- •Оглавление
- •Часть 1. Основной тест
- •Раздел 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
- •Раздел 2. Математический анализ функций одной переменной
- •Часть 2. Приложения
- •Предисловие
- •Часть 1. Основной текст.
- •Раздел 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- •1. Определители.
- •1.1. Основные понятия.
- •1.2 Свойства определителей.
- •1.3 Приложение определителей к решению систем линейных уравнений.
- •2. Декартовы координаты на плоскости и в пространстве.
- •2.1 Декартовы координаты на плоскости.
- •2.2 Основные задачи аналитической геометрии на плоскости.
- •2.2.1. Расстояние между двумя точками.
- •2.2.2. Деление отрезка в данном отношении.
- •2.2.3. Площадь треугольника.
- •2.3. Декартовы координаты в пространстве.
- •2.4. Основные задачи аналитической геометрии в пространстве.
- •3. Векторы на плоскости и в пространстве.
- •3.1. Основные понятия.
- •3.2. Линейные операции над векторами.
- •3.3. Базис на плоскости и в пространстве. Координаты вектора в данном базисе.
- •3.4. Проекция вектора на ось.
- •3.5. Ортонормированный базис на плоскости и в пространстве.
- •3.6. Действия над векторами в координатной форме.
- •4. Скалярное произведение векторов.
- •4.1. Определение и свойства скалярного произведения.
- •4.2. Скалярное произведение в координатной форме.
- •4.3. Некоторые приложения скалярного произведения.
- •5. Векторное и смешанное произведения векторов.
- •5.1. Определение векторного произведения.
- •5.2. Свойства векторного произведения
- •5.3. Векторное произведение в координатной форме.
- •5.4. Определение смешанного произведения.
- •5.5. Смешанное произведение в координатной форме.
- •6. Понятие линейного (векторного) пространства.
- •6.1. Определение линейного пространства.
- •6.2. Линейная зависимость
- •6.3. Базис. Координаты. Размерность.
- •6.4. Пространство арифметических векторов Rn.
- •7. Прямая линия на плоскости.
- •7.1. Понятие уравнения линии на плоскости.
- •7.2 Уравнение прямой на плоскости.
- •7.2.1 Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
- •7.2.2. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.
- •7.2.3. Уравнение прямой, проходящей через две точки.
- •7.2.4. Уравнение прямой в отрезках на осях.
- •7.2.4. Общее уравнение прямой.
- •7.2.6. Векторное уравнение прямой.
- •7.2.7. Уравнение прямой с данным вектором нормали.
- •7.2.8. Нормальное уравнение прямой.
- •7.3. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой
- •7.3.1 Угол между прямыми. Условия параллельности и ортогональности.
- •7.3.2. Расстояние от точки до прямой.
- •7.3.3. Точка пересечения двух прямых.
- •7.4. Геометрический смысл линейных неравенств и систем линейных неравенств на плоскости
- •8. Прямая и плоскость в пространстве.
- •8.1. Уравнения плоскости в пространстве.
- •8.1.1. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку ортогонально данному вектору.
- •8.1.2. Уравнение плоскости, проходящей через три точки.
- •8.1.3. Общее уравнение плоскости.
- •8.1.4. Нормальное уравнение плоскости.
- •8.1.5. Расстояние от точки до плоскости.
- •8.1.6. Взаимное расположение двух плоскостей.
- •8.2. Уравнение прямой в пространстве.
- •8.2.1. Векторное уравнение прямой.
- •8.2.2. Параметрические уравнения прямой.
- •8.2.3. Канонические уравнения прямой.
- •8.2.4. Уравнение прямой, проходящей через две точки.
- •8.2.5. Общее уравнение прямой в пространстве.
- •9. Кривые второго порядка на плоскости.
- •9.1. Окружность.
- •9.2. Эллипс
- •Уравнение эллипса со смещенным центром
- •9.3. Гипербола
- •9.4. Парабола.
- •10. Матрицы
- •10.1. Основные понятия
- •10.2. Действия над матрицами.
- •10.2.1. Сложение матриц.
- •10.2.2. Умножение матрицы на число.
- •10.2.3. Умножение матриц.
- •10.3. Квадратные матрицы. Обратная матрица.
- •10.4. Ранг матрицы.
- •11. Система линейных алгебраических уравнений.
- •11.1. Основные понятия.
- •11.2. Методы решения невырожденных слау.
- •11.3. Метод Гаусса решения слау.
- •11.4 Исследование слау: Терема Кронекера-Капелли.
- •11.5. Исследование структуры решения слау.
- •11.5.1. Структура решения однородной системы.
- •11.5.2. Структура решения неоднородной системы.
- •12. Элементы матричного анализа.
