Статистическая физика / Конспект лекций

переменных	— пространственных координат		, но и от дискретной
спиновой переменной		. Последняя равна значению проекции спина
на некоторое избранное направление в пространстве (ось				)	и может
принимать		значений:	. Такая		волновая
функция	называется полной.
Для дальнейшего рассмотрения удобно обозначить совокупность
четырёх переменных		одной буквой	и назвать	этот набор

пространственно–спиновой переменной (или обобщенной переменной). Здесь и далее, за исключением специально оговоренных случаев, мы опускаем

аргумент	волновой функции, связанный с	изменением состояния
микрочастицы во времени.
Квадрат модуля полной волновой функции		определяет

величину плотности вероятности состояния микрочастицы, обладающей

координатами	и проекцией спина		.
Плотность вероятности состояния частицы, которая находится в точке
пространства	и	обладает любой проекцией спина,			равна
	. Значение вероятности того, что микрочастица находится
где угодно,	обладая	при этом	проекцией спина	,	равно
		.	В результате условие нормировки

полной волновой функции имеет вид:

Используя понятие обобщенной переменной, то же равенство символически можно записать в более компактном виде:

Под условным «интегрированием» по обобщенной переменной в (4.2.12) подразумевается интегрирование по пространственным переменным и суммирование по спиновой переменной, как в (4.2.11).

Аналогичным образом определяется и полная волновая функция

системы	частиц, которая зависит от	обобщенных
переменных	:

В нерелятивистском пределе, который мы и рассматриваем, волновая функция системы частиц определяется обычным (нерелятивистским) уравнением Шрёдингера (4.1.2) – (4.1.4).

111

Вэтом приближении оператор Гамильтона не действует на спиновые переменные. Тем не менее, как мы увидим из дальнейшего рассмотрения, спиновая переменная играет существенную роль при рассмотрении системы тождественных частиц. Спиновая переменная для одного электрона, как уже было отмечено выше, проявляется при наложении магнитного поля, так как спин электрона непосредственно связан с его магнитным моментом.

Врелятивистском случае для вычисления волновой функции следует использовать уравнение Дирака. При этом в атомах и молекулах возникает взаимодействие между магнитным полем, которое индуцируется относительным «движением» заряженных электронов и ядер, и магнитными моментами частиц, пропорциональными их спинам. При учете такого взаимодействия взаимная независимость поступательных и спиновых степеней свободы частиц уже не имеет места.

4.3.Тождественные микрочастицы. Фермионы и бозоны

Тождественными называются микрочастицы, свойства которых, в том числе масса покоя, электрический заряд, спиновое квантовое число , и т.д., идентичны. Собственно говоря, в классической физике подобные объекты называют одинаковыми. Термин «тождественные» используют в квантовой физике, чтобы подчеркнуть одну принципиальную особенность.

Сколь бы одинаковыми не были классические объекты, их всегда можно пометить и с помощью таких меток (наличие которых сколь угодно мало сказывается на свойствах объектов) различать (например, перенумеровать биллиардные шары) и, благодаря этому, прослеживать их индивидуальное поведение (например, траекторию движения). Тем самым, предполагается, что «одинаковость» частиц может быть достигнута с неограниченной степенью точности, но это и означает — частицы в классической физике не могут быть полностью тождественны.

В отличие от классических объектов, микрочастицы как квантовые объекты полностью тождественны, если они относятся к одному типу частиц, например, электроны, протоны, нейтроны и т.д., поэтому их нельзя пометить. Тождественные микрообъекты принципиально неразличимы.

Например, электроны, входящие в состав многоэлектронного атома, могут принадлежать разным электронным оболочкам, занимать разные электронные состояния. Однако описание такой системы не может содержать информацию о том, какой именно из электронов находится в том или ином состоянии. Такая информация принципиально недоступна, и попытка игнорировать это обстоятельство приведёт к неадекватному описанию поведения системы тождественных частиц.

