3.3. Базис на плоскости и в пространстве. Координаты вектора в данном базисе.

Теорема 1. (О базисе на плоскости). Любые два нулевых неколлинеарных вектора и на плоскости образуют базис, т. е. любой третий вектор плоскости может быть единственным образом представлен как линейная комбинация векторов и :

(3.1)

Доказательство: Приложим все три вектора , , к одному началу 0. Построим параллелограмм, