Підставляючи рівність (8.4) і (8.5) у рівняння (8.1), знаходимо:

(8.6)

Тут , а тому .

Зведення мас і моментів інерції

При динамічному дослідженні руху механізмів зручно, так само як і сили, маси і моменти інерції всіх ланок замінити одною зведеною масою або одним зведеним моментом інерції . При цьому необхідно, щоб кінетична енергія зведеної маси (мо­менту інерції) у відповідних положеннях механізму дорівнювала сумі кінетичних енергій всіх ланок цього механізму, тобто

(8.7)

де — кінетична енергія ланки зведення; — кінетична енергія ланки i (і = 1, 2, 3,..., п).

Якщо, наприклад, вибрати за ланку зведення кривошип ОА (див. рис. 8.1), а за точку зведення — центр шарніра A, то кінетична енергія ланки зведення визначиться за формулою:

(8.8)

або:

(8.9)

Тут , — зведена маса або зведений момент інерції ме­ханізму; — швидкість точки зведення А; — кутова швидкість ланки зведення, у нашому випадку кривошипа ОА.

Кінетична енергія ланок механізму може бути виражена як сума кінетичних енергій мас, які здійснюють поступальний і обертовий рух, тобто

(8.10)

Підставляючи (8.8)-(8.10) у загальну рівність (8.7), знахо­димо:

(8.11)

У формулах (8.10) і (8.11) і — це відповідно маса лан­ки та її момент інерції відносно осі, що проходить через центр маси; — швидкість центра мас ланки і; — її кутова швидкість.

Звичайно, буде зберігатись залежність Якщо врахувати, що в більшості механізмів маса ланок і її моменти інерції під час руху не змінюються, то, як видно з формул (8.11), зведені маси і моменти інерції залежать тільки від співвідношень швидкостей, які, у свою чергу, залежать від положень ланок механізму, тобто від положення ланки зведен­ня, і є завжди величинами додатними.

Зведені маси і моменти інерції можуть бути сталими або змінними. У більшості важільних, храпових, мальтійських, ку­лачкових механізмів зведені маси або зведені моменти інерції залежать від кута (рі повороту початкової ланки (узагальненої координати). У механізмах з постійним співвідношенням швид­костей (зубчасті, фрикційні, пасові, гвинтові, шарнірний пара­лелограм тощо) зведені маси (моменти інерції) сталі.

Приклад 8.2. Для механізму, кінематична схема якого пока­зана на рис. 8.3,а, визначити зведений момент інерції, якщо відомі маси і моменти інерції ланок відносно осей, що прохо­дять через їх центри мас. Швидкості центрів мас і кутові швид­кості задані планом швидкостей (рис. 8.3,б). Ланкою зведення вибрати кривошип ОА.

Рис.8.3

Розв'язання. Для розв'язання задачі будемо викори­стовувати умову зведення мас (8.7). У нашому випадку кінетична енергія ланки зведення визначається залежністю (8.9), тобто:

Кінетична енергія механізму складатиметься з кінетичної енергії п'яти ланок:

де:

(8.12)

Підставляючи вирази (8.9) і (8.12) у залежність (8.7), зна­ходимо зведений момент інерції механізму:

(8.13)

Величина зведеного моменту інерції може бути вираже­на через відповідні відрізки плану швидкостей (рис. 8.3,б). Для цього виразимо всі лінійні й кутові швидкості через ці відрізки:

де — масштаб (масштабний коефіцієнт) побудови плану швидкостей.

Підставивши ці вирази у формулу (8.13), дістанемо за­лежність для визначення зведеного моменту інерції:

Величини відрізків, взятих з плану швидкостей, можна бра­ти у міліметрах без множення на масштаб , тому що при діленні одного відрізка на інший масштаби скорочуються.