Термин «меченые атомы» не должен вводить в заблуждение: речь в данном случае идёт о разных изотопах одного и того же химического вещества (радиоактивных изотопов, добавленных в стабильное вещество). Но ядра разных изотопов (например, водорода, дейтерия и трития или гелия–3 и

112

гелия–4) обладают вовсе не идентичными свойствами. Их ядра различны и обладают различными массами, разным количеством входящих в них нуклонов (протонов и нейтронов), а значит — различными массами и спинами, но при этом одинаковым зарядом. Так что изотопы различимы, и при необходимости их смесь может быть разделена на отдельные компоненты – изотопы.

Это обстоятельство еще раз подтверждает мысль о том, что нельзя пространственные и спиновые переменные волновой функции (4.2.13) соотносить с обособленными тождественными частицами, из которых состоит система, — это аргументы функции, заданной в многомерном пространстве состояний рассматриваемой системы. При этом оператор Гамильтона системы тождественных частиц, который определен на том же многомерном пространстве состояний, не изменится при перестановке любой пары обобщенных переменных .

Рассмотрим полную волновую функцию системы двух тождественных

микрочастиц		, описывающую некоторое её состояние. В этом случае
переменные	и	являются двумя разными аргументами волновой

функции. Их перестановка не может приводить к наблюдаемым (измеримым) последствиям. По крайней мере, при этом не должен меняться квадрат модуля волновой функции:

Очевидным следствием равенства (4.3.1) является следующее утверждение:

(4.3.2)

где значения параметра таковы:

Чтобы убедиться в том, что соотношениями (4.3.2), (4.3.3) исчерпываются возможные результаты перестановки аргументов волновой функции для двух тождественных частиц, введем оператор , в результате действия которого осуществляется перестановка аргументов волновой функции :

Как уже было отмечено выше, гамильтониан системы тождественных частиц инвариантен относительно такой операции перестановки, поэтому мы можем написать:

113

Таким образом, операторы и коммутируют друг с другом. Согласно

известной теореме это означает, что оператор		Гамильтона	и	оператор
перестановки	имеют общие собственные функции. Следовательно, если,
что волновая функция — собственная функция гамильтониана				, эта же
функция будет собственной функцией оператора		:

где — собственное значение оператора . Повторное действие , очевидно, приводит к исходному виду волновой функции:

Подставляя равенство (4.3.6) в (4.3.7), приходим к уравнению , решения которого соответствуют равенствам (4.3.2), (4.3.3). Отметим, что

допущение о том, что волновая функция является собственной функцией гамильтониана системы, не влияет на полученный результат, так как собственные функции оператора Гамильтона образуют полный набор. Следовательно, любая волновая функция может быть записана в виде разложения по такому полному набору, каждый член которого удовлетворяет полученному результату.

Таким образом, соотношения (4.3.2), (4.3.3) носят общий характер и означают, что при перестановке аргументов полной волновой функции, описывающей состояние двух тождественных частиц, она либо вовсе не

меняется, либо меняет знак.
Волновая функция	, которая отвечает значению	,
называется симметричной волновой функцией и определяется равенством:

Волновая функция , отвечающая значению ,

называется антисимметричной волновой функцией и определяется равенством:

Для всех состояний одной и той же системы волновые функции должны иметь одинаковую симметрию по отношению к перестановке аргументов. В противном случае волновая функция состояния, представляющего собой суперпозицию состояний различной симметрии, была бы ни симметричной, ни антисимметричной. Таким образом, свойство симметрии по отношении к

114

перестановкам пары аргументов, характеризующих состояние системы из двух тождественных частиц, определяется типом частиц, входящих в состав системы.

Это утверждение непосредственно обобщается и на системы, состоящие из произвольного числа тождественных частиц. В силу тождественности частиц волновая функция, характеризующая состояние системы, должна обладать одинаковыми свойствами симметрии (быть симметричной либо антисимметричной) по отношению к перестановке любой пары обобщенных переменных.

Формально математически волновые функции систем, содержащих более двух частиц, могут иметь и более сложную симметрию по отношению к перестановкам аргументов, так как все эти функции являются решениями соответствующего уравнения Шредингера. Эта неопределенность устраняется введением постулата: волновые функции (векторы состояния) системы, содержащей тождественных частиц при , будут все либо симметричными, либо антисимметричными относительно перестановки пар обобщенных переменных волновой функции.

