Статистическая физика / Конспект лекций

4. ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ ДЛЯ СИСТЕМ ТОЖДЕСТВЕННЫХ ЧАСТИЦ

4.1. Волновая функция и уравнение Шредингера для системы различных частиц

Вклассической механике, как мы видели, состояние системы полностью определено в заданный момент времени, если заданы координаты

иимпульсы всех ее частиц (или координаты одной точки в фазовом пространстве).

Вквантовой механике задать состояние подобным образом невозможно

— оно описывается волновой функцией. В соответствии с законами квантовой механики волновая функция дает максимальную информацию, которую мы можем знать о системе. При этом динамические переменные в квантовой механике описываются не функциями, а операторами, усреднение которых с использованием волновых функций дает наблюдаемые значения физических величин.

Вчастности, соотношение неопределенностей Гейзенберга для

координаты и импульса частицы: , где — постоянная Планка, относится именно к усредненным, а, следовательно, измеряемым величинам. Но входящие в соотношение неопределенностей величины и вовсе не являются погрешностями измерения значения координаты частицы и ее импульса. В классической механике, где уменьшение погрешности измерения любой физической величины ограничено только точностью используемых приборов, координата и импульс частицы могут быть определены одновременно с произвольной степенью точности. В квантовой механике наблюдаемые значения координаты частицы и ее импульса не имеют и в принципе не могут иметь одновременно определенных значений. Это утверждение является прямым следствием того,

что для соответствующих			операторов выполняется	условие:		,
точнее,	,	где	оператор	—	коммутатор
операторов	и , а		— единичный оператор,	который	обычно	не

выписывают. Равенство для коммутатора операторов координаты и импульса является примером соотношения коммутации для двух операторов.

Если система состоит из	микрочастиц, то её состояние описывается
волновой функцией	, которая	зависит от времени и
пространственных переменных	;	. Величина

определяет плотность вероятности того, что пространственные переменные

рассматриваемых частиц равны соответственно	:
	101

Если микрочастицы, входящие в систему, различны, то их можно перенумеровать, т.е. присвоить каждой из них свой номер. Однако было бы ошибкой полагать, что нумерованными аргументами волновой функции или плотности вероятностей системы частиц (4.1.1) являются координаты частиц.

На самом деле координаты микрочастицы являются случайными величинами, и их значения никогда не фигурируют сами по себе в соотношениях квантовой механики. Для одной микрочастицы аргументами волновой функции являются пространственные координаты, как у любой другой полевой функции — например, проекции вектора напряжённости

электрического поля		или температуры в неоднородной
системе	.
Однако это не означает, что аргументом функции, описывающей
температурное поле,		является координата температуры Пространственных

аргументов такой функции три, потому что пространство, в котором она задана, трёхмерно.

Волновая функция и плотность вероятности системы N частиц (4.1.1)

заданы не в трёхмерном, а		в	–	мерном пространстве. Поэтому
аргументами рассматриваемых		функций		являются	координат этого
пространства	;		, а вовсе не частиц.		– мерная функция
	, в частности, есть плотность вероятности того, что данная
система частиц в момент t находится в точке					– мерного

пространства.

Уравнение Шрёдингера для системы N частиц имеет вид:

Здесь	— постоянная Планка,	—
оператор Гамильтона	(гамильтониан) замкнутой системы,	—

потенциальная энергия в статическом внешнем поле для частицы, которая характеризуется переменной , — потенциальная энергия сил взаимодействия частиц друг с другом, которая определяется их взаимным расположением, ,

Для целей квантовой статистики наибольший интерес представляет

стационарное решение	уравнения Шредингера (4.1.2), когда волновая
	102

функция не зависит от временной переменной и определяется

стационарным уравнением Шредингера (уравнением на собственные значения):

где — энергия системы.

