- •Оглавление
- •Часть 1. Основной тест
- •Раздел 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
- •Раздел 2. Математический анализ функций одной переменной
- •Часть 2. Приложения
- •Предисловие
- •Часть 1. Основной текст.
- •Раздел 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- •1. Определители.
- •1.1. Основные понятия.
- •1.2 Свойства определителей.
- •1.3 Приложение определителей к решению систем линейных уравнений.
- •2. Декартовы координаты на плоскости и в пространстве.
- •2.1 Декартовы координаты на плоскости.
- •2.2 Основные задачи аналитической геометрии на плоскости.
- •2.2.1. Расстояние между двумя точками.
- •2.2.2. Деление отрезка в данном отношении.
- •2.2.3. Площадь треугольника.
- •2.3. Декартовы координаты в пространстве.
- •2.4. Основные задачи аналитической геометрии в пространстве.
- •3. Векторы на плоскости и в пространстве.
- •3.1. Основные понятия.
- •3.2. Линейные операции над векторами.
- •3.3. Базис на плоскости и в пространстве. Координаты вектора в данном базисе.
- •3.4. Проекция вектора на ось.
- •3.5. Ортонормированный базис на плоскости и в пространстве.
- •3.6. Действия над векторами в координатной форме.
- •4. Скалярное произведение векторов.
- •4.1. Определение и свойства скалярного произведения.
- •4.2. Скалярное произведение в координатной форме.
- •4.3. Некоторые приложения скалярного произведения.
- •5. Векторное и смешанное произведения векторов.
- •5.1. Определение векторного произведения.
- •5.2. Свойства векторного произведения
- •5.3. Векторное произведение в координатной форме.
- •5.4. Определение смешанного произведения.
- •5.5. Смешанное произведение в координатной форме.
- •6. Понятие линейного (векторного) пространства.
- •6.1. Определение линейного пространства.
- •6.2. Линейная зависимость
- •6.3. Базис. Координаты. Размерность.
- •6.4. Пространство арифметических векторов Rn.
- •7. Прямая линия на плоскости.
- •7.1. Понятие уравнения линии на плоскости.
- •7.2 Уравнение прямой на плоскости.
- •7.2.1 Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
- •7.2.2. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.
- •7.2.3. Уравнение прямой, проходящей через две точки.
- •7.2.4. Уравнение прямой в отрезках на осях.
- •7.2.4. Общее уравнение прямой.
- •7.2.6. Векторное уравнение прямой.
- •7.2.7. Уравнение прямой с данным вектором нормали.
- •7.2.8. Нормальное уравнение прямой.
- •7.3. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой
- •7.3.1 Угол между прямыми. Условия параллельности и ортогональности.
- •7.3.2. Расстояние от точки до прямой.
- •7.3.3. Точка пересечения двух прямых.
- •7.4. Геометрический смысл линейных неравенств и систем линейных неравенств на плоскости
- •8. Прямая и плоскость в пространстве.
- •8.1. Уравнения плоскости в пространстве.
- •8.1.1. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку ортогонально данному вектору.
- •8.1.2. Уравнение плоскости, проходящей через три точки.
- •8.1.3. Общее уравнение плоскости.
- •8.1.4. Нормальное уравнение плоскости.
- •8.1.5. Расстояние от точки до плоскости.
- •8.1.6. Взаимное расположение двух плоскостей.
- •8.2. Уравнение прямой в пространстве.
- •8.2.1. Векторное уравнение прямой.
- •8.2.2. Параметрические уравнения прямой.
- •8.2.3. Канонические уравнения прямой.
- •8.2.4. Уравнение прямой, проходящей через две точки.
- •8.2.5. Общее уравнение прямой в пространстве.
- •9. Кривые второго порядка на плоскости.
- •9.1. Окружность.
- •9.2. Эллипс
- •Уравнение эллипса со смещенным центром
- •9.3. Гипербола
- •9.4. Парабола.
- •10. Матрицы
- •10.1. Основные понятия
- •10.2. Действия над матрицами.
- •10.2.1. Сложение матриц.
- •10.2.2. Умножение матрицы на число.
- •10.2.3. Умножение матриц.
- •10.3. Квадратные матрицы. Обратная матрица.
- •10.4. Ранг матрицы.
- •11. Система линейных алгебраических уравнений.
- •11.1. Основные понятия.
- •11.2. Методы решения невырожденных слау.
- •11.3. Метод Гаусса решения слау.
- •11.4 Исследование слау: Терема Кронекера-Капелли.
- •11.5. Исследование структуры решения слау.
- •11.5.1. Структура решения однородной системы.
- •11.5.2. Структура решения неоднородной системы.
- •12. Элементы матричного анализа.
- •12.1. Собственные числа и собственные векторы матрицы.
- •12.2. Квадратичные формы в Rn.
- •Раздел 2. Математический анализ функций одной переменной.
- •13. Множества. Действительные числа.