Частицы, образующие системы, состояние которых описывается антисимметричными волновыми функциями , называют фермионами

. Фермионы подчиняются статистике Ферми – Дирака.

Частицы, образующие системы, состояние которых описывается

симметричными волновыми функциями	, называют бозонами	.
Бозоны подчиняются статистике Бозе – Эйнштейна.

В квантовой механике на основе обобщения опытных данных делается утверждение о связи между симметрией полной волновой функции системы тождественных частиц и их спином: фермионы являются частицами,

имеющими полуцелый спин ( , бозоны являются частицами, имеющими целый спин (0,1,…).

В релятивистской квантовой механике это утверждение известно как теорема Паули, которая была доказана в 1940 году на основе ряда допущений. По–видимому, все частицы, существующие в природе, являются

либо фермионами, либо бозонами.
Допустим, что полная волновая функция системы	тождественных
частиц является решением уравнения Шредингера без	учёта требований

симметрии. Обозначим её и будем считать, что эта функция нормирована на .

Покажем, как на основе таких функций построить правильную

волновую	функцию	—	симметричную	или
антисимметричную			по отношению к перестановке пары
любых своих аргументов:

115

где	— оператор, приводящий к перестановкам –го и –го аргументов
волновой функции.
	Начнём с	простейшего случая	.	Способ построения из	не
симметричной		нормированной функции		симметричной	и

антисимметричной нормированных комбинаций очевиден:

В случае произвольного числа переменных симметричную и антисимметричную волновые функции получим, последовательно переставляя в исходной функции пары аргументов и складывая результаты с учётом номера перестановки .

Для получения симметричной комбинации каждое новое слагаемое просто добавляется к предыдущим слагаемым.

Для получения антисимметричной комбинации, алгебраическая сумма формируется иначе: если — чётное число, то соответствующее слагаемое добавляется со знаком плюс, а если нечётное — со знаком минус. В обоих случаях число слагаемых в сумме равно, очевидно, . Эту математическую процедуру можно записать в виде двух соотношений:

где	обозначает операцию перестановки очередной пары	аргументов
исходной волновой функции с номером по порядку.
	Проиллюстрируем соотношения (4.3.14), (4.3.15), когда число частиц
	. С целью сокращения записей для обозначения вместо аргумента
будем использовать просто номер переменной :		:
		116

Меняя местами в обоих выражениях, например, переменные	и ,
получаем:

Тот же результат получим, меняя местами любую пару других переменных: и или и .

4.4. Полная волновая функция для системы тождественных микрочастиц. Принцип Паули

Рассмотрим теперь систему из тождественных частиц, взаимодействием которых друг с другом можно пренебречь. Для такой

системы оператор Гамильтона			можно представить в виде:
(см. (4.1.5)). Конкретный вид оператора				не имеет значения. Важно, что
гамильтонианы	отличаются друг от друга только индексом .
Пусть функция		является решением уравнения

где индекс представляет совокупность квантовых чисел, характеризующих квантовое состояние одной частицы в пространстве обобщенных переменных

. Будем считать, что функции	являются взаимно ортогональными и
нормированными на единицу:

Волновые		функции	оператора	Гамильтона
системы	,	соответствующие значению	энергии	и
				117

отвечающие набору одночастичных состояний	, можно
представить в виде:

Обратим внимание, что изначально отсутствуют какие–либо ограничения на соотношение между индексами состояний , т.е. значения различных индексов могут быть одинаковыми, но их можно пронумеровать в отличие от тождественных частиц.

Тогда аналогично (4.3.13), (4.3.14) получим симметричную и антисимметричную комбинации функций (4.4.3), которые описывают в рассматриваемом приближении соответственно системы тождественных бозонов и фермионов:

Из соотношения (4.4.4) следует, что для системы из	тождественных
бозонов полная волновая функция	выражается
суммой произведений вида

со всеми возможными перестановками индексов	…, . Такая сумма
обладает нужным свойством симметрии.
Обратим внимание, что в (4.4.6) некоторые из индексов		…,

могут обозначать одинаковый набор квантовых чисел, которые характеризуют одночастичное состояние. Более того, все эти индексы могут обозначать один и тот же набор квантовых чисел. Однако в отличие от самих частиц индексы состояний могут быть пронумерованы.

