Статистическая физика / Конспект лекций

т.е. отличаются друг от друга дополнительным членом, исчезающим при варьировании действия, так что условие совпадает с условием поэтому вид уравнений движения остается неизменным.

Таким образом, функция Лагранжа в соответствии с принципом наименьшего действия определена лишь с точностью до прибавления к ней полной производной от любой функции координат и времени.

1.7. Канонические преобразования. Теорема Лиувилля

Выбор обобщенных координат при рассмотрении динамики системы не ограничен никакими условиями. Этими координатами могут быть любые величин, которые однозначно определяют положение в пространстве входящих в состав системы материальных точек. Формальный вид уравнений Лагранжа (1.2.16) не зависит от этого выбора, т.е. уравнения Лагранжа

инвариантны по отношению к преобразованию от координат	к
любым другим наборам независимых величин	. Новые
координаты являются функциями прежних координат :

Наряду с уравнениями Лагранжа при таком преобразовании сохраняют свою форму и уравнения Гамильтона (1.3.9). При этом уравнения Гамильтона допускают гораздо более широкий класс преобразований переменных. Это связано с тем, что в динамике Гамильтона импульсы играют роль независимых переменных наряду с координатами . Таким образом, понятие преобразования может быть расширено, в частности, оператор эволюции

является частным примером преобразования всех 2	независимых
переменных и к новым величинам и :

Такое расширение класса допустимых преобразований является одним из существенных преимуществ динамики Гамильтона.

Соответствующие преобразования, при которых уравнения движения сохраняют свой канонический вид, называют каноническими. Для рассматриваемого случая замкнутой системы функция Гамильтона инвариантна относительно любого канонического преобразования.

Всякое каноническое преобразование характеризуется своей функцией , которую называют производящей функцией преобразования. Например,

если задать производящую функцию как функцию «старых» координат

41

и «новых» координат	:	, то установление связи между старыми
и новыми	переменными осуществляется по формулам:

Иногда бывает удобно выразить производящую функцию не через переменные , а через прежние координаты и новые импульсы . Тогда, используя преобразование Лежандра, можно показать, что

производящей будет функция

:

Аналогичным образом можно перейти к формулам канонических преобразований, выраженных через производящие функции, зависящие от переменных или .

Вернемся теперь к рассмотрению фазового пространства. Произведение дифференциалов

можно рассматривать как «элемент объема» фазового пространства. Тогда интеграл , взятый по определенной области фазового пространства, задает объем этой области. При рассмотрении замкнутой системы, для которой выполняется закон сохранения энергии, соответствующая область фазового пространства определяется поверхностью заданной энергии:

.

Покажем, что величина объема определенной области фазового

пространства обладает свойством инвариантности по отношению							к
каноническому	преобразованию:	если	произвести		каноническое
преобразование	от переменных	к «новым» переменным				,	то
величины объемов областей фазовых пространств				и	одинаковы:

Как известно, преобразование переменных в кратном интеграле производится по формуле

42

где — якобиан преобразования:

Поэтому доказательство теоремы (1.7.5) сводится к доказательству того, что якобиан всякого канонического преобразования равен единице:

Воспользуемся известным свойством якобианов, которое позволяет обращаться с ними в определенном смысле как с дробями. «Разделив числитель и знаменатель» якобиана на , получим:

Согласно другому известному правилу якобиан, у которого в «числителе» и «знаменателе» фигурируют одинаковые величины, сводится к якобиану от меньшего числа переменных, причем при всех дифференцированиях в нем выпавшие одинаковые величины должны считаться постоянными. Поэтому

Рассмотрим якобиан, стоящий в числителе соотношения (1.7.9).

Согласно	определению это есть определитель	ранга	, составленный из
элементов	(элемент на пересечении –й	строки и	–го столбца). Для

их вычисления используем каноническое преобразование с помощью производящей функции в форме (1.7.4):

Таким же образом найдем, что в знаменателе (1.7.9) элемент на

пересечении –й строки и –го столбца определителя равен . Это значит, что оба определителя отличаются только заменой строк на столбцы и обратно. Поэтому они равны друг другу, так что отношение (1.7.9) равно единице, что и требовалось доказать.

Представим себе теперь, что каждая точка данной области фазового пространства перемещается со временем согласно уравнениям движения

43

рассматриваемой системы. Тем самым будет перемещаться и вся область. При этом ее объем остается неизменным:

Это утверждение, известное как теорема Лиувилля, непосредственно следует из инвариантности фазового объема при канонических преобразованиях, а также из того, что и изменение переменных во времени может быть рассмотрено как каноническое преобразование.

44

2.ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

2.1.Понятие вероятности. Аксиомы теории вероятностей

Как уже было отмечено во введении, в статистической физике широко применяется понятие вероятности и основные положения теории вероятностей. Остановимся, прежде всего, на аксиомах теории

вероятностей.
Рассмотрим	некоторый	абстрактный	счетный набор элементов
,	называемых	элементарными	событиями. Такой набор

элементов, обозначаемый как , является пространством событий или безусловным событием. Произвольное подмножество элементарных событий, в том числе и , является событием в пространстве событий . Если элементарное событие отсутствует в пространстве событий, то будем называть его невозможным(невероятным) событием .

