Лекція 4 кінематичне дослідження механізмів задачі і методи кінематичного дослідження механізмів

При кінематичному дослідженні механізму розгля­дається рух його ланок без урахування сил, які діють на них, тобто розглядається рух ланок з геометрич­ної точки зору, з урахуванням тільки фактора часу.

Як відомо, будь-який рух тіла характери­зується переміщенням його у просторі, швидкістю і прискоренням руху його точок.

Звідси й випли­вають основні задачі кінематичного дослідження механізмів:

1) визначення положень ланок механізму, побу­дова траєкторій його окремих рухомих точок і зна­ходження переміщень окремих ланок;

2) визначення швидкостей окремих точок і ла­нок механізму;

3) визначення прискорень окремих точок і ланок механізму.

У практичному застосуванні при дослідженні руху ме­ханізмів досить точним і зручним є графоаналітичний метод, що грунтується на побудові планів швидкостей і прискорень. Перевагою цього методу є те, що в результаті побудови планів одер­жують не тільки величини, але й напрямки, швидкості та при­скорення заданих точок механізму.

Плани швидкостей

Візьмемо будь-яке тіло К, що здійснює плоский рух. Положення твердого тіла у загальному випадку визначається трьома точками А, В, С (рис. 4.1,а), які незмінно зв'язані з тілом і утворюють жорсткий трикутник АВС.

Нехай відомі швидкості V_A, V_B, V_C відповідно точок А, В, С і положення миттєвого центра швидкостей Р. Вектор швидкості будь-якої точки направлений перпендикулярно до радіуса-вектора, який з'єднує цю точку з точкою Р, тобто:

V_APA, V_BPB, V_CPC. (4.1)

Швидкості точок пропорціональні радіусам-векторам

(4.2)

оскільки:

V_A = (PA), V_B = (PB), V_C = (PC).

де  — миттєва кутова швидкість тіла К.

Візьмемо тепер будь-яку довільну точку р на площині (рис. 4.1,б) і побудуємо в деякому масштабі з цієї точки вектори швидкостей точок А, В, С. З'єднавши прямими точки а, b і с — кінці векторів швидкостей V_A, V_B, V_C — одержимо план швидко­стей тіла АВС. Якщо таким чином побудувати вектори швидко­стей усіх крайніх точок тіла К і з'єднати їх між собою, на плані швидкостей отримаємо фігуру k, яка буде подібна до тіла К.

Планом швидкостей будь-якого тіла (ланки) є геометричне місце кінців векторів швидкостей крайніх точок тіла, відкладених з однієї довільної точки, що називається полюсом плану швидко­стей.

У зв'язку з тим, що відрізки ра, рb, рс перпендикулярні до радіусів відповідно РА, РВ, РС і пропорціональні їм, вся фігура раbс подібна до фігури РАВС і повернута відносно неї на 90° в бік миттєвого обертання. Це характерно для фігури аbс, яка подібна до фігури АВС.

Рис.4.1

Звідси одержимо теорему подібності для планів швидкостей: план швидкостей твердого тіла (ланки) подібний до тіла і повер­нутий відносно нього на 90° у бік миттєвого обертання тіла.

Теорема подібності справедлива тільки для незмінної систе­ми твердого тіла (ланки) і ні в якому випадку для механізму в цілому, що є змінною системою. Для механізму, який скла­дається з системи ланок і який при русі постійно змінює свою форму, можна лише мати сукупність планів швидкостей окре­мих ланок, що побудовані з одного полюса, спільного для всіх ланок. Такий рисунок називають планом швидкостей механізму.

План швидкостей аbс тіла АВС (рис. 4.1) розташований од­наково з цим тілом, тобто якщо обходити план швидкостей і тіло в одному напрямку, наприклад від точок а і А за рухом го­динникової стрілки, то порядок літер буде однаковим: аbс і АВС. Крім того, якщо вибрати аb = АВ і накласти план швидко­стей аbс на тіло АВС, то відповідні точки плану збігаються з точками тіла, а полюс р плану швидкостей збігатиметься з точ­кою Р — миттєвим центром швидкостей тіла К. Тому план швидкостей називають зображенням тіла.

