- •Оглавление
- •Часть 1. Основной тест
- •Раздел 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
- •Раздел 2. Математический анализ функций одной переменной
- •Часть 2. Приложения
- •Предисловие
- •Часть 1. Основной текст.
- •Раздел 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- •1. Определители.
- •1.1. Основные понятия.
- •1.2 Свойства определителей.
- •1.3 Приложение определителей к решению систем линейных уравнений.
- •2. Декартовы координаты на плоскости и в пространстве.
- •2.1 Декартовы координаты на плоскости.
- •2.2 Основные задачи аналитической геометрии на плоскости.
- •2.2.1. Расстояние между двумя точками.
- •2.2.2. Деление отрезка в данном отношении.
- •2.2.3. Площадь треугольника.
- •2.3. Декартовы координаты в пространстве.
- •2.4. Основные задачи аналитической геометрии в пространстве.
- •3. Векторы на плоскости и в пространстве.
- •3.1. Основные понятия.
- •3.2. Линейные операции над векторами.
- •3.3. Базис на плоскости и в пространстве. Координаты вектора в данном базисе.
- •3.4. Проекция вектора на ось.
- •3.5. Ортонормированный базис на плоскости и в пространстве.
- •3.6. Действия над векторами в координатной форме.
- •4. Скалярное произведение векторов.
- •4.1. Определение и свойства скалярного произведения.
- •4.2. Скалярное произведение в координатной форме.
- •4.3. Некоторые приложения скалярного произведения.
- •5. Векторное и смешанное произведения векторов.
- •5.1. Определение векторного произведения.
- •5.2. Свойства векторного произведения
- •5.3. Векторное произведение в координатной форме.
- •5.4. Определение смешанного произведения.
- •5.5. Смешанное произведение в координатной форме.
- •6. Понятие линейного (векторного) пространства.
- •6.1. Определение линейного пространства.
- •6.2. Линейная зависимость
- •6.3. Базис. Координаты. Размерность.
- •6.4. Пространство арифметических векторов Rn.
- •7. Прямая линия на плоскости.
- •7.1. Понятие уравнения линии на плоскости.
- •7.2 Уравнение прямой на плоскости.
- •7.2.1 Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
- •7.2.2. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.
- •7.2.3. Уравнение прямой, проходящей через две точки.
- •7.2.4. Уравнение прямой в отрезках на осях.
- •7.2.4. Общее уравнение прямой.
- •7.2.6. Векторное уравнение прямой.
- •7.2.7. Уравнение прямой с данным вектором нормали.
- •7.2.8. Нормальное уравнение прямой.
- •7.3. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой
- •7.3.1 Угол между прямыми. Условия параллельности и ортогональности.
- •7.3.2. Расстояние от точки до прямой.
- •7.3.3. Точка пересечения двух прямых.
- •7.4. Геометрический смысл линейных неравенств и систем линейных неравенств на плоскости
- •8. Прямая и плоскость в пространстве.
- •8.1. Уравнения плоскости в пространстве.
- •8.1.1. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку ортогонально данному вектору.
- •8.1.2. Уравнение плоскости, проходящей через три точки.
- •8.1.3. Общее уравнение плоскости.
- •8.1.4. Нормальное уравнение плоскости.
- •8.1.5. Расстояние от точки до плоскости.
- •8.1.6. Взаимное расположение двух плоскостей.
- •8.2. Уравнение прямой в пространстве.
- •8.2.1. Векторное уравнение прямой.
- •8.2.2. Параметрические уравнения прямой.
- •8.2.3. Канонические уравнения прямой.
- •8.2.4. Уравнение прямой, проходящей через две точки.
- •8.2.5. Общее уравнение прямой в пространстве.
- •9. Кривые второго порядка на плоскости.
- •9.1. Окружность.
- •9.2. Эллипс
- •Уравнение эллипса со смещенным центром
- •9.3. Гипербола
- •9.4. Парабола.
- •10. Матрицы
- •10.1. Основные понятия
- •10.2. Действия над матрицами.
- •10.2.1. Сложение матриц.
- •10.2.2. Умножение матрицы на число.
- •10.2.3. Умножение матриц.
- •10.3. Квадратные матрицы. Обратная матрица.
- •10.4. Ранг матрицы.
- •11. Система линейных алгебраических уравнений.
- •11.1. Основные понятия.
- •11.2. Методы решения невырожденных слау.