- •13.1 Логическая символика.
- •13.2. Множества. Действия над множествами.
- •13.3. Действительные числа.
- •13.4. Ограниченные и неограниченные числовые множества.
- •13.5. Числовые промежутки. Окрестность точки.
- •13.6. Индуктивные множества. Натуральные числа. Метод математической индукции.
- •14. Предел последовательности.
- •14.1. Понятие числовой последовательности.
- •14.2. Геометрическая прогрессия
- •14.3. Ограниченные и неограниченные последовательности.
- •14.4. Определение предела последовательности.
- •14.5. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства.
- •14.6. Арифметические свойства пределов последовательностей
- •14.7. Предельный переход в неравенствах
- •14.8. Монотонные последовательности.
- •14.9. Число e.
- •15. Функции
- •15.1. Понятия функции.
- •15.2. Основные характеристики поведения функции.
- •15.3. Понятие сложной и обратной функции.
- •15.3.1. Понятие сложной функции.
- •15.3.2. Понятие обратной функции.
- •З аметим, что монотонные функции взаимно однозначны (см. Рис. 15.11):
- •15.4. Основные элементарные функции.
- •15.5. Некоторые важнейшие функциональные зависимости.
- •15.5.6. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции.
- •15.6. Преобразование графиков функций.
- •16. Предел функции.
- •16.1. Определение предела функции в точке.
- •16.2. Основные теоремы о пределах функций.
- •Четвертый замечательный предел
- •Основные свойства б.М. Функций.
- •16.5 Сравнение б. М. И б. Б. Функций.
- •16.6. Односторонние пределы.
- •17. Непрерывность функции.
- •17.1. Непрерывность функции в точке.
- •17.2. Локальные свойства непрерывных функций.
- •17.3. Непрерывность обратной функции.
- •17.4. Непрерывность основных элементарных функций.
- •17.5. Точки разрыва функции и их классификация.
- •17.6. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
- •18. Производная.
- •18.1. Понятие производной.
- •18.2. Дифференцируемость.
- •18.3. Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями.
- •18.4. Производная сложной и обратной функции.
- •18.4.1. Производная сложной функции
- •18.4.2. Производная обратной функции.
- •18.5. Таблица производных
- •18.6. Логарифмическая производная
- •18.7. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной и нормали к кривой.
- •18.8. Односторонние и бесконечные производные.
- •18.9 Дифференциал.
- •18.10. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •18.11. Параметрическое задание функции и ее дифференцирование.
- •18.12. Неявное задание функции и ее дифференцирование.
- •18.13. Основные теоремы дифференциального исчисления.
- •18.14. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.
- •18.15. Формула Тейлора
- •18.15.1. Формула Тейлора для многочлена.
- •18.15.2. Формула Тейлора для произвольной функции.
- •18.15.3. Формула Маклорена некоторых элементарных функций.
- •18.15.4. Некоторые приложения формулы Маклорена.
- •19. Применение производных к исследованию функций и построению графиков.
- •19.1. Монотонность: убывание и возрастание.
- •19.2. Экстремумы: максимумы и минимумы.
- •19.3. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
- •19.4. Выпуклость вогнутость. Точки перегиба.
- •19.5. Асимптоты графика функции.
- •19.6. План полного исследования функции и построения ее графика.
6.4. Пространство арифметических векторов Rn.
Арифметическим n-мерным вектором называется упорядоченный набор из n действительных чисел а1, а2, …, аn, который записывается в виде
=(а1, а2, …, аn).
числа а1, а2, …, аn называются компонентами вектора .
Два n-мерных вектора =( а1,…, аn) и =(b1,…, bn) называются равными, =, если равны их соответствующие компоненты: а1= b1,…, аn=bn.
Нулевой вектор – это вектор, все компоненты которого равны нулю: = (0, 0, …, 0).
Вектор -=(-а1, -а2, …, -аn) называется противоположным вектору=(а1, а2, …, аn).
Суммой двух n-мерных векторов =( а1,…, аn) и =(b1,…, bn) называется n-мерный вектор
+=(а1+ b1, а2+ b2,…, аn+bn), (6.5)
т.е. при сложении двух n-мерных векторов их соответствующие компоненты складываются.
Произведением n-мерного вектора =(а1, а2, …, аn) на действительное число называется n-мерный вектор
=(а1, а2, …, аn), (6.6)
т.е. при умножении вектора на число каждая компонента вектора умножается на это число. В частности,
-=(-1) .
Так определенные операции над арифметическими n-мерными векторами удовлетворяют всем аксиомам линейного (векторного) пространства. Итак, множество всех арифметических n-мерных векторов с введенными выше операциями сложения векторов и умножения вектора на число образует векторное пространство над полем R действительных чисел, обозначают его Rn и называют пространством арифметических векторов.
