Гамильтона частицы в статическом внешнем поле :

Сравнивая матричные элементы оператора , взятые по волновым

функциям	и в представлении чисел заполнения
можно показать, что оператор	выражается следующим образом:

В соотношении (4.5.18) величины

равны:

Поскольку операторы отличаются друг от друга только обозначением обобщенных переменных , на которые они действуют, то интегралы (4.5.19) не зависят от индекса , и этот индекс опущен. Соотношения (4.5.18), (4.5.19) справедливы как для бозонов, так и для фермионов.

Рассмотрим теперь оператор , который представляет собой сумму двухчастичных операторов:

Наиболее	важным		примером оператора	является	оператор
потенциальной энергия взаимодействия двух частиц					. Можно
показать, что	оператор		выражается с использованием		операторов
рождения и уничтожения следующим образом:

127

Эти формулы применимы как для бозонов, так и для фермионов. Аналогичным образом любой «суммарный» оператор, который

представляет собой сумму операторов для отдельных частиц, пар частиц,

троек и т.д., может быть записан в представлении вторичного квантования с

использованием операторов рождения и уничтожения. Это относится и к оператору Гамильтона системы тождественных частиц. При этом формальный вид таких операторов одинаков для бозонов и фермионов.

Таким образом, представление вторичного квантования наиболее адекватно описывает системы тождественных частиц, включая учет спиновой переменной.

Из проведенного рассмотрения также следует, что наблюдаемыми физическими величинами для систем тождественных частиц могут быть только те, которым соответствует «суммарный» оператор. При этом одночастичные волновые функции определяют соответствующие матричные элементы.

При решении конкретных физических задач одной из важных проблем является выбор подходящего приближения для одночастичных волновых функций. В частности, для системы невзаимодействующих тождественных частиц оператор Гамильтона имеет вид:

Если в качестве волновых функций	в матричных элементах (4.5.19)
выбраны собственные функции оператора Гамильтона		(4.5.17)	для
отдельной частицы, то матрица	становится диагональной, а		ее
элементами — собственные значения энергии частицы		в состоянии	. В
этом случае

Заменяя оператор его собственным значением , получаем для энергии системы тождественных частиц, которые не взаимодействуют между собой, следующее выражение:

128

Соотношение (4.5.25) также справедливо и для бозонов, и для фермионов.

4.6. Эволюция во времени наблюдаемой величины. Представления Шредингера и Гейзенберга

Построение динамики квантовой системы основано на таком же ходе рассуждений, как и в классической механике. Однако прежде чем перейти к рассмотрению динамики квантовой системы, обобщим представленные выше результаты.

Как уже было отмечено ранее, вместо точки в фазовом пространстве состояние квантовой системы будет характеризоваться элементом (вектором состояния или волновой функцией состояния) в пространстве состояний

(гильбертовом пространстве). Гильбертово пространство — обобщение понятия евклидова пространства, допускающее бесконечную размерность, оно названо в честь Д. Гильберта. Вместо функций в фазовом пространстве роль динамических функций играют операторы, действующие в гильбертовом пространстве.

Прежде всего, необходимо иметь правило, устанавливающее связь между абстрактными операторами и физическими наблюдаемыми величинами. Это правило основывается на следующем свойстве гильбертовых пространств: для каждого оператора, соответствующего физической наблюдаемой величине, существует некоторое число (конечное

или бесконечное) элементов	пространства состояний,	которые	не
изменяются при действии этого оператора. Точнее, оператор		, действующий
на такое состояние, обозначаемое согласно П.А.М. Дираку символом			,
преобразует его в самое себя:

Множество всех возможных собственных значений , отвечающих всем возможным собственным состояниям , следует интерпретировать как множество тех значений, которые может принимать в некотором эксперименте наблюдаемая физическая величина, связанная с оператором . В общем случае такое множество значений дискретно. В этом заложено различие между классической и квантовой механикой: динамические переменные, такие, как энергия, в квантовой механике могут принимать только некоторые строго определенные значения, в чем и состоит сущность квантования.

Другое важное замечание состоит в следующем. Так как собственные значения должны соответствовать наблюдаемым значениям динамических функций, они с необходимостью являются действительными числами. Это означает, что операторы , определяющие соответствующие наблюдаемые

129

динамические функции, должны быть самосопряженными (эрмитовыми) операторами:

где	оператор, сопряженный оператору	. Если оператор представлен
комплексной матрицей		, то сопряженная матрица

получается в результате операции транспонирования с последующим

комплексным сопряжением:	.
Напомним, что в общем случае

поэтому в рассмотрение вводится коммутатор			двух операторов и
. При этом, оператор	, где	и	— самосопряженные

операторы, является самосопряженным оператором, а также аналогом скобок Пуассона в классической механике.

Если коммутатор двух операторов равен нулю, то о них говорят как о коммутативных друг с другом операторах. Для таких операторов справедливо очевидное равенство

а также упоминаемая ранее теорема о том, что если два оператора коммутативны друг с другом, то они обладают общей полной системой собственных функций. Из этой теоремы следует утверждение: если две наблюдаемые величины могут иметь одновременно определенные значения, то их операторы коммутативны друг с другом. Верно и обратное утверждение.

При умножении операторов возникает проблема — произведение самосопряженных операторов, коммутатор которых не равен нулю, в общем случае не является самосопряженным оператором. Например,

Тем не менее, всегда можно построить такие линейные комбинации произведений операторов, которые являются самосопряженными, но такая процедура не единственна. В самом деле, в вышеприведенном примере можно рассмотреть два произведения: и , которые являются самосопряженными операторами, как и любая их линейная комбинация, и могут быть поставлены в соответствие наблюдаемой величине.

130