- •12.1. Собственные числа и собственные векторы матрицы.
- •12.2. Квадратичные формы в Rn.
- •Раздел 2. Математический анализ функций одной переменной.
- •13. Множества. Действительные числа.
- •13.1 Логическая символика.
- •13.2. Множества. Действия над множествами.
- •13.3. Действительные числа.
- •13.4. Ограниченные и неограниченные числовые множества.
- •13.5. Числовые промежутки. Окрестность точки.
- •13.6. Индуктивные множества. Натуральные числа. Метод математической индукции.
- •14. Предел последовательности.
- •14.1. Понятие числовой последовательности.
- •14.2. Геометрическая прогрессия
- •14.3. Ограниченные и неограниченные последовательности.
- •14.4. Определение предела последовательности.
- •14.5. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства.
- •14.6. Арифметические свойства пределов последовательностей
- •14.7. Предельный переход в неравенствах
- •14.8. Монотонные последовательности.
- •14.9. Число e.
- •15. Функции
- •15.1. Понятия функции.
- •15.2. Основные характеристики поведения функции.
- •15.3. Понятие сложной и обратной функции.
- •15.3.1. Понятие сложной функции.
- •15.3.2. Понятие обратной функции.
- •З аметим, что монотонные функции взаимно однозначны (см. Рис. 15.11):
- •15.4. Основные элементарные функции.
- •15.5. Некоторые важнейшие функциональные зависимости.
- •15.5.6. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции.
- •15.6. Преобразование графиков функций.
- •16. Предел функции.
- •16.1. Определение предела функции в точке.
- •16.2. Основные теоремы о пределах функций.
- •Четвертый замечательный предел
- •Основные свойства б.М. Функций.
- •16.5 Сравнение б. М. И б. Б. Функций.
- •16.6. Односторонние пределы.
- •17. Непрерывность функции.
- •17.1. Непрерывность функции в точке.
- •17.2. Локальные свойства непрерывных функций.
- •17.3. Непрерывность обратной функции.
- •17.4. Непрерывность основных элементарных функций.
- •17.5. Точки разрыва функции и их классификация.
- •17.6. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
- •18. Производная.
- •18.1. Понятие производной.
- •18.2. Дифференцируемость.
- •18.3. Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями.
- •18.4. Производная сложной и обратной функции.
- •18.4.1. Производная сложной функции
- •18.4.2. Производная обратной функции.
- •18.5. Таблица производных
- •18.6. Логарифмическая производная
- •18.7. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной и нормали к кривой.
- •18.8. Односторонние и бесконечные производные.
- •18.9 Дифференциал.
- •18.10. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •18.11. Параметрическое задание функции и ее дифференцирование.
- •18.12. Неявное задание функции и ее дифференцирование.
- •18.13. Основные теоремы дифференциального исчисления.
- •18.14. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.
- •18.15. Формула Тейлора
- •18.15.1. Формула Тейлора для многочлена.
- •18.15.2. Формула Тейлора для произвольной функции.
- •18.15.3. Формула Маклорена некоторых элементарных функций.
- •18.15.4. Некоторые приложения формулы Маклорена.
- •19. Применение производных к исследованию функций и построению графиков.
- •19.1. Монотонность: убывание и возрастание.
- •19.2. Экстремумы: максимумы и минимумы.
- •19.3. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
- •19.4. Выпуклость вогнутость. Точки перегиба.
- •19.5. Асимптоты графика функции.
- •19.6. План полного исследования функции и построения ее графика.
17.2. Локальные свойства непрерывных функций.
Локальные свойства функции – это такие свойства, которые выполняются в данной точке или в некоторой окрестности этой точки. Примером локального свойства функции служит свойство функции быть непрерывной в данной точке.
Теорема 17.1. (Арифметические свойства непрерывных функций).
Пусть функции f (x) и g (x) непрерывны в точке х0. Тогда их сумма f (x)+g (x), произведение f (x)g (x) и частное также непрерывны в точке х0 (последняя при g (x) 0 ).
Доказательство. Так как f (x) и g (x) непрерывны в точке х0, то существуют пределы и . Тогда
, где f (x0)+g (x0) – значение функции f (x)+g (x) в точке х0. Это и означает, что сумма непрерывных в точке х0 функций также непрерывна в точке х0. Непрерывность произведения и частного двух функций доказывается аналогично.
Теорема 17.2. (О непрерывности сложной функции).
Пусть функция у = f (x) непрерывна в точке х0, а функция z = g (x) непрерывна в точке y0 = f (x0). Тогда сложная функция z = F (x) = g [f (x)] непрерывна в точке х0.