Если теперь рассмотреть случай, когда микрочастицы не взаимодействуют между собой, т.е. принять, что потенциальная энергия , то гамильтониан системы (4.1.2) можно представить как сумму

гамильтонианов отдельных частиц:

где оператор действует только на –й аргумент волновой функции системы (4.1.1). Поэтому решение стационарного уравнения Шредингера (4.1.4) в этом случае имеет вид

где волновая функция	является решением стационарного уравнения
Шредингера

а энергия системы равна:

Обратим внимание, что представленное выше описание соответствует так называемому координатному представлению, в котором состояние

системы описывается	волновой функцией как функцией переменных
. В этом	представлении потенциальная энергия является

числовой функцией, в то время как оператор кинетической энергии для каждой частицы определяется дифференциальным оператором (см. (4.1.3)):

103

как и оператор импульса частицы

Однако мы можем перейти к импульсному представлению, в котором

состояние системы описывается волновой функцией			как	функцией
переменных	.	Такая волновая функция также удовлетворяет
уравнению	Шредингера.	Однако в этом представлении		оператор

кинетической энергии, как и оператор импульса, является числовой функцией:

в то время как потенциальная энергия становится оператором от оператора координаты

Естественно, волновые функции и , отвечающие различным представлениям, связаны между собой. В частном случае, когда частицы не взаимодействуют между собой, для волновой функции в импульсном представлении имеет место утверждение, аналогичное (4.1.6):

В этом случае связь между функциями и устанавливается особенно просто:

Различные представления в квантовой механике приводят к эквивалентным результатам для наблюдаемых физических величин. Выбор того или иного представления обусловлен физическими соображениями и удобством. В частности, при рассмотрении одной частицы в нерелятивистской квантовой механике обычно пользуются координатным

104

представлением, в котором потенциальная энергия является числовой функцией. Однако в квантовой электродинамике преимущество имеет импульсное представление. Далее мы рассмотрим и другие представления, выбор которых обусловлен решением конкретной физической задачи.

Рассмотренные выше примеры различных представлений еще раз подчеркивают условный характер выбора переменных для описания

состояния системы в квантовой	механике. Иными словами, переменные
, также как и	, вовсе не являются координатами или,

соответственно, импульсами частиц. Такая иллюзия возникает у нас в связи с тем, что построение квантовой механики исторически было основано на рассмотрении поведения одной частицы. Однако в реальности всегда имеется множество частиц, взаимодействующих с электромагнитными и другими полями.

Мы только можем утверждать, что число переменных в волновой функции, записанной в любом представлении, равно числу степеней свободы. По аналогии с классической механикой мы должны были бы заявить, что число степеней свободы системы, состоящей из частиц, равно при отсутствии наложенных связей, что является логическим следствием соотношений (4.1.6) и (4.1.13). Но в квантовой механике наложение связей, которые могли бы приводить к фиксации некоторого положения частиц, представляется практически нереальным в силу того же соотношения неопределенностей. Поэтому, на первый взгляд, мы можем смело утверждать, что число степеней свободы системы, состоящей из частиц,

равно .

Однако опыт показывает, что необходима важная модификация, связанная с введением дополнительной степени свободы для микрочастицы. Эта степень свободы обусловлена наличием собственного момента — спина микрочастицы, который не имеет каких–либо аналогов в классической механике.

4.2. Спин микрочастицы. Полная волновая функция

Прежде чем обсуждать понятие спина микрочастицы, напомним, что состояния микрочастицы в отсутствие внешнего поля, а также в статическом поле центральной силы характеризуются моментом импульса.

В классической	механике момент импульса	является вектором,
квадрат которого	пропорционален кинетической энергии вращательного

движения материальной точки относительно центра силы. В отсутствие

внешнего поля, а также в статическом	поле центральной силы момент
импульса со своими тремя проекциями	является интегралом

движения, как и энергия рассматриваемой материальной точки.

В квантовой механике в тех же условиях одновременно могут иметь определённые значения (т.е. сохраняться или являться интегралами

движения) только квадрат момента импульса микрочастицы	и одна
	105

(любая) из трёх его проекций. Обычно в качестве таковой выбирают проекцию . Остальные две проекции остаются неопределёнными в том же смысле, как не могут быть одновременно определены координата частицы и

ее импульс. Случай	является исключением, при котором
одновременно определены все три проекции момента импульса:

.

Возможные значения квадрата момента импульса задаются

азимутальным квантовым числом	,	которое принимает любые
неотрицательные целочисленные значения		...:

Состояния элементарной частицы (чаще всего, электрона) с принято обозначать буквами , соответственно. Например, выражение «электрон находится в – состоянии» соответствует состоянию электрона с

.
Возможные значения проекции момента импульса	для данного

значения азимутального квантового числа определяет магнитное квантовое число , которое может принимать любое из целочисленных

значений:
– –	–	–

Момент импульса в квантовой механике обычно называют орбитальным моментом, как бы подчёркивая, что он характеризует состояния микрочастицы, которым в классическом пределе соответствует движение относительно центра силы «по орбите».

Реальные микрочастицы, описываемые квантовой механикой, могут, кроме того, обладать моментом импульса, не имеющим отношения к пространственному поведению микрочастицы. Такая «сугубо квантовая» динамическая переменная, аналог которой в классической механике отсутствует, называется спиновым моментом или спином .

Квадрат спинового момента, аналогично выражению (4.2.1) для орбитального момента, определяется соотношением

где величина	называется спиновым квантовым числом. Однако, в отличие
от азимутального квантового числа		спиновое квантовое число может
принимать не	только целые, но и	полуцелые значения:

.

При этом спиновое квантовое число элементарной микрочастицы является её свойством, таким же, как масса покоя и электрический заряд, и не

106

может быть изменена воздействием на неё. В литературе часто спиновое

квантовое число тоже называют спином.
Электрон, протон и нейтрон обладают спином	Таков же спин и

у ряда других частиц, имеющих отношение к физике ядра. Принято считать,

что у фотона . Определенные элементарные частицы обладают спином, равным нулю.

Проекция спина

определяется		квантовым	числом	,	которое,	аналогично магнитному
квантовому числу , может при заданном значении							принимать
значений:				.	Нуль в	эту	последовательность
входит,	если	значение	— целое, в противном случае нуль в эту
последовательность не входит. Так, например, для							возможны два
значения	:	и	. Иногда в этой ситуации пишут: спин равен
или		. Так	что необходимо внимательно следить, в каком

смысле в каждом конкретном случае употреблено слово «спин».

Причиной введения в квантовую механику понятия спина микрочастицы, прежде всего, спина электрона, явились эксперименты по поведению сложных атомов, состоящих из нескольких электронов, в магнитном поле. Речь идет об аномальном расщеплении спектральных линий под действием магнитного поля, которое было обнаружено П. Зееманом при исследовании свечения паров натрия в магнитном поле. Результатам этих экспериментов нельзя дать объяснения на основе использования обычного (связанного с движением) соотношения между магнитным и орбитальным моментом электрона в атоме.

Кроме того, О. Штерн и В. Герлах в своих опытах обнаружили, что узкий пучок атомов водорода, заведомо находящихся в состоянии с нулевым орбитальным моментом, в неоднородном магнитном поле расщепляется на два пучка. В этом состоянии орбитальный момент импульса, а с ним и магнитный момент электрона равен нулю при традиционном рассмотрении. Таким образом, магнитное поле не должно оказывать влияние на движение атомов водорода. Следовательно, наблюдаемого в эксперименте расщепления пучка быть не должно.

Для объяснения опытных данных В. Паули предложил ввести новое, четвертое квантовое число со значением для электрона. Поскольку каждое квантовое число соответствует какой-то степени свободы электрона, четвертое квантовое число Паули должно означать, что электрон обладает дополнительной степенью свободы — спином (spin — вращаться, вращение).

В свою очередь, С. Гоудсмит и Д. Уленбек выдвинули предположение, что электрон обладает собственным моментом импульса, не связанным с движением электрона в пространстве. Этот собственный момент был назван

спиновым моментом.

107

Еще раз подчеркнем, в квантовой механике спин электрона (и всех других микрочастиц) рассматривается как внутреннее неотъемлемое свойство электрона. И это свойство не имеет аналогов в классической механике.

Когда П. А. М. Дираку удалось построить релятивистскую теорию электрона, оказалось, что понятие о спине возникает в ней естественным образом. При этом, как и в классической релятивистской механике, орбитальный момент уже не является сохраняющейся величиной. В теории Дирака это вытекает из того, что оператор орбитального момента не коммутирует с предложенным им релятивистским гамильтонианом (оператором энергии). Поэтому в релятивистской квантовой теории был введен оператор полного момента как суммы оператора орбитального момента и спинового момента :

Естественно, возникают вопросы о том, как определить оператор спинового момента и как установить его собственные значения (4.2.3), (4.2.4). В этой связи напомним, что собственные значения оператора орбитального момента (4.2.1), (4.2.2) в нерелятивистской квантовой механике являются прямым следствием коммутационных соотношений для

соответствующих операторов	.
Таким образом, если предположить, что операторы		, которые

являются компонентами векторного оператора , удовлетворяют таким же соотношениям коммутации, которые характерны для операторов компонент момента импульса:

мы и получим в результате соотношения (4.2.3), (4.2.4). При этом в отличие

от оператора орбитального момента	оператор спинового момента
коммутирует с операторами координаты	и импульса микрочастицы:

Соотношения коммутации (4.2.6), (4.2.7) дают возможность определить возможные значения абсолютной величины и компонент спинового момента, аналогично тому, как это делается для орбитального момента. Мы не можем, однако, теперь утверждать, что сами эти значения должны быть целыми, как это имело место для собственных значений (4.2.2) оператора проекции орбитального момента . Дело в том, что компоненты векторного оператора орбитального момента не коммутируют с операторами других

108

компонент координаты и импульса микрочастицы в отличие от спинового момента (4.2.7).

