Статистическая физика / Конспект лекций

виде непрерывной	функции времени	. На самом деле она меняется
скачкообразно: на	(рождение) или на	(смерть). Хотя каждый акт носит

случайный характер, в целом изменение народонаселения происходит закономерно и можно считать этот процесс непрерывным. Отклонение от закономерности объясняется конкретной ситуацией. Его, в частности, можно добиваться с помощью тех или иных целенаправленных мероприятий. Процессы такого рода часто встречаются и в физике. Их называют процессами рождения — гибели. К ним относятся, например, процессы синтеза и распада, возбуждения и гашения, образования и разрушения структур. Эти процессы отличаются особой ролью, которую в них играет случайность: события в них принципиально непредсказуемы.

Мы говорим о случайном процессе, если, зная состояние системы во все предшествующие моменты времени, мы не можем определить ее последующее развитие, иными словами, в будущем может реализоваться несколько различных возможностей. Ни оптимальная информация о прошлом системы, ни скрупулезное приготовление системы, ни задание условий, с помощью которых можно управлять системой, не позволяют предсказать ее эволюцию, т.е. рассчитать изменение во времени ее

параметров, в отличие, например, от траектории в классической механике.
	Пусть	есть вещественная функция вещественного параметра				,
который в общем случае рассматривается как время, а					— некоторое
элементарное событие с законом вероятности					. Тогда функция
	определяет стохастический (или случайный) процесс, обозначаемый
как	.
	Важно понимать, что для каждого данного элементарного события
величина		представляет собой функцию времени			в смысле обычного
анализа. Наоборот, для фиксированного времени					функция	—
случайная		величина,	определяемая	согласно	предшествующему
рассмотрению. Это замечание показывает, что набор
		является -мерной случайной величиной, для которой в

континуальном пределе может быть задана точечная плотность

вероятности	, которая определяет стохастический
процесс в каждый момент времени		. Заметим, что мы используем
тот же символ	, который применялся ранее для обозначения случайной
переменной.
Функция	по определению обладает следующими свойствами: она
инвариантна по отношению к перестановке		и	для каждого
значения	, а также удовлетворяет соотношениям:

61

Отметим также, что функция		в принципе определена только при
условии	. Действительно,		если времена	совпадают,
например,	, то мы получим только		–мерную стохастическую
переменную			. Последнее означает, что
точечное	распределение		уже	дает всю

требуемую информацию. Однако, достаточно просто показать, что нет противоречия, если формально определить

Можно представить себе большое число различных стохастических процессов. Иерархия плотностей вероятности указывает удобный путь классификации этих процессов.

Прежде всего, определим независимые случайные процессы,

обладающие свойством статистической независимости (см. (2.3.11)):

В этом случае для полного решения задачи достаточно знания функции

. Легко представить себе ситуацию, в которой условие (2.5.3) выполняется для дискретных значений .

С физической точки зрения, предшествующее рассмотрение, в котором случайные переменные были определены вне зависимости от времени , соответствует именно утверждению (2.5.3). Чтобы избежать требования (2.5.3) при получении результатов без учета временного фактора, необходимо реализовать вариант с одновременным рассмотрением большого числа копий рассматриваемой системы. Такую возможность мы уже обсуждали ранее.

Маловероятно, что соотношение (2.5.3) может описывать действительное поведение во времени некоторого физического процесса, так

как следует ожидать, что стохастические	переменные	и
взаимозависимы, если временной интервал	достаточно мал. Такие

временные корреляции несовместимы с предположением о независимости, сделанным в (2.5.3). Это означает, что нужно, как минимум, знать поведение функции .

