16.6. Односторонние пределы.

Мы дадим определение предела функции в точке в случае, когда функция определена в (двусторонней) окрестности этой точки:

Error: Reference source not found

а аргумент х стремится к х₀ любым способом, в частности, колеблясь около точки х₀.

Дадим определение предела функции в точке в случае, когда функция определена в левой окрестности точки (предел слева) или в правой окрестности (предел справа) рассматриваемой точки:

Error: Reference source not found Error: Reference source not found

Число А называется пределом функции y=f(x) в точке х₀ слева, если для любого >0 существует >0 такое, что для любого х₀(х₀-, х₀), выполняется неравенство |f(x)-A|< (см. рис. 16.5.).

Предел слева обозначается f (x₀-0) и пишут:

f (x₀-0)=f(x)=А,

где x→x₀-0 означает, что х→х₀ и x<x₀.

Число А называется пределом функции f(x) в точке х₀ справа, если для любого числа >0 существует >0 такое, что для любого х₀(х₀, х₀+), выполняется неравенство | f(x)-A |< (см. рис. 16.5.).

Предел слева обозначается f (x₀+0) и пишут:

f (x₀+0)=f(x)=А,

где x→x₀+0 означает, что х→х₀ и x>x₀.

Error: Reference source not found

Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами.

Теорема 16.6. f(x)=А   f(x₀+0), f(x₀-0) и f(x₀-0)=А=f(x₀+0). Другими словами, функция у=f(x) имеет предел в точке х₀, равный А, тогда и только тогда, когда существуют односторонние пределы f(x₀ ± 0) и они равны между собой (см. рис. 16.6.).

Error: Reference source not found

Если х₀=0, то вместо 0-0 пишем -0, а вместо 0+0 пишем +0.

Пример 16.12. Рассмотрим функцию у = f(x)=

Найдем пределы слева и справа в точке х₀ = 0:

Error: Reference source not found f(-0)= f(x)= х² = 0 = f(0),

f(+0)=f(x) = (х+1) = 1 и f(-0) ≠ f(+0),

т.е. в точке х₀ =0 функция предела не имеет (см. рис. 16.17.).

17. Непрерывность функции.

17.1. Непрерывность функции в точке.

Пусть функция у = f (x) определена в некоторой окрестности точки х₀, включая саму точку х₀.

Функция у = f (x) называется непрерывной в точке х₀, если она имеет предел в точке х₀, равный значению функции в этой точке, т.е.

(17.1)

Непрерывность функции у = f (x) в точке х₀ равносильна возможности представить функцию в виде f (x)= f (x₀) +  (x), где  (x) – б. м. функция при х х₀ (см. теорему 16.4).

Дадим еще одно определение непрерывности функции на языке приращения аргумента и приращения функции, имеющее широкое применение при доказательстве непрерывности той или иной функции.

Если задана функция у = f (x), то приращением аргумента x в точке х₀ называется число

Δх= х-х_0,

отсюда х= х₀+ Δх; число Δу= f (x) –f (x₀) = f (x₀+ Δх) – f (x₀) называется приращением функции у = f (x) в точке х₀ , вызванное приращением аргумента Δх (см. рис. 17.1).

Заметим еще раз, что функция у = f (x) зависит от аргумента х, а приращение функции Δу зависит от приращения аргумента Δх.

Предыдущее замечание о непрерывности функции в точке х₀ показывает, что функция у = f (x) непрерывна в точке х₀ тогда и только тогда, когда приращение функции Δу= f (x) –f (x₀) = = f (x₀+ Δх) – f (x₀) в точке х₀ является б. м. при х х_{0 ,} т.е. при Δх= = х-х₀ 0. Итак

( f(x) непрерывна в точке х₀)  (),

другими словами, функция у = f (x) непрерывна в точке х₀, если бесконечно малому приращению аргумента Δх соответствует бесконечно малое приращение функции Δу.

Из определения непрерывности функции в точке вытекает важность этого понятия для вычисления пределов.

Так как , то равенство (17.1) можно записать в виде

, (17.2)

т.е. знак непрерывной функции перестановочен со знаком предела. Это означает, что при нахождении предела непрерывной функции f (x) можно перейти к пределу под знаком функции, т.е. в функцию f (x) вместо аргумента х подставить предельное значение х₀.