Далее, согласно коммутационным соотношениям последовательность собственных значений оператора , ограничена сверху и снизу числовыми значениями, одинаковыми по абсолютной величине и противоположными по знаку, которые мы обозначим .

Разность между наибольшим и наименьшим собственными значениями оператора , которая равна , является целым числом или нулем. Следовательно, как уже было отмечено выше, число может иметь значения 0, 1, … В свою очередь, собственные значения оператора квадрата спинового момента определяются соотношением (4.2.3). При заданном

значении спинового квантового	числа	собственные значения оператора
проекции спинового момента	(4.2.4) должны отличатся друг от друга на
величину .

В результате становится ясным, почему полученный в релятивистской квантовой механике результат о существовании спина сохраняет свое значение и в нерелятивистской квантовой механике. Как мы видим, собственные значения моментов не зависят от величины скорости света, которой при переходе к нерелятивистской механике следует присваивать бесконечное значение, а определяются только постоянной Планка.

Оператор полного момента частицы (4.2.5) складывается из оператора ее орбитального момента и оператора спинового момента . Операторы и , действуют на различные переменные волновых функций, разумеется,

коммутируют друг с другом.

Собственные значения полного момента (4.2.5) определяются тем же правилом «векторной модели», что и сумма орбитальных моментов двух различных частиц. Напомним это правило на конкретном примере.

Рассмотрим микросистему, состоящую из двух частиц, каждая из которых обладает моментами импульса M1 и M2 , соответственно. При этом

азимутальное и магнитное квантовые числа, определяющие состояния

микрочастиц, равны соответственно		,	и	,	.	Азимутальное и
магнитное квантовые числа, отвечающие			суммарному моменту импульса
, обозначим	и .
Нам необходимо установить, каковы возможные значения
азимутального квантового	числа	суммарного		момента импульса			при
заданных значениях чисел	и , но различных возможных значениях						и
. Фактически вопрос сводится к определению значений						для различных
возможных взаимных ориентаций векторов			и .
Для вывода правила сложения моментов достаточно найти все
возможные значения проекции суммарного момента							,
учитывая, что			, или

109

Поскольку и , получим требуемый набор всевозможных значений .

Остаётся рассортировать его на «поднаборы», каждый из которых

отвечает	одному из	возможных	значений . Проделав эту процедуру,
нетрудно	убедиться,	что если	, то допустимым набором значений
величины	являются:

— всего различных значений азимутального квантового числа, каждое из которых определяет одно из возможных значений квадрата

суммарного момента системы	.
Аналогично, при заданных значениях орбитального квантового числа и
спина полный момент может иметь значения

. Так, полный момент у электрона (спин 12) с отличным от нуля

орбитальным числом		может быть равен	. При	полный
момент имеет, конечно, лишь одно значение			.
Оператор полного момента системы частиц равен сумме операторов
моментов	каждой из	них, так что его	собственные значения снова

определяются правилами векторной модели. Мы можем представить оператор в виде:

где — оператор полного спинового момента, а — оператор полного орбитального момента системы.

Отметим, что если собственное значение оператора полного спина системы является полуцелым (или целым) числом, то же самое будет иметь место и для квантового числа полного момента, поскольку всегда целое число. В частности, если система состоит из четного числа микрочастиц с одинаковым спином, то ее полный спин, во всяком случае, является целым числом, а потому будет целым и квантовое число полного момента.

Операторы полного момента частицы (или системы частиц — ) удовлетворяют тем же правилам коммутации, как и операторы орбитального и спинового момента, поскольку эти правила являются общими правилами коммутации для любого момента.

Таким образом, описание состояния микрочастицы, обладающей спином, с помощью волновой функции должно определять не только вероятности ее различных положений в пространстве, но и вероятности различных ориентаций ее спина. Поэтому волновая функция микрочастицы должна зависеть не только от трех непрерывных

110