С каждым событием свяжем число , называемое вероятностью события , которое обладает следующими свойствами:

а также удовлетворяет условию

если события	не содержат общих элементов			, т.е. если события
взаимно	несовместны.	При этом	в (2.1.2) может быть и
бесконечным. Определения набора		и вероятностей		задают закон
вероятности	.

Теория вероятностей использует логические следствия этих аксиом. Однако эти аксиомы весьма абстрактны и не говорят нам о том, как можно использовать закон вероятности в конкретной физической задаче. Приближение к физической реальности происходит тогда, когда постулируется некоторая связь между математическими понятиями и определенными физически наблюдаемыми свойствами. При этом справедливость предполагаемой связи может быть проверена только правильностью предсказаний теории.

Проиллюстрируем введенные понятия традиционным примером —

игрой в кости.
Для начала проясним смысл понятия элементарных событий	.

Физически мы отождествляем их с возможными результатами эксперимента. Однако понятие «результаты» не является однозначным, поэтому его необходимо тщательно определить в каждом конкретном случае. Например,

45

при игре в кости результатом обычно считают выпадение одной из шести цифр (1, 2, 3, 4, 5, 6), соответствующих поверхностям игральной кости. Однако такой результат относится только к идеализированной ситуации, и любые иные результаты могли бы быть расцениваться как элементарное событие. Например, мы можем ввести вероятность того, что кость упадет на одно из своих ребер, или вероятность того места, куда упадет эта кость.

После того, как элементарные события определены, сами события являются набором результатов, которые характеризуются некоторыми общими свойствами. Например, для элементарных событий 1, 2, 3, 4, 5, 6, событие «на кубике выпало простое число» будет происходить всякий раз, когда на кубике выпадают числа 1, 2, 3, 5. Нас могло бы интересовать только то, является ли верхняя поверхность кубика «четной» или «нечетной».

Достоверное событие соответствует тому, что «выпал какой–либо из номеров», а невозможное событие — «никакой из номеров не выпал».

После того как события определены, следующим вопросом является приписывание им вероятности. Чтобы обсудить этот вопрос, рассмотрим, что произойдет, если данный эксперимент проводить много раз.

Вдетерминистическом случае, который соответствует классической механике, предполагается, что условия эксперимента могут контролироваться с такой точностью, которая позволяет получить один и тот же результат для данных условий. Однако на практике условия эксперимента не могут быть проконтролированы абсолютно и даже при наилучшем осуществлении контроля получаются разные результаты. Здесь уже есть место для вероятности. Мы уже обсуждали невозможность определения начальных условий для системы, состоящей из большого числа частиц. В качестве другого примера возьмем игру в кости. Из-за огромной трудности расчета динамики движения подбрасываемого в воздух кубика и вследствие чрезвычайной чувствительности этого движения к малейшим изменениям начальных условий, не говоря уже о состоянии окружающего воздуха, никто не знает, как играть в кости, чтобы выпадали только шестерки. Максимум того, что можно здесь получить — это статистическая оценка частоты выпадения шестерки в ряду удачных экспериментов. Для физика пригодны два метода получения такой статистической оценки.

Врамках первого метода физик может исходить из того, что в силу симметрии кубика все его поверхности равнозначны и ни одну из поверхностей мы не можем считать предпочтительней другой. Затем априори

физик будет приписывать каждому элементарному событию вероятность

. Вероятность составных (сложных) событий получается с помощью определения (2.1.2). Например, вероятность события «выпадение простого числа» равна . Эта точка зрения соответствует классическому (или априорному) определению вероятности.

Если же физик — сторонник эксперимента, он может с недоверием относиться к таким априорным утверждениям. Тогда он проведет большое число экспериментов и определит вероятность как

46

где через обозначено число экспериментов с исходами . Очевидно, что частотная интерпретация удовлетворяет аксиомам теории вероятностей и может оказаться предпочтительней классической априорной интерпретации как более конструктивная. Однако остаются трудности с определением (2.1.3). Помимо математического вопроса о существовании предела, возникает проблема, связанная с невозможностью проведения бесконечного числа экспериментов, т.е. невозможностью строгого применения определения (2.1.3).

Обычный подход заключается в использовании вместо (2.1.3) приближенного выражения

Фактически, во многих случаях вероятности находят, комбинируя классический и частотный подходы. Допустим, например, что в результате

1200 подбрасываний	игральной кости соответствующие		значения	для
каждой из граней	равны 198, 205, 189, 209, 214, 185. Применяя
определение (2.4),	получаем	соответственно вероятности
		. Очевидно, нельзя придавать
большого значения этим числам, а следует взять вместо них
	. Поступая	так, мы, конечно,	руководствуемся

классической точкой зрения.

