Статистическая физика / Конспект лекций

Следовательно, нам необходимо иметь однозначное правило, указывающее, как строить операторы, соответствующие наблюдаемой физической величине. Но подобное правило постулируется в квантовой механике, и поэтому не имеет смысла пытаться доказать какое либо утверждение относительно него.

Необходимо также проявлять осторожность при оперировании с экспоненциальными функциями от операторов. Например, экспонента от суммы операторов не равна произведению отдельных экспонент. В частном случае, когда коммутатор операторов и является числом, т.е. соответствующий оператор пропорционален единичному оператору, справедлива следующая формула:

Эту формулу можно проверить разложением экспонент в ряд. Из нее вытекает следствие

Все эти результаты, как и дальнейшее рассмотрение, справедливы при произвольном представлении для операторов, в том числе и при использовании представления вторичного квантования

Перейдем теперь к рассмотрению эволюции системы во времени . В соответствии с постулатами квантовой механики волновая функция дает максимальную информацию, которую мы можем иметь о рассматриваемой системе.

Пусть — оператор, соответствующий некоторой наблюдаемой, например, энергии или импульсу. Имеется только одна величина, которую мы можем поставить в соответствие оператору , в состоянии, определяемом волновой функцией , — это его среднее значение

при этом волновая функция	является решением уравнения Шредингера
(см. (4.1.2)):

Соотношения (4.6.7), (4.6.8) представляют собой один из способов

описания эволюции величины	во времени, связанный с изменением во
	131

времени волновой функции (или вектора состояния). При этом операторы , отвечающие наблюдаемым величинам, не зависят от времени. Эта схема была предложена Э. Шредингером и получила название представление

Шредингера.

Рассмотрим систему, для которой оператор Гамильтона не зависит от времени. Разложим волновую функцию системы , которая является решением уравнения Шредингера (4.6.8), по полному ортонормированному

набору собственных функций	оператора Гамильтона:				. Здесь
значение энергии в состоянии		. Тогда соответствующее разложение
можно представить в виде

Далее	введем	в	рассмотрение	унитарный	оператор
	Отметим,		что оператор является унитарным тогда и

только тогда, когда его обратный оператор равен его самосопряженному

оператору. Собственными функциями	оператора	, как нетрудно
убедиться, являются собственные функции	оператора Гамильтона :

С учетом (4.6.10) разложение (4.6.9) можно записать в виде

Эта формула означает, что оператор		переводит состояние		,
отвечающее начальному	моменту времени	, в состояние		,
отвечающее произвольному моменту времени .
Таким образом, с учетом (4.6.10), (4.6.11) среднее значение			(4.6.7)
можно представить в виде

где оператор , очевидно, равен: .

Соотношение (4.6.12) позволяет нам перейти от представления Шредингера к представлению Гейзенберга, в котором зависимость от времени волновых функций перенесена на операторы. В представлении Гейзенберга операторы явно зависят от времени, а волновая функция от времени не зависит. Действительно, согласно (4.6.12) мы можем ввести в

рассмотрение явно зависящий от времени оператор

132

Тогда среднее значение	в зависимости	от времени будет
определяться волновой функцией	и оператором	(4.6.13):

Соотношение	(4.6.13) устанавливает связь произвольного	оператора
, записанного	в представлении Гейзенберга, с оператором	в

представлении Шредингера.

Для представления Гейзенберга не применимо уравнение Шредингера (4.6.8). Вместо него используется уравнение Гейзенберга для операторов, которое непосредственно следует из (4.6.13),

Первое слагаемое в правой части равенства (4.6.15) учитывает возможность явной зависимости от времени оператора . Уравнение (4.6.15) аналогично уравнению движения для динамической функции (1.4.12) в классической механике.

Таким образом, при использовании представления Гейзенберга мы имеем возможность установить соответствие между классической и квантовой механикой. С каждой классической динамической функцией можно связать единственный квантовый оператор. Однако это соответствие не всегда имеет обратное. Существуют квантовые операторы, не имеющие классических аналогов. Такие операторы необходимы для полного описания системы частиц, обладающих внутренними степенями свободы. Известным примером является рассмотренный выше оператор спина. Кроме того, как мы уже видели, в квантовой механике при рассмотрении систем многих частиц требуется учитывать неразличимость тождественных частиц, что невозможно в классической механике. В квантовой механике для этих целей используется

представление вторичного квантования.
Из проведенного рассмотрения также следует, что для				определения
величины	в любой	момент времени	для системы	с заданным
гамильтонианом	нам	достаточно знать	волновую функцию

рассматриваемой системы в момент времени .