Доказательство. Функция у=f(x) непрерывна в точке х0, т.е. , т.е. у = f (x) у0 = f (x0) при х х0. Так как z = g (y) непрерывна
в точке у0, то , это и означает, что сложная функция g [f (x)] непрерывна в точке х0.
Пример 17.1. Рассмотрим функцию у = f (x)=U(x)V(x), U(x) >0, U(x), V(x) непрерывны в точке х0: и . Эта функция у = UV сложная, она одновременно показательная и степенная. По теореме 17.2 эта функция непрерывна в точке х0:
.
Как мы видели (см. п. 16.2), при рассмотрении пределов вида могут возникнуть неопределенности вида 00, или . Методы их вычисления будут рассмотрены ниже.
Функция у = f (x) называется непрерывной слева в точке х0, если f (x0 – 0) = =, и непрерывной справа в точке х0, если f (x0 + 0) = .
17.3. Непрерывность обратной функции.
Функция у=f (x) называется непрерывной в интервале (a,b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Функция у=f (x) называется непрерывной на отрезке [a,b], если она непрерывна в интервале (a,b), непрерывна справа в точке х = а и непрерывна слева в точке х = b.
Теорема 17.3. (О непрерывности обратной функции).
1) Пусть функция у=f (x) монотонно возрастает и непрерывна на отрезке [a,b] с множеством значений E(f) = [A,B], где f (a) = A, f (b) = B. Тогда обратная функция х = (у) монотонно возрастает и непрерывна на отрезке [А,В].
2) Если функция у=f (x) монотонно убывает и непрерывна на отрезке [a,b], то обратная функция х = (у) монотонно убывает и непрерывна на отрезке [А,В], где А = f (b), B = f (a).
Принимает эту теорему без доказательства.
17.4. Непрерывность основных элементарных функций.
1. Постоянная функция у=f (x) =С, где С = const непрерывна на множестве R = , т. к. в каждой точке х0 R (cм. пример 16.1), что и означает непрерывность функции в точке х0 .
2. Функция у=f (x) = х непрерывна на R, т.к. х0 R (см. пример 16.2).
3. Функция у=f (x) = хk , k N непрерывна на R, т.к. х0 R (см. пример 16.6).
4. Многочлен степени п Pn(x) = является
непрерывной функцией на R, т.к. (см. пример 16.7).
5. Дробно-рациональная функция (рациональная дробь) является непрерывной функцией в каждой точке, в которой знаменатель не обращается в ноль. Это следует из теоремы 17.1 и того факта, что числитель Qm(x) рациональной дроби, являясь многочленами, непрерывны всюду на R .
6. Функция у = f (x) = sin x непрерывна на множестве R . Действительно, если х0 – произвольная фиксированная точка, то у = sin (x0 + x) – sin x0 = , где , а функция у = является ограниченной на R . Тогда
как произведение б. м. функции на ограниченную функцию (см. осовные свойства б. м. функций, п. 16.4). Но это и означает непрерывность функции у = sin x в каждой точке числовой оси.
7. Функция у = f (x) = cos x непрерывна на множестве R, т. к. ее можно представить в виде у = cos x = sin и воспользоваться теоремой 17.2 о непрерывности сложной функции; где у = sin x и непрерывны.
8. Функция у = tg x непрерывна всюду на R, кроме точек , п Z. Это следствие того, что tg x = есть отношение двух непрерывных функций, и теоремы 17.1.
9. Функция у = f (x) = arcsin x непрерывна на отрезке [-1;1] по теореме 17.3 о непрерывности обратной функции. Действительно, функция у = sin x монотонно возрастает и непрерывна на отрезке , а множество ее значений есть отрезок [-1;1] (см. рис. 17.2). Поэтому обратная функция у = arcsin x возрастает и непрерывна на отрезке [-1;1].
Аналогично можно показать, что функции у = = arccos x и у = arctg x непрерывны в области своего определения как обратные к у = cos x и у = tg x соответственно.
10. Функция y = ax , a >0 и a 1, непрерывна и монотонна на R: возрастает при a >1 и убывает при 0 < a < 1. Поэтому обратная функция y = loga x монотонна и непрерывна при х > 0.
11. Степенная функция у = f (x) = х , R, непрерывна на множестве (0;+) по теореме о непрерывности сложной функции, т. к. , а функции у = f (t) =at и
и t = (x) = loga x непрерывны.
Итак, мы доказали непрерывность основных элементарных функций.
Напомним, что элементарной мы назвали функцию, образованную из основных элементарных функций и действительных чисел с помощью конечного числа арифметических действий и образования сложной функции. Поэтому из всего вышесказанного вытекает следующий важный вывод: всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.
Отсюда следует, что при нахождении предела элементарной функции в точке, в которой она определена, нужно просто вычислить значение элементарной функции в этой точке.