11.1. Основные понятия.

Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида

(11.1)

содержащая m уравнений с n неизвестными х₁, х₂, …х_n. Числа a_ij, i=1,…,m, j=1,…,n называется коэффициентами системы, где i- номер уравнения, j-номер неизвестной, а числа b₁,…,b_m- свободными членами.

Решение системы (11.1) называется упорядоченный набор чисел (n- мерный арифметический вектор) (х₁º, х₂º, …х_nº), обращающий каждое уравнение системы в верное равенство.

СЛАУ называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Две СЛАУ с одинаковым числом неизвестных называются эквивалентными или равносильными, если множества их решений совпадают.

СЛАУ называется однородной, если все ее свободные члены равны нулю: b₁= b₂=…=b_m=0, и неоднородной в противном случае, т.е. если среди свободных членов есть хотя бы один, отличный от нуля.

Матрицей системы (11.1) называется матрица А, образованная коэффициентами при неизвестных:

А=,

где j-тый столбец образован коэффициентами при неизвестной x_j, j=1,…,n.

Расширенной матрицей системы называется матрица

=. (11.3)

Зная расширенную матрицу системы, мы легко можем восстановить саму систему (11.1).

Матричная форма записи СЛАУ.

Обозначим через = вектор- столбец неизвестных, =- вектор- столбец свободных членов. Тогда систему (11.1) можно записать в матричной форме:

А=. (11.4)

Поясним на примере системы двух уравнений с двумя неизвестными. Рассмотрим систему

(11.5)

А=, =, =, тогда А=, или =, = и, приравнивая соответствующие координаты, получим исходную систему (11.5).

11.2. Методы решения невырожденных слау.

Рассмотрим n уравнений с n неизвестными

(11.6)

или в матричной форме

А=, (11.7)

Где матрица А- квадратная матрица порядка n. Определитель этой матрицы Δ = det A=

называется определителем системы. Если det A≠0, система (11.6) называется невырожденной (матрица системы А- невырожденная матрица).

а) Матричный метод решения системы

Если Δ=det A≠0, то матрица А имеет обратную А^-1. Умножив обе части уравнения (11.7) слева на матрицу А^-1, получим А^-1А=А^-1, т.к. А^-1А=Е, то окончательно получаем

=А^-1

(11.8)

б) Формулы Крамера.

Перепишем равенство (11.8) в виде

=,

или

х₁=(b₁A₁₁+b₂A₂₁+…+b_nA_n1),

х₂=(b₁A₁₂+b₂A₂₂+…+b_nA_n2),

………………………………..

х_n=(b₁A_1n+b₂A_2n+…+b_nA_nn).

Заметим, что

Δ₁== b₁A₁₁+b₂A₂₁+…+b_nA_n1,

Δ₂== b₁A₁₂+b₂A₂₂+…+b_nA_n2,

Δ_п== b₁A_1n+b₂A_2n+…+b_nA_nn.

Окончательно, х₁=, х₂=, …, х_n=.

Формулы Крамера:

х_i=, i=1, 2, …, n

(11.9)

где Δ- определитель системы, а определитель Δ_i, i= 1, …, n получается из определителя Δ заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

Итак, невырожденная система совместна и имеет единственное решение, которое может быть найдено или по формуле (11.8) или по формулам Крамера (11.9).