Тертя в поступальних кінематичних парах

За своєю конструкцією поступальні кінематичні пари бувають плоскі (рис. 6.7, а), клинові (рис. 6.7, б) та циліндричні (рис. 6.7, в). У свою чергу, вони поділяються на горизонтальні та похилі.

Основні закономірності тертя ковзання в плоских горизон­тальних поступальних кінематичних парах ми вже розглянули. Надалі розглядатимемо тертя ковзання в інших випадках

.

Тертя на похилій площині

Розглянемо загальний випадок рівномірного руху тіла вгору по похилій площині (рис. 6.8, а), яка утворює кут  з горизонтом. Тіло вагою G приводиться в рух си­лою F, яка утворює з нормаллю п—п до похилої площини кут .

При рівномірному русі тіла вгору по похилій площині на нього, крім сил F і G, діятиме нормальна реакція площини N і сила тертя F_f, яка напрямлена в протилежний від руху тіла бік. Замінимо сили N і F_f рівнодіючою R, що утворює з нормальною реакцією кут тертя  (6.7).

Розглянемо умову рівноваги тіла під дією прикладених сил (F, G, R), на основі якої можна записати векторне рівняння

Тоді, побудувавши згідно з рівнянням (6.9) план сил (рис. 6.8, б), запишемо пропорцію

з якої знаходимо силу F, яка забезпечує рівномірний рух тіла по похилій площині та напрямлена під кутом  до нормалі п—п,

Якщо сила F паралельна похилій площині ( = /2), то sin(/2–)=cos, а значить,

Коли ж сила F горизонтальна ( = /2 + ), то дістанемо

F=Gtg(+).

Остання формула широко використовується в інженерних розрахунках.

Якщо тіло рухається рівномірно вниз по похилій площині, то сила тертя F_f буде направлена в протилежний бік (вгору), а зна­чить, повна реакція R=F_f +N буде відхилена від нормалі п—п на кут (–). Тоді залежності (6.10)—(6.12) набувають вигляду

F=Gtg(–).

Характерно, що якщо кут нахилу площини менший від кута тертя ( < ), то сила F (6.13) має знак мінус. Отже, у цьому разі для рівномірного руху тіла вниз по похилій площині треба замінити напрямок сили: сила F має "стягувати" тіло з похилої площини, бо інакше тіло перебуватиме в стані спокою. Площи­на, в якої кут нахилу  менший від кута тертя , називається самогальмівною.

Якщо  = , то сила F дорівнює нулеві. Це і є граничний випадок самогальмування.

Питання про рух повзуна по похилій площині з прискорен­ням можна вивчити на підставі аналогічних міркувань, коли до всіх діючих сил приєднати силу інерції тіла.

Ккд похилої площини

Нехай тіло А під дією горизонтальної сили F переміститься вгору по похилій площині з по­ложення І в положення II (рис. 6.9).

ККД, як відомо, ви­значається за формулою

де — робота сил ко­рисного опору; А_р — робота рушійних сил.

Якщо тіло рухається вгору по похилій площині, сила F на­прямлена в бік руху і є рушійною силою, а значить. А_р = Fl, си­ла G буде силою опору, а тому . Тоді

Враховуючи, що h/l = tg, де кут  — кут підйому похилої площини, а F=G tg( + ), дістанемо

Якщо тіло рухається вниз по похилій площині, сила G буде рушійною силою, а F — силою опору, а тому А_р = Gh; .

Тоді , або, взявши до уваги, що F=G tg( – ), маємо

Їз залежності (6.14) видно, що якщо  , то 0.

Похила площина, в якої ККД 0, є самогальмівною. Самогальмування можливе і при русі тіла вгору по похилій площині. Для визначення кута нахилу самогальмування пло­щини необхідно покласти = 0. З формули (6.13) випливає, що = 0 при tg = 0 або tg( – ) = 0. Перший розв'язок не має змісту, оскільки при tg = 0 при  = 0, а значить, сила F ніякої корисної роботи не виконує (Gh = 0) — вона тільки долає силу тертя. Якщо tg( + ) = , то дістаємо  +  =  / 2, або  = /2–.

Таким чином, похила площина при підійманні тіла вгору самогальмівна, якщо кут підйому , дорівнює /2 – .

ККД є функція кута підйому площини . З умови, що ККД дорівнює нулю при  = 0 і  =  /2 – , треба при­пускати, що в проміжку між вказаними значеннями кута  ККД має найбільше значення.

Значення _m, при якому максимальний, можна знайти відомим способом, дослідивши залежності (6.14) або (6.15) на ек­стремум. Якщо ці рівняння продиференціювати і прирівняти ну­лю: d /d= 0, то одержимо рівняння, з яких легко визначити _m.

При русі тіла вгору по похилій площині маємо

або

Замінивши тангенси відношенням sin і cos та привівши складові до спільного знаменника, після відповідних перетво­рень дістанемо

sin2(+)–sin2=0

Це рівняння задовольняється тільки за умови, що 2(+) = –2, оскільки sin2 = sin( – 2).

Отже, максимальний ККД відповідає куту підйому

Якщо тіло рухається вниз по похилій площині, аналогічно дістаємо максимальне значення ККД при

Можна показати, що в разі піднімання повзуна по похилій площині, в якої кут підйому менший від кута , ККД завжди менший від 0,5. Справді, вже при  =  рівняння (6.14) набуває такого вигляду:

Отже, у цьому випадку завжди менше від 0,5. Виведені формули застосовуються для наближеного визна­чення ККД гвинтових та черв'ячних механізмів (передач). У разі передачі руху від черв'яка до колеса застосовується формула (6.14), а при передачі від колеса до черв'яка — формула (6.15). Усі наслідки, що випливають з цих формул для похилої площи­ни, залишаються в силі для гвинтових і черв'ячних механізмів.