15.6. Преобразование графиков функций.

Напомним некоторые методы построения графиков функций с помощью преобразования графиков известных функций.

Пусть дан график функции y = f(x).

1. y = f(x)+b. Параллельный перенос графика функции y = f(x) вдоль оси Оу на b вверх при b>0 и на |b| вниз при b<0. Это равносильно сдвигу оси Ох в противоположную сторону (что гораздо выгоднее, если исходный график сложный).

2. y = f(x-а). Параллельный перенос графика функций y = f(x) вдоль оси Ох на а вправо при а>0 и на |а| влево при а<0. Это равносильно сдвигу оси Оу в противоположную сторону.

3. y = кf(x). Растяжение графика функции y = f(x) вдоль оси Оу при к>1 и растяжение при 0<k<1.

4. y = f(кx). Сжатие графика функции y = f(x) вдоль оси Ох при к>1 и растяжение при 0<k<1 в раз.

5. y = f(-x). Зеркальное отражение графика функции y = f(x) относительно оси Оу.

6. y = -f(x). Зеркальное отражение графика функции y = f(x) относительно оси Ох.

7. y = |f(x)|. Для получения этого графика из графика функции y = f(x), необходимо оставить без изменения участки графика y = f(x), лежащие выше оси Ох, а участки ниже оси Ох зеркально отразить относительно этой оси, т.к. |f(x)| =

8. y = f(|x|). Строим сначала график функции y=f(x) при х0 и отражаем его зеркально относительно оси Оу.

16. Предел функции.

16.1. Определение предела функции в точке.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , за исключением, может быть, самой точки .

Определение 1: Предела функции (по Гейне) Число называется пределом функции в точке (при ), если для любой последовательности допустимых значений аргумента , , сходящийся к , , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А: .

Обозначение: или .

Определение 2 Предела функции (по Коши). Число называется пределом функции в точке (при ), если для любого числа существует число такое, что для всех допустимых значений аргумента , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

На языке кванторов это определение предела функции «на языке » можно записать так:

.

Заметив, что выражает расстояние между числами и , можно сказать, что геометрически означает, что для всех , достаточно близких к , соответствующие значения функции близки к числу А.

Определения 1 и 2 предела функции эквивалентны (примем без доказательства).

Рассмотрим примеры.

Пример 16.1. Постоянная функция имеет предел в каждой точке , равный С. Действительно, для любой последовательности , сходящейся к числу , , соответствующая последовательность значений функций является постоянной, , и сходится к числу С, , т.е. . Последнее равенство показывает, что предел постоянной функции в точке равен значению функции в этой точке.

Пример 16.2. Функция имеет в любой точке предел, равный . Действительно, если последовательность значений функций имеет вид , что и доказывает утверждение. Заметим, что для функции выполняется условие: .

Пример 16.3. Функция с областью определения не имеет предела в точке . Действительно, последовательность , , такова, что и , а последовательность , , такова, что и . Итак, мы построили две сходящиеся к нулю последовательности значений аргумента такие, что соответствующие последовательности значений функции имеют разные пределы. Но это означает, что функция в точке предела не имеет.

Пример 16.4. Функция , имеет в точке предел, равный нулю: .

Действительно, покажем, что

.

Так как , то для из неравенства вытекает неравенство

.

И это доказывает утверждение.

Введем понятие предела функции, когда аргумент стремиться к бесконечности: , , .

Число А называется пределом функции при , если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А.

Обозначение:

Итак,

.

Аналогично определим предел при :

,

.