Среди возможных вариантов учета корреляций во времени наибольшее распространение получил так называемый процесс Маркова — случайный процесс, в котором эволюция стохастической переменной после любого заданного значения времени не зависит от эволюции этой переменной в предшествующие моменты времени при условии, что ее значение фиксировано в текущий момент. Другими словами, «будущее» процесса не зависит от «прошлого» при известном «настоящем». Марковский процесс —

62

это простейший случайный процесс, описывающий причинную связь между событиями, произошедшими в различные моменты времени. Он дает удобную расчетную модель и в то же время позволяет описать большое число физических явлений.

63

3. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КЛАССИЧЕСКОЙ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

3.1. Функция распределения в фазовом пространстве. Основной постулат статистической механики

Во введении мы уже обсуждали, что макроскопические величины описываются непрерывными функциями от координаты в физическом пространстве и времени , которые рассматриваются как поля в физическом пространстве — времени. С другой стороны, микроскопические

динамические величины (переменные)	представляют	собой
функции от координат фазового пространства		,
которые также могут зависеть и от параметров	и . Примеры	таких

динамических переменных мы рассмотрим в дальнейшем. Статистическая механика служит связующим звеном между двумя уровнями описания, т.е. устанавливает соответствие между любой микроскопической динамической функцией и макроскопической динамической функцией :

Это соответствие определяет отображение фазового пространства на физическое пространство. Такое отображение становится вполне определенным, если потребовать выполнения некоторых числа разумных условий.

На математическом языке соотношение (3.1.1) означает, что величина

является функционалом от величины			. Таким образом, при
фиксированных значениях параметров		и	каждой	функции
переменных величин	соответствует некоторое число			, т.е. величина

представляет собой некоторую «функцию от функции». В статистической механике этот функционал часто обозначают как:

Вполне естественно потребовать, что этот функционал был линеен. Это означает, что для двух данных микроскопических динамических функций и

, а также двух чисел	и	должно быть выполнено следующее
соотношение:

Кроме того, постоянные величины, не зависящие от переменных	,
должны оставаться неизменными при таком отображении:
	64

Теперь мы можем построить такую процедуру, которая бы определяла отображение (3.1.1) и удовлетворяла бы условиям (3.1.3) и (3.1.4). Действительно, рассмотрим некоторую функцию , заданную в фазовом пространстве, и зададим правило соответствия (3.1.2) в следующем виде:

где интегрирование производится по всему фазовому пространству рассматриваемой системы. Такое определение, очевидно, удовлетворяет условию (3.1.3). Для того, чтобы выполнялось условие (3.1.4), необходимо потребовать выполнение равенства

Любая функция , удовлетворяющая условию (3.1.6), пригодна для построения функционала (3.1.5). Множество этих функций является подмножеством множества динамических переменных, заданных в фазовом пространстве. Они называются функциями распределения в фазовом пространстве (или функциями распределения, или распределениями).

Теперь мы можем сформулировать основной постулат статистической механики следующим образом: состояние системы в данный момент времени полностью задается некоторой функцией распределения , которая удовлетворяет условию (3.1.6). Наблюдаемое значение динамической функции для такой системы задается формулой (3.1.5).

Соотношения (3.1.5) и (3.1.6) явно подразумевают использование аппарата теории вероятностей. Если ввести дополнительное условие

то мы можем интерпретировать функцию	как плотность
вероятности нахождения системы в точке	фазового пространства.

Условие (3.1.7) обеспечивает положительную определенность числового значения вероятности, как это и должно быть, а условие нормировки (3.1.6) означает, что рассматриваемая система достоверно находится «где–то» в фазовом пространстве. Тогда определение (3.1.5) для наблюдаемой физической величины представляет собой обычную формулу для нахождения среднего (или ожидаемого) значения динамической переменной

.

65

При таком подходе понятие «состояния системы» подвергается принципиальному видоизменению по сравнению с динамическим описанием в рамках классической механики. Здесь состояние системы в момент времени уже не определяется совокупностью значений , т.е. некоторой точкой в фазовом пространстве. Вместо этого в заданный момент времени каждая точка фазового пространства представляет собой возможное состояние

рассматриваемой системы. При этом каждая такая точка учитывается с определенным весом в соответствии со значением функции распределения в этой точке фазового пространства. Если функция известна, мы можем вычислить значения всех возможных макроскопических переменных. Тем самым, в соответствии с основным постулатом первостепенной задачей статистической механики становится определение функции распределения .

Обратим внимание, что уравнения движения статистической механики, как будет показано ниже, не отличаются от уравнений движения обычной классической механики. В частности, для объяснения макроскопических физических законов не нужна вероятностная модификация законов движения. Определение (3.1.5) для наблюдаемой физической величины представляет собой единственное немеханическое «статистическое» предположение, которое постулирует связь между макроскопическими величинами и соответствующими микроскопическими величинами. Разумеется, соотношение (3.1.7) подразумевает определенный выбор функции распределения в начальный момент времени, и это не механическая задача. Начальную функцию распределения следует выбирать так, чтобы она наилучшим образом представляла всю ту информацию о рассматриваемой системе, которой мы обладаем. Необходимо подчеркнуть, что функция распределения может быть формально записана таким образом, чтобы «вернуться» к уравнениям механики, но такая запись подразумевает, что нам точно известны координаты и импульсы всех частиц системы в начальный момент времени. Истинная причина введения функции распределения как раз и связана с практической невозможностью задания невообразимого количества начальных условий для макроскопической системы.

3.2. Уравнение Лиувилля для функции распределения

Дальнейшее рассмотрение посвящено рассмотрению замкнутой системы, для которой функция Гамильтона не зависит явно от времени. Предположим, что мы выбрали подходящую функцию распределения

,описывающую начальное состояние системы. Нам нужно

определить зависимость от времени наблюдаемой величины	, которая
соответствует среднему значению динамической переменной	.
Будем считать, что в начальный момент величина
	66

является заданной динамической функцией. В таком случае

Поскольку эволюция	динамической функции	описывается
уравнениями Гамильтона (см. (1.3.9), (1.5.1)), величина
преобразуется в функцию	посредством преобразования эволюции
в соответствии с (1.5.10):

где	— оператор эволюции,	а	— оператор Пуассона (1.5.3). Таким
образом,	преобразование от	величины		к функции
определяется формулой

Это соотношение, очевидно, содержит закон движения в физическом пространстве, который определяется уравнениями Гамильтона в фазовом пространстве. Здесь имеется некоторая аналогия с представлением Гейзенберга в квантовой механике, в котором состояние системы задано, а ее эволюция описывается изменением во времени динамических функций.

Однако в таком описании имеется некоторая трудность. Из соотношения (3.2.6) видно, что приходится решать отдельную задачу на начальные значения для каждой динамической функции , макроскопическое значение которой мы хотим найти. Возникает вполне естественное желание найти «универсальный» способ описания эволюции

наблюдаемых величин, единый для всех макроскопических функций	,
т.е. представить соотношение (3.1.5) в виде

где функция распределения как функция времени, согласно сказанному выше, удовлетворяет начальному условию

67

При такой постановке задачи необходимо подтвердить справедливость соотношения (3.2.7) и установить уравнение движения для функции

.

В связи с этим обратим внимание, что согласно (1.5.21) соотношение (3.2.6) можно записать как

где обобщенные координаты и обобщенные импульсы связаны с соответствующими начальными значениями преобразованием эволюции (3.2.4), которое является каноническим преобразованием. Далее произведем в

интеграле (3.2.9) замену переменных:	. Тогда
соотношение (3.2.9) принимает вид

где	— якобиан преобразования. Как	известно, якобиан любого
канонического преобразования равен единице:		. Следовательно,

Сравнивая (3.2.7) и (3.2.11), приходим к выводу, что для получения временной зависимости функции распределения , необходимо выполнить в этой функции переход от переменных и к переменным и . Такое преобразование может быть осуществлено с помощью оператора, обратного оператору эволюции (см. (1.5.18)):

Оператор описывает эволюцию системы «в обратном времени», а соответствующее преобразование является, очевидно, каноническим преобразованием. Тем самым, из сравнения (3.2.7) и (3.2.11) согласно

(1.5.19) и (3.2.12) следует, что

Через функцию	наблюдаемая величина	выражается
согласно (3.2.7) в момент	времени . В начальный момент	времени

соотношение (3.2.7), очевидно, сводится к (3.2.2).