Имеется еще одно важное обстоятельство. Определение (2.1.3) ясно показывает, что возможны события с нулевой вероятностью, отличные от

невозможного события	. Если	, то соответствующая вероятность
равна нулю, хотя событие		может произойти даже бесконечное число
раз в пределе	. Тогда	будем говорить,	что событие	почти
невероятно. Аналогично, если		, хотя	не является достоверным

событием , то будем говорить, что оно почти достоверно. Здесь мы

использовали стандартные обозначения:			, если
в пределе	, и	, если	в пределе

.

Рассмотрим, например, следующий опыт: 32 буквы разрезной азбуки смешаны между собой. Мы будем вынимать одну карточку, изображенную на ней буква записывать, после чего вынутую карточку возвращать обратно. Затем карточки снова перемешаем. Такой опыт производится 25 раз. Рассмотрим теперь событие , которое заключается в том, что после 25 вытаскиваний карточек мы сможем записать первую строку из «Евгения Онегина»: «Мой дядя самых честных правил». Такое событие не является

47

логически невозможным, можно посчитать его вероятность, которая равна

. Но ввиду того, что вероятность для события ничтожно мала, это

событие почти невероятно.
Если какое–то событие	в опыте почти	невероятно, то
противоположное событие, состоящее в невыполнении		события , будет

почти достоверным. C точки зрения теории вероятности все равно о каких событиях говорить: почти невероятных или почти достоверных, так как они сопутствуют друг другу. Почти невероятные и почти достоверные события играют большую роль в теории вероятностей, на них основывается все практическое применение этой науки.

Теперь предположим, мы решили, что закон вероятности адекватен данному эксперименту. Но полезность формализма теории вероятностей определяется предсказаниями, которые могут быть получены как логические следствия аксиом теории вероятностей. Однако при проверке справедливости этих следствий мы опять сталкиваемся с той же проблемой: необходимо установить соответствие между теоретическими предсказаниями и результатами экспериментов. Здесь априорная (классическая) точка зрения становится бессмысленной — иначе нечего будет предсказывать, и мы вынуждены использовать частотный подход (2.1.3), а скорее его приближенный вариант (2.1.4).

При записи формулы (2.1.3) мы допускаем, что большое число экспериментов осуществляется последовательно. Однако другой путь достижения той же цели заключается в том, чтобы взять большое число копий нашей физической системы и одновременно произвести измерения в одном эксперименте. Например, в нашем предыдущем эксперименте мы можем представить себе, что 1200 игральных кубиков подбрасываются одновременно, после чего определяется частота выпадения некоторого события по одному такому эксперименту. Частотная интерпретация часто применяется к некоему единичному эксперименту. Эта процедура играет чрезвычайно важную роль в статистической теории.

2.2. Случайные переменные. Среднее значение, дисперсия, матрица ковариаций

Пусть

есть вещественная функция, определенная для некоторого элементарного события , где — закон вероятности. Тогда является определением случайной переменной, которую часто обозначают .

Простейший пример, который иллюстрирует это определение, — игра

в кости, где целое число	, сопоставлено событию		—
«падению вверх гранью . Другой	пример,	, где	—
произвольная вещественная функция .
			48

Для счетного числа элементарных событий случайная переменная

может быть задана также в виде дискретного набора значений			.
Обозначим через	набор всех	элементарных событий	,
связанных с данным числом	, т.е. таких, что	. Тогда функция

определяет вероятность распределения случайной величины . Из (2.1.1)

получаем очевидные свойства вероятности распределения:

Наконец, если	— некоторая вещественная функция , то величина
, которая принимает	значения	, когда	, также является

случайной переменной и записывается как

Среднее значение (или математическое ожидание, или первый момент) случайной величины определяется как

В более общем случае для некоторой функции

можно написать

Частотная интерпретация (2.1.3) понятия вероятности подсказывает нам — эти определения согласуются с нашими интуитивными представлениями о том, что среднее значение переменной есть сумма значений, принимаемых этими переменными в большом количестве экспериментов, деленная на их число. Из (2.1.3) и (2.2.5) действительно получим

где через обозначено число событий .

Теперь определим дисперсию (или второй момент) как

49

где — среднеквадратичное отклонение или среднеквадратичная флуктуация. Дисперсия дает ценную информацию о вероятности

распределения	. Если величина	мала, то величина	имеет
острый пик вблизи	среднего значения	. В специальном случае,	когда

случайная переменная почти достоверно принимает только одно значение , находим

где	— символ Кронекера. В этом случае из (2.2.5) и (2.2.8) дисперсия
равна нулю:		.
	Рассмотрим теперь многомерные случайные величины. Пусть для
каждого элементарного события			заданы	вещественных функций
		. Они определяют		случайных переменных
		, совокупность которых задает –мерную случайную переменную
:

По аналогии с (2.2.2) определим теперь совместную вероятность распределения для переменных:

где скобка обобщает обозначение , которое используется в одномерном случае, и представляет собой набор элементарных событий , таких, что одновременно

. Очевидно, что

Среднее значение переменной

, имеет вид:

50