133

5. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

5.1. Особенности квантовой механики для макроскопического тела

Механический подход к задаче об описании макроскопического тела в квантовой механике еще более безнадежен, чем в классической механике. При таком подходе для вычисления интересующего нас среднего значения физической величины необходимо реализовать формальное решение уравнение Шредингера для произвольного момента времени, что само по себе является проблемой, намного более трудной, чем интегрирование классических уравнений движения частиц, а для числа частиц, которое по порядку величины составляет , практически невыполнимой.

Но даже, если бы это было возможно, нам еще потребовалось бы задать начальный вид волновой функции макроскопической системы. Вместо задания начальных значений координат и импульсов для колоссального числа частиц, что необходимо в классической механике, в квантовой механике нам нужно задать нормированную функцию того же числа переменных. При этом мы не обладаем и не можем обладать какой–либо достоверной информацией о виде такой функции, за исключением условия, чтобы найденные с помощью этой волновой функции средние значения физических величин соответствовали имеющейся у нас информации о рассматриваемой системе в начальный момент времени.

В результате, опираясь на начала термодинамики, нам остается только заявить, что начальный вид волновой функции не имеет принципиального значения, так как через достаточно большой промежуток времени замкнутая система должна прийти к равновесному состоянию, описание которого нас и интересует. Тем самым, нам нужно повторить путь, по которому мы прошли при переходе от классической механики к классической статистической механике с учетом специфики, возникающей при использовании квантовой механики для описания систем многих частиц.

Напомним, что о состоянии термодинамического равновесия рассматриваемой системы мы можем судить только с помощью другой макроскопической системы — прибора, который должен прийти в состояние термодинамического равновесия с исследуемой системой с тем, чтобы макроскопический параметр прибора мог служить для определения характеристик ее состояния. Стационарный характер получаемых данных позволяет нам судить о наступлении термодинамического равновесия в исследуемой системе. В феноменологической термодинамике в качестве такого прибора выступает идеальный газ. Как мы убедились, в рамках классической статистической теории возникают проблемы с определением энтропии идеального газа, для преодоления которых необходимо привлечение квантовой механики.

134

Интерпретация процесса измерения также является неотъемлемой составной частью квантовой механики, в рамках которой измерение рассматривается как процесс взаимодействия между квантовым объектом и прибором, пригодным для измерения соответствующей величины, с последующей регистрацией результата измерения. Показания прибора и являются источником информации о квантовой системе, с которыми мы соотносим результаты наших вычислений.

Вотличие от классической механики, в которой молчаливо предполагается, что взаимодействие между объектом и прибором может быть сделано сколь угодно малым, квантовая механика устанавливает, что взаимодействие между квантовым объектом и прибором не может быть сведено к нулю. Чем точнее измерение, тем сильнее оказываемое на квантовый объект воздействие прибора. Лишь при измерениях очень малой точности воздействие на квантовый объект может быть слабым. При этом прибор должен быть квазиклассической системой, ибо в противном случае по его показаниям нельзя будет судить о том состоянии, в котором находится квантовый объект.

Иными словами, нам необходимо рассмотреть систему, состоящую из двух подсистем — квантового объекта и прибора, которые в процессе измерения взаимодействуют друг с другом, в результате чего прибор переходит из начального состояния в некоторое другое состояние, и по этому изменению состояния прибора мы судим о состоянии квантового объекта. Требование, чтобы прибор являлся квазиклассической системой, обусловлено необходимостью того, чтобы в каждый момент времени мы могли с достоверностью утверждать, что прибор находится в одном из известных состояний. При этом условие слабости взаимодействия прибора и квантового объекта обеспечивает возможность в принципе вести речь о состояниях каждой из подсистем в отдельности. В приложении к термодинамическим измерениям мы должны также считать, что такое взаимодействие носит стационарный (или квазистатический) характер.

Вквантовой механике нужно учитывать и другой аспект измерения, который связан с продолжительностью этого процесса во времени. Рассмотрим систему, состоящую из двух слабо взаимодействующих подсистем — квантового объекта и прибора. Предположим, что в некоторый

момент времени		эти подсистемы обладали определенными значениями
энергии	и	, соответственно. Через некоторый интервал времени

снова производится измерение энергии подсистем, которое дает значения и .

Если считать, что слабое взаимодействие между подсистемами не зависит от времени, то с использованием теории возмущений для определения вероятности перехода системы из начального состояния (с

энергиями	и	) в конечное (с энергиями	и	) мы получим
соотношение:
				135

Здесь

. Таким образом, чем меньше интервал

времени , тем большее изменение для энергии будет обнаружено. При этом порядок величины такого изменения энергии не зависит от значения энергии взаимодействия подсистем, поэтому изменение энергии, определяемое соотношением (5.1.1), будет обнаружено при сколь угодно малом взаимодействии подсистем. Этот сугубо квантовый результат показывает, что в квантовой механике закон сохранения энергии может быть проверен посредством двух измерений лишь с точностью до величины порядка , где — интервал времени между измерениями.

Теперь обратим внимание, что	обе величины	и	, которые
характеризуют изменение энергии	каждой из подсистем		в результате

взаимодействия, имеют один порядок величины, т.е. нельзя добиться, чтобы

. Поэтому можно утверждать, что

Тем самым, для того чтобы состояние подсистемы можно было рассматривать как стационарное, должно выполняться условие малости величины по сравнению с величиной разности между собственными значениями энергии этой подсистемы.

В природе, разумеется, не существует полностью замкнутых систем, взаимодействие которых с другими телами в точности равно нулю. Но реальное взаимодействие тел, которое даже может быть настолько малым, что фактически не сказывается на других свойствах, будет все еще чрезвычайно велико по отношению к квантам энергетического спектра макроскопического тела. С учетом соотношения (5.1.2) это означает, что для приведения макроскопического тела в какое-либо определенное стационарное состояние потребовалось бы неизмеримо большое время.

Кроме того, на любом заметном интервале энергетического спектра имеется огромное число возможных значений энергии макроскопической системы, которые будут располагаться очень близко друг к другу.

Вкачестве иллюстрации рассмотрим систему невзаимодействующих частиц, помещенных в твердый «ящик» — модель, используемая для описания идеального газа. Энергия такой системы определяется соотношением (4.5.25). Следовательно, минимальное ее изменение соответствует разнице между двумя соседними энергетическими уровнями одной частицы, находящейся в твердом «ящике».

Всвязи с этим рассмотрим энергетический спектр материальной точки,

помещенной в «ящик» с бесконечными потенциальными стенками объема ,

точнее, куб с ребром	. Как известно из квантовой механики,
	136

энергетический спектр такой частицы определяется тремя квантовыми числами и выглядит следующим образом:

Отметим, что основной энергетический уровень частицы, отвечающий минимальному значению энергии, согласно (5.1.3) равен

. Следовательно, в основном состоянии частица, помещенная в ящик, не покоится, как того следовало бы ожидать согласно классической

механике, а движется с импульсом	.
Это объясняется тем, что	в соответствии с соотношением

неопределенностей Гейзенберга произведение неопределенностей в

значениях координаты	и сопряженного ей импульса частицы				не
может быть меньше постоянной Планка:			.
В данном случае неопределенность положения частицы				в объеме
составляет величину	порядка	. Если бы	частица	покоилась,	то

неопределенность ее импульса равнялись бы нулю. Поэтому соотношение неопределенности Гейзенберга оказалось бы нарушенным. Это «вынуждает» частицу всегда двигаться, так что даже в лучшем случае .

Заметим теперь, что	во всех практически интересных случаях соседние
энергетические уровни	(5.1.3), отвечающие движению частицы в

макроскопическом объеме , чрезвычайно тесно расположены относительно друг друга. Действительно, при увеличении любого из квантовых чисел в (5.1.3) на единицу энергия частицы изменяется на величину

Величина		представляет	собой	квант		энергии поступательного
движения частицы.
Чтобы	оценить величину кванта			энергии		, рассмотрим самый
легкий газ — водород (
) в небольшом по макроскопическим масштабам объеме							:
величина	оказывается порядка			Дж. Для более тяжелых газов — и
того меньше.
Таким образом, в рассмотренном выше примере на энергетическом
интервале в	1	Дж,	который		соответствует по		величине
температурному интервалу в один градус —					, число уровней составляет
порядка	. Такая густота энергетических уровней приводит к тому, что

макроскопическое тело не может оказаться в строго стационарном состоянии. Во всяком случае, значение энергии системы будет неопределенным на величину порядка энергии взаимодействия системы с

137

окружающими телами. Но величина этой энергии взаимодействия неизмеримо велика по сравнению с разностью между энергетическими уровнями макроскопической системы.

Таким образом, мы не можем считать, что квазизамкнутая система в квантовой механике характеризуется вполне определенным значением энергии, и тем самым, не можем описать ее состояние определенной волновой функцией. Иными словами, мы должны перейти от полного описания системы с помощью волновой функции к ее неполному описанию с

помощью матрицы плотности.

5.2. Матрица плотности. Статистический оператор. Основной постулат квантовой статистической механики

	Рассмотрим квантовую систему, которая является частью некоторой
большой системы, находящейся в состоянии с волновой функцией		,
где	— набор переменных, которые характеризуют интересующую	нас

квантовую систему, а — набор остальных переменных большой системы. При этом в общем случае волновая функция не может быть представлена в виде произведения функций, одна из которых зависит только от переменных , а другая — только от переменных , т.е. состояние рассматриваемой квантовой системы не может быть описано «своей» волновой функцией.

Нам	необходимо вычислить некоторую физическую величину ,
соответствующий ей оператор		действует только на переменные	. Среднее
значение	этой физической	величины в заданном состоянии	большой
системы равно

Соотношение (5.2.1) можно переписать в виде

Здесь оператор	действует только на переменные		в функции	,
после чего нужно принять, что		;

Функция	носит название матрицы плотности квантовой
системы.
	138

Матрица плотности не содержит переменных , не относящихся к данной системе, но по существу определяется состоянием большой системы. Эта матрица по определению (5.2.3) обладает следующими свойствами:

поэтому «диагональные элементы» матрицы плотности могут быть интерпретированы как плотность вероятности.

Таким образом, если известна матрица плотности, мы можем вычислить среднее значение любой величины, характеризующей рассматриваемую квантовую систему.

Описание квантовой системы с помощью матрицы плотности является наиболее общей формой описания систем в квантовой механике. При этом описание с помощью волновой функции, когда говорят, что система находится в чистом состоянии, является частным случаем, при котором матрица плотности имеет вид: . Состояния квантовой системы, которые можно описать только лишь матрицей плотности,

называют смешанными состояниями.

Теперь предположим, что рассматриваемая квантовая система является замкнутой, или стала таковой в какой–то момент времени, т.е. «перестала» взаимодействовать с окружением. Матрица плотности как функция времени для замкнутой системы, которая характеризуется гамильтонианом , удовлетворяет уравнению, аналогичному уравнению Шредингера для

волновой функции:

Тем самым, общее построение квантовой механики может быть основано на понятии матрицы плотности, а не волновой функции. Тогда в качестве основного уравнения квантовой механики будет выступать соотношение (5.2.5), а не уравнение Шредингера.

Используя полный набор собственных функций оператора Гамильтона замкнутой системы , где — собственное значение гамильтониана, общее решение уравнения (5.2.5) можно

представить в виде:

где матричные элементы	в соответствии с (5.2.4) обладают следующими
свойствами:
	139

Очевидно, для чистого состояния с волновой функцией матричные элементы определяются равенством:

где величины	являются коэффициентами разложения в ряд волновой
функции	по собственным функциям гамильтониана	:
. На этой основе мы можем сформулировать критерий для
установления	отличия чистого состояния от смешанного	состояния

квантовой системы: если матричные элементы удовлетворяют равенству

то рассматриваемая система находится в чистом состоянии.

С помощью матрицы мы можем записать среднее значение некоторой величины (5.2.2) для замкнутой системы как

Теперь обратим внимание, что соотношение (5.2.10) можно представить также в виде

где величины

являются элементами статистической матрицы:

Очевидно, статистическая матрица представляет собой матрицу плотности в энергетическом представлении, основанном на собственных

функциях	и собственных значениях	оператора Гамильтона замкнутой
квантовой системы.
Если	теперь рассматривать величины		как матричные элементы
некоторого статистического оператора			, то соотношение (5.2.11) может
быть преобразовано к следующему виду
			140