Надалі позначатимемо точки ланок великими літерами (А, В, С, ...), а їхні зображення на плані швидкостей малими (а, b, с,...). Плани швидкостей механізму можна будувати методом подібності, використовуючи теорему подібності, і методом векторних рівнянь. Але оскільки плани прискорень можна будувати тільки методом векторних рівнянь, далі детальніше розглянемо останній.

В основі методу векторних рівнянь лежить теорема про розклад складного руху на два прості: переносний і відносний.

Для прикладу побудуємо план швидкостей кривошипно-повзункового механізму (рис. 4.2), для якого задано кінематич­ну схему і закон руху кривошипа ОА (₁ = соnst). Якщо задано частоту обертання п₁, хв^–1, то для визначення кутової швидкості скористаємося залежністю  = n₁/30.

Розв'язування задачі розпочнемо з визначення швидкості точки А початкової ланки: V_A = ₁l_OA (l_OA дійсна довжина кри­вошипа ОА, м).

Вектор V_A направлений перпендикулярно до кривошипа ОА в бік його руху. Зобразимо вектор швидкості V_A відрізком ра (рис. 4.2,б), який у масштабі

визначає цю швидкість: V_A = (ра) _V.

Щоб знайти швидкість точки В, яка є спільною для шату­на АВ і повзуна В, згадаємо теорему про розклад складного руху на переносний і відносний. Шатун АВ здійснює склад­ний рух, який можна розкласти на два прості: переносний (поступальний) зі швидкістю V_A точки А і відносний (оберто­вий) відносно точки А зі швидкістю V_BA. Справді, якщо надати кривошипу елементарного переміщення d₁, то центр шарніра А переміститься у точку A₁, щарніра В—у точку B₁. При та­кому русі шатун АВ здійснює складний рух: точка А рухається по дузі кола, точка В — по прямій лінії. Нехай спочатку всі точки шатуна АВ рухаються, як точка А, зі швидкістю V_A, при цьому вісь шатуна займе положення А₁В₁'. Потім, прийнявши точку А₁ за нерухомий центр (полюс), повернемо шатун АВ так, щоб точка В₁' потрапила на свою дійсну траєкторію х—х, тобто у точку B₁.

Отже, при заміні дійсного руху шатуна АВ двома умовними, що дають такий самий кінцевий результат переміщення, центр шарніра В набув послідовно дві швидкості: при поступальному русі — V_A, при обертовому — відносну швидкість V_BA точки В відносно точки А, яка невідома нам за величиною, але відома за напрямком (V_BAAB). На основі цього запишемо векторне рівняння для знаходження швидкості точки В:

V_В = V_A + V_BA. (4.3)

Рис.4.2

Для визначення векторів швидкостей V_B і V_BA проведемо че­рез точку а (рис. 4.2,б) лінію, яка показує напрямок вектора відносної швидкості, а з полюса р — лінію, паралельну руху пов­зуна В (х—х). Точка перетину цих ліній визначить точку b — кінець векторів V_B і V_BA. Відрізок аb не тільки визначає у мас­штабі величину (модуль) відносної швидкості V_BA=(ab)_V, але й одночасно він є планом швидкостей шатуна АВ. А тому точка С, яка лежить на ньому, згідно з теоремою подібності, на плані лежатиме на відрізку аb. Склавши пропорцію:

одержимо довжину відрізка:

Відкладемо відрізок ас на плані швидкостей і, з'єднавши точку с з полюсом р, отримаємо швидкість точки С: V_C = (рс)_V.

Планом швидкостей кривошипа ОА буде відрізок ра (точка О як нерухома потрапила в полюс р), повзуна В — точка b (всі точки повзуна мають однакову швидкість V_B).

Знайшовши лінійні швидкості всіх ланок механізму, можна встановити їхні кутові швидкості. У даному випадку кутова швидкість шатуна АВ:

де V_BA=(ab)_V.

Для визначення напрямку кутової швидкості ₂ перенесемо вектор швидкості V_BA у точку В (рис. 3.10,а) і розглянемо рух точки В відносно точки А у напрямку швидкості. У нашому ви­падку кутова швидкість ₂ направлена за рухом годинникової стрілки.