- •11.3. Метод Гаусса решения слау.
- •11.4 Исследование слау: Терема Кронекера-Капелли.
- •11.5. Исследование структуры решения слау.
- •11.5.1. Структура решения однородной системы.
- •11.5.2. Структура решения неоднородной системы.
- •12. Элементы матричного анализа.
- •12.1. Собственные числа и собственные векторы матрицы.
- •12.2. Квадратичные формы в Rn.
- •Раздел 2. Математический анализ функций одной переменной.
- •13. Множества. Действительные числа.
- •13.1 Логическая символика.
- •13.2. Множества. Действия над множествами.
- •13.3. Действительные числа.
- •13.4. Ограниченные и неограниченные числовые множества.
- •13.5. Числовые промежутки. Окрестность точки.
- •13.6. Индуктивные множества. Натуральные числа. Метод математической индукции.
- •14. Предел последовательности.
- •14.1. Понятие числовой последовательности.
- •14.2. Геометрическая прогрессия
- •14.3. Ограниченные и неограниченные последовательности.
- •14.4. Определение предела последовательности.
- •14.5. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства.
- •14.6. Арифметические свойства пределов последовательностей
- •14.7. Предельный переход в неравенствах
- •14.8. Монотонные последовательности.
- •14.9. Число e.
- •15. Функции
- •15.1. Понятия функции.
- •15.2. Основные характеристики поведения функции.
- •15.3. Понятие сложной и обратной функции.
- •15.3.1. Понятие сложной функции.
- •15.3.2. Понятие обратной функции.
- •З аметим, что монотонные функции взаимно однозначны (см. Рис. 15.11):
- •15.4. Основные элементарные функции.
- •15.5. Некоторые важнейшие функциональные зависимости.
- •15.5.6. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции.
- •15.6. Преобразование графиков функций.
- •16. Предел функции.
- •16.1. Определение предела функции в точке.
- •16.2. Основные теоремы о пределах функций.
- •Четвертый замечательный предел
- •Основные свойства б.М. Функций.
- •16.5 Сравнение б. М. И б. Б. Функций.
- •16.6. Односторонние пределы.
- •17. Непрерывность функции.
- •17.1. Непрерывность функции в точке.
- •17.2. Локальные свойства непрерывных функций.
- •17.3. Непрерывность обратной функции.
- •17.4. Непрерывность основных элементарных функций.
- •17.5. Точки разрыва функции и их классификация.
- •17.6. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
- •18. Производная.
- •18.1. Понятие производной.
- •18.2. Дифференцируемость.
- •18.3. Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями.
- •18.4. Производная сложной и обратной функции.
- •18.4.1. Производная сложной функции
- •18.4.2. Производная обратной функции.
- •18.5. Таблица производных
- •18.6. Логарифмическая производная
- •18.7. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной и нормали к кривой.
- •18.8. Односторонние и бесконечные производные.
- •18.9 Дифференциал.
- •18.10. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •18.11. Параметрическое задание функции и ее дифференцирование.
- •18.12. Неявное задание функции и ее дифференцирование.
- •18.13. Основные теоремы дифференциального исчисления.
- •18.14. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.
- •18.15. Формула Тейлора
- •18.15.1. Формула Тейлора для многочлена.
- •18.15.2. Формула Тейлора для произвольной функции.
- •18.15.3. Формула Маклорена некоторых элементарных функций.
- •18.15.4. Некоторые приложения формулы Маклорена.
- •19. Применение производных к исследованию функций и построению графиков.
- •19.1. Монотонность: убывание и возрастание.
- •19.2. Экстремумы: максимумы и минимумы.
- •19.3. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
- •19.4. Выпуклость вогнутость. Точки перегиба.
- •19.5. Асимптоты графика функции.
- •19.6. План полного исследования функции и построения ее графика.
17.6. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
Приведем ряд основных свойств функций, непрерывных на отрезке (называемых глобальными, в отличие от локальных, рассматриваемых в п. 17.2).
Теорема 17.4. (О сохранении знака непрерывной функции).
Пусть функция y = f (x) непрерывна в точке х0 и f (x0) 0. Тогда существует такая -окрестность точки х0 , что для всех х функция f (x) имеет тот же знак, что и f (x0) (см. рис. 17.9).