Мы получили, таким образом, описание, при котором вся зависимость от времени определяется эволюцией состояния, в то время как динамические

68

функции, соответствующие макроскопическим физическим величинам, заданы в начальный момент времени. Такое описание представляется более перспективным, что находит свое отражение в кинетической теории. Вместо исследования каждой наблюдаемой величины по отдельности задача статистической механики сводится к исследованию временной зависимости единственной функции .

Учитывая далее определения оператора эволюции (3.2.5) и оператора Пуассона (1.5.3), приходим к выводу, что равенство (3.2.13) может быть представлено в виде дифференциального уравнения (см. (1.5.1)):

Здесь — скобка Пуассона для функций и , которая определена в (1.4.4). Это уравнение называется уравнением Лиувилля. Оно играет фундаментальную роль в статистической механике классических систем, подобную той, которую играют уравнения Гамильтона в классической механике.

Вместо оператора Пуассона (1.5.3) по аналогии с (1.5.4) мы можем ввести в рассмотрение оператор Лиувилля :

Оператор полностью определен при заданной функции Гамильтона

. Тогда уравнение (3.2.14) принимает вид:

Формальное решение уравнения (3.2.16) с учетом начального условия (3.2.13) можно записать как

Из (3.2.17) следует, что если в качестве исходной функции выбрано приемлемое распределение, удовлетворяющее требованиям (3.1.6), (3.1.7), то оно удовлетворяет этим требованиям и для любого последующего момента времени:

Согласно уравнению (3.2.14), функция распределения не зависит от времени:

69

если

Очевидно, равенство (3.2.20) выполняется, если зависимость функции распределения от обобщенных координат и импульсов реализуется через функцию Гамильтона (см. (1.4.17)):

Таким образом, мы определили отображение фазового пространства на физическое пространство: . Однако существуют такие макроскопические величины, которые нельзя представить в виде (3.1.5), т.е. как взвешенное среднее значение динамической функции, где «весом» является функция распределения . Такие величины играют важную роль в термодинамике. Типичным примером подобной величины служит энтропия. Поэтому множество макроскопических величин можно разделить на два класса: механические величины, имеющие вид (3.1.5) и тепловые величины,

которые не могут быть приведены к такому виду.

Вэтой связи мы вправе высказать сомнение: существование таких немеханических величин может приводить к непригодности представленного выше формализма, связанного с использованием функции распределения. Однако существование наблюдаемых тепловых величин говорит о том, что функция распределения не есть просто математическая фикция: она отражает некую реальность, свойства которой поддаются измерению.

Вчастности, как уже было отмечено во введении, температура макроскопического тела имеет однозначный смысл только при тепловом равновесии. Таким образом, температура представляет собой понятие, характеризующее не столько динамическое поведение отдельной частицы или нескольких частиц, сколько состояние макроскопической системы в целом. Следовательно, мы не можем определять температуру как среднее значение микроскопической функции, как это подразумевается в формуле

(3.1.5). Температура скорее играет роль параметра, характеризующего функцию распределения, которая описывает систему в состоянии теплового равновесия. Поясним это утверждение. Часто встречается следующее определение: температура представляет собой среднюю кинетическую энергию идеального классического газа в состоянии равновесия. Это правильное утверждение имеет иной характер, чем равенство (3.1.5): оно отражает лишь тот факт, что равновесная функция

распределения особым образом зависит от параметра , который называют температурой. В самом деле, среднее значение произвольной

70