Рассмотрим в Rn систему векторов , , …, вида:
(6.7)
Покажем, что эта система векторов образует базис пространства Rn, называемый стандартным базисом в Rn. Для этого покажем, что эта система векторов линейно независима и каждый вектор из Rn является линейной комбинацией векторов этой системы.
Пусть числа α1, α2, …, αn таковы, что α1 + α2 + +αn =. Учитывая правила сложения векторов и умножения вектора на число в Rn, получим
(1, 2, …, n) =(0, 0, …, 0),
т.е. 1=0, 2=0, …, n=0. Это означает, что векторы , , …,линейно независимы. Далее
=(а1, а2, …, аn) = (а1, 0, …, 0) + (0, а2, …, 0) + (0, 0, …, аn)=
=a1(1, 0, …, 0) + a2(0, 1, …, 0) + an(0, 0, …, 1)= a1+a2+…+an,
т.е. каждый вектор Rn есть линейная комбинация векторов системы , , …,.
Теперь ясно, что компоненты a1, a2, ,an вектора ā =(a1, a2, …, an) Rn есть не что иное, как координаты вектора ā в стандартном базисе. Пространство Rn является n-мерным векторным пространством.
Пример 6.2. Рассмотрим линейное пространство геометрических векторов V3, определенное в параграфе 3 (см. п. 3.1, 3.2) и ортонормированный базис из векторов , , (см. п.3.5 б). Тогда каждый вектор ā V3 единственным образом разлагается по базису , , :
ā=х + у + z = {х, у, z},
где числа х, у, z- координаты вектора ā в данном базисе. Упорядоченная тройка чисел {х, у, z} однозначно характеризует вектор ā. Сложению векторов и умножению вектора на число соответствуют аналогичные действия над их координатами (см. п. 3.6).
Таким образом, мы установили взаимно однозначное соответствие между векторами пространства V3 и упорядоченными тройками их координат (в базисе , , ), сохраняющее линейные операции сложения векторов и умножения вектора на число. Но упорядоченная тройка чисел есть не что иное, как трехмерный арифметический вектор из R3:
ā=х + у + z={х, у, z} (х, у, z) R3
Заметим, что ортонормированному базису , , в V3 соответствует стандартный базис , , в R3:
=1• + 0• + 0•={1, 0, 0} =(1, 0, 0),
=0• + 1• + 0•={0, 1, 0} =(0, 1, 0),
=0• + 0• + 1•={0, 0, 1} =(0, 0, 1).
Тогда пространство геометрических векторов V3 можно рассматривать как конкретную реализацию векторного пространства арифметических векторов R3.
Пример 6.3.Пусть векторы , , …, образуют базис пространства Rn, в частности, они линейно независимы, т.е. равенство
α1 + α2 + , …, + αn = (6.7)
выполняется тогда и только тогда, когда α1=0, α2=0, …, αn=0.
Пусть векторы , , …, заданы своими координатами:
=(а11, а21, …, аn1),
=(а12, а22, …, аn2),
……………………..
=(а1n, а2n, …, аnn).
Перепишем равенство (6.7) в координатной форме:
(6.8)
Эта система n линейных уравнений с n неизвестными, однородная: она совместна и имеет решение α1=0, α2=0, …, αn=0. Если определитель этой системы
(6.9)
отличен от нуля, ∆≠0, то решение системы (6.8) единственно.
Итак, векторы , , …, образуют базис Rn тогда и только тогда, когда определитель, составленный из координат этих векторов, отличен от нуля.
Если этот определитель равен нулю, ∆=0, то система векторов линейно зависима и один из векторов этой системы является линейной комбинацией остальных.
Скалярным произведением двух векторов =( а1, а2,…, аn) и =(b1, b2,…, bn) из Rn называется число
(,) = а1b1 + а2b2+… + аnbn. (6.10)
Основные свойства скалярного произведения:
-
(,)=(,).
-
(,)= (,)= (,).
-
(+,)=(,)+(,).
-
(,)0, (,)=0 =0
Эти свойства вытекают непосредственно из определения скалярного произведения по формуле (6.10).
Модулем (длиной) вектора =(а1, а2,…, аn) Rn называется число
==. (6.11)
Угол между ненулевыми векторами и из Rn называется угол = (), 0 такой, что
cos =. (6.12)
Векторы и называются ортогональными, , если()==, т.е. если их скалярное произведение равно нулю:
Пространство векторов Rn со скалярным произведением, заданным формулой (6.10), называется евклидовым пространством Rn.
Базис пространства называется ортонормированным, если векторы, образующие базис, попарно ортогональны и имеют длину, равную единице, т.е. являются ортами:
, , …, – ортонормированный базис Rn
Так стандартный базис в Rn (см. 6.7) является ортонормированным базисом в Rn.
Пример 6.4. Пространство V3 со скалярным произведением, определенным в п. 4.1., является трехмерным евклидовым пространством, а векторы , , (координатные орты) образуют ортонормированный базис V3.