18.2. Дифференцируемость.

Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке х₀, если ее приращение у в этой точке можно представить в виде

(18.7)

у=А•х+(х)=А•х+α(х)•х

Error: Reference source not found, Error: Reference source not found

где А – некоторое число, α(х) – б.м. при х→0, т.е. α(х)=0, а (х) – б.м. при х→0 более высокого порядка, чем х; т.е. =0.

Связь между дифференцируемостью функции в точке и существованием производной в той же точке дает следующая теорема.

Теорема 18.1. Функция y=f(x) дифференцируема в точке х₀ тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке конечную производную f(x₀).

Доказательство. Необходимость. Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке х₀, т.е. у=А•+α(x)•x. Тогда при х→0 существует предел

= (А+α(х))=А= f(x₀),

т.е. производная в точке х₀ существует и f(x₀)=А.

Достаточность. Пусть существует производная f(x₀), т.е. существует предел =f(x₀). Тогда, согласно теореме 16.4., справедливо представление

=f(x₀)+α(х) или у=f(x₀)х+α(х)•х,

где α(х) - б.м.при х→0. последнее равенство и означает, что функция y=f(x) дифференцируема в точке х₀.

Вывод: для функций одной переменной дифференцируемость и существование производной – понятия равносильные. При этом формулу (18.7) можно записать в виде

у= f(x₀)х+ (х), (18.8)

а операцию нахождения производной называют дифференцированием функции.

Из формулы (18.8) вытекает, что

1) если f(x₀)≠0, то приращение функции у является б. м. первого порядка относительно х→0;

2) если f(x₀)=0, то у= (х), т.е. является б. м. более высокого порядка, чем х→0.

Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции в точке:

если функция y=f(x) дифференцируема в точке х₀, то она и непрерывна в этой точке.

Действительно, если y=f(x) дифференцируема в точке х₀, то ее приращение имеет вид (см. формулу (18.8))

у= f(x₀)х+ α(х)•х=[ f(x₀)+ α(х)]•х

и является б. м. при х→0 (как произведение б. м. функции х→0 на ограниченную в окрестности точки х₀ функцию f(x₀)+α(х), где α(х) – б.м. при х→0). Таким образом, у=0, что равносильно непрерывности функции y=f(x) в точке х₀ (см. п. 17.1).

Замечание. Обратное утверждение не верно. Из непрерывности функции в точке, вообще говоря, не следует ее дифференцируемость в этой точке (см. пример 18.6).

Пример 18.6. y=f(x)= непрерывна на всей числовой оси, включая точку х₀=0. Покажем, что эта функция не имеет производной в точке х₀. Действительно,

у=у(0,х)=-=,

тогда

===+.

это и означает, что функция у= не дифференцируема в точке х₀, хотя и непрерывна в этой точке. Заметим, что у==есть б. м. порядка <1 по отношению к х→0 (см. выводы из теоремы 18.1).

18.3. Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями.

Получим формулы для производных суммы, произведения и частного функций.

Теорема 18.2. Пусть функция y=f(x) и у=g(x) определены в некоторой окрестности точки х₀ и дифференцируемы в самой точке х₀. Тогда их сумма f(x)+g(x), произведение f(x)•g(x) и частное (если f(x₀)≠0) имеют производные в точке х₀, равные соответственно

f(x₀)+g(x₀), f(x₀) g(x₀)+ f(x₀)g(x₀) и ,

т.е.

(f+g) (x₀)= f(x₀)+g(x₀),

(f•g) (x₀)= f(x₀) g(x₀)+ f(x₀)g(x₀),

(x₀)= .

Следствия 18.1. Если функция y=f(x) дифференцируема в точке х₀, а с – постоянная, то

(cf)(x₀)=cf(x₀),

т.е. постоянный множитель можно выносить за знак производной.

Доказательство. Пусть y=f(x) и у=g(x) дифференцируемы в точке х₀, то f=f(x₀)x+α(x)x и g= g(x₀)x+β(x)x. Так как (f+g)=f(x)+g(x)-f(x₀)-g(x₀)=f+g, то приращение суммы функций (f+g)(x)=f(x)+g(x) можно представить в виде

(f+g)=[ f(x₀)+ g(x₀)]x+(x)x,

где (х)=α(x)+β(x) – б. м. при х→0, но это и означает, что

(f+g)(х₀)=f(x₀)+g(x₀).

Аналогично,

(fg)= f(x)g(x)-f(x₀)g(x₀) = f(x)g(x)-f(x₀)g(x)+f(x₀)g(x)-f(x₀)g(x₀) =

= [f(x)-f(x₀)]g(x)+f(x₀)[g(x)-g(x₀)] = f•g(x)+f(x₀)g =

= [f(x₀)x+α(x)x][g(x₀)+(x)]+f(x₀)[g(x₀)+β(x)x] =

= [f(x₀)g(x₀)+f(x₀)g(x₀)]x+[α(x)(g(x₀)+(x)) + f(x₀)β(x)x] =

= [f(x₀)g(x₀)+f(x₀)g(x₀)]x+(x)x,

где (x) и (x)=α(x)•(g(x₀)+(x))+f(x₀)•β(x) – б. м. функции при х→0, но это и означает, что произведение функций (f•g)(x₀)=f(x₀)g(x₀)+f(x₀)g(x₀).

Теорема доказана.

Функция называется дифференцируемой в интервале(a,b), конечном или бесконечном, если она дифференцируема в каждой точке этого интервала.

Пусть функции u=u(x) и v=v(x) дифференцируемы в интервале (a,b). Тогда правилам вычисления производных можно придать следующий вид:

Пример 18.7. y=f (x)= tg x, x ≠ + n, nZ.

у

Правила дифференцирования:

1. (u+v)=u+v,

2...(cu)=c•u,

3. (u•v)=u v+u v,

4. (uvw)=u vw+uv w+uvw,

5. .

 =(tg x)===.

Итак,

.

(tg x)=

Error: Reference source not found