Для системы из двух тождественных бозонов, находящихся в

различных квантовых состояниях (				), полная волновая функция имеет
вид:

118

Множитель введен здесь для нормировки, так как одночастичные функции являются взаимно ортогональными и предполагаются нормированными (см. (4.4.2)). Если же два тождественных бозона находятся в одном и том же состоянии, то, очевидно,

В общем случае произвольного числа частиц нормированная полная

волновая функция	системы тождественных бозонов
равна:

где суммирование ведется по всем перестановкам пар индексов			…, ,
а числа	обозначают,	сколько из всех этих индексов имеют одинаковые
значения	. При этом	. В частности, если все	индексы

одинаковые, то множитель перед знаком суммы в (4.4.9) просто равен единице. Значение этого множителя определяется из условия нормировки

волновой функции	.
При интегрировании	квадрата модуля	полной	волновой функции
по	(имеется в	виду	интегрирование по

непрерывным пространственным переменным и суммирование по дискретным спиновым переменным) обращаются в нуль все члены, за исключением только квадратов модулей каждого из члена суммы. Поскольку общее число членов в сумме (4.4.9) равно , то отсюда и

получается нормировочный коэффициент в (4.4.9).

Для системы тождественных невзаимодействующих фермионов полная волновая функция является антисимметричной функцией, составленной из произведений волновых функций. В частности, для системы из двух тождественных фермионов имеем:

Если состояния одинаковы:

, то, как видно из (4.4.10),

Это означает, что волновая функция для состояния двух тождественных фермионов, когда они оба находятся в одном и том же

119

одночастичном состоянии, не существует, т.е. вероятность его реализации равна нулю. Данное утверждение известно как принцип или запрет Паули.

В общем случае полная волновая функция для		тождественных
фермионов записывается в виде определителя размером		, в качестве
элементов которого выступают функции	; строки этого определителя
обозначены индексом , а столбцы — индексом	:

Такое представление волновой функции называется детерминантом Слетера. Обмен местами двух аргументов волновой функции и эквивалентен перестановке соответствующих столбцов определителя (4.4.12), что вызывает смену его знака, что и требуется от антисимметричной волновой функции. Еще раз подчеркнем, что здесь речь вовсе не идет об обмене местами самих частиц — описывать в подобных терминах систему тождественных частиц бессмысленно.

Из соотношения (4.4.12) следует важный результат: если среди индексов …, есть два одинаковых индекса (т.е. эти два индекса обозначают один и тот же набор квантовых чисел одночастичного состояния), то две строки детерминанта Слетера окажутся одинаковыми. В этом случае весь определитель в (4.4.12) тождественно равен нулю. Детерминант Слетера будет отличен от нуля только в тех случаях, когда все индексы …, будут отличаться своими значениями. В этом проявляется радикальное отличие фермионов от бозонов.

Врезультате мы приходим к формулировке принципа Паули: система тождественных невзаимодействующих фермионов не может находиться в состояниях, которые описываются полными волновыми функциями, содержащими хотя бы два одинаковых состояния.

Таким образом, в системе, состоящей из тождественных фермионов, две (или более) частицы не могут находиться в одинаковых состояниях. Конечно, в такой формулировке принцип Паули может применяться только к системам слабовзаимодействующих частиц, когда можно говорить (хотя бы приближенно) о состояниях отдельных частиц.

Вобщем случае можно сказать, что система тождественных фермионов удовлетворяет принципу Паули, если она описывается антисимметричными волновыми функциями относительно перестановки пар своих обобщенных переменных.

Еще раз подчеркнем, что хотя волновая функция (4.4.12) характеризует состояния системы, в которых отдельные частицы находятся в состояниях,

характеризующихся индексами …, , нельзя указать, какая именно из частиц находится в каждом из этих состояний.

120