Доказательство. Пусть, для определенности, f (x0) >0. Т.к. f (x) непрерывна в точке х0 , т.е. , то
0 0 х: , или f (x0) - f (x) f (x0) + .
Для = получим: f (x) > f (x0) - = >0 для всех х . Аналогично доказывается для случая, когда f (x0) 0.
Теорема 17.5. (Первая теорема Больцано – Коши о нулях функции).
Пусть функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a,b] и на концах отрезка принимает значения разных знаков: f (a) f (b) < 0. Тогда существует точка с (a,b) такая, что f (с) = 0 .
Доказательство теоремы опустим. Приведем простой геометрический смысл этой теоремы: непрерывная кривая (график непрерывной функции) при переходе с одной полуплоскости в другую обязательно пересечет ось Ох (см. рис. 17.10).
Теорема 17.6. (Вторая теорема Больцано – Коши о промежуточном значении).
Пусть функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a,b], причем f (a) =А , f (b) = В. Пусть с –любое число, заключенное между А и В. Тогда существует точка с [a,b] такая, что f (с) = с.
Доказательство. Пусть для определенности А < В и А < C < В (см. рис. 17.11).Тогда функция y = (x) = f (x) - C непрерывна на отрезке [a,b] и на его концах принимает значения разных знаков: (а) = f (а) – C = А – C < 0, (b) = f (b) – C = = B – C > 0. По теореме 17.5 существует точка с (a,b) такая, что (с) = f (с) - C = 0, т.е. f (с)= C. Другими словами, непрерывная функция при переходе от одного знака к другому принимает и все промежуточные значения (графически это означает, что прямая y = C обязательно пересечет график непрерывной функции, как это изображено на рис. 17.11).
Напомним, что непрерывная в точке х0 функция y = f (x), ограничена в некоторой окрестности этой точки (ограниченность функции, имеющей предел, теорема 16.1). Для функций, непрерывных на отрезке, справедлива следующая теорема.
Теорема 17.7.(Первая теорема Вейерштрасса).
Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a,b], то она ограничена на этом отрезке, т.е. существуют числа т и М такие, что т < f (x) < М для всех x [a,b].
Примем теорему без доказательства.
Если точная верхняя и точная нижняя границы множества значений функции сами являются значениями функции, то мы говорим, что функция достигает своих точных границ. Пусть, как и прежде, и – соответственно точная нижняя и точная верхняя границы.
Теорема 17.8. (Вторая теорема Вейерштрасса о достижении наибольшего и наименьшего значений).
Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a,b], то она достигает на этом отрезке своих точных верхней и нижней границ, которые являются соответственно наибольшим и наименьшим значениями функции на отрезке [a,b], т.е. х1, х2 [a,b] такие, что
f (x1) = , f (x2) = .
Доказательство. Согласно теореме 17.7 функция y = f (x) будет непрерывна, ограничена на отрезке [a,b], поэтому существуют точные верхняя и нижняя границы множества значений функции (см. теорему 13.1). Обозначим их, как и раньше, и соответственно. Ясно, что для каждого значения аргумента x [a,b] выполняется неравенство: тf f (x) Мf .
Покажем, что функция y = f (x) достигает Мf , т. е. существует точка x0 [a,b] такая, что f (x0) = Мf . Доказательство проведем "от противного". Пусть ни в одной точке отрезка [a,b] функция y = f (x) не принимает значения, равного Мf . Тогда f (x) < М x [a,b].
Рассмотрим на отрезке [a,b] непрерывную и положительную функцию . По теореме 17.7 функция y = F (x) ограничена на отрезке [a,b], т. е. 0: F (x) x [a,b], или , отсюда следует, что f (x) Мf -.
Это означает, что число Мf - является верхней границей множества значений функции y=f (x). Но это противоречит тому, что Мf – точная верхняя граница этого множества, т. е. наименьший элемент во множестве всех верхних границ. Полученное противоречие доказывает, что на отрезке [a,b] существует точка x0 [a,b] такая, что f (x0) = Мf .
Аналогично доказывается, что x1 [a,b]: f (x1) = тf . Доказательство полностью закончено.
Следствие 17.1. Непрерывная функция y = f (x) отображает отрезок [a,b] на отрезок [тf ;Мf], где тf и Мf соответственно точная нижняя и точная верхняя границы множества значений функции.
Это сразу вытекает из вышеприведенной теоремы 17.8 и теоремы 17.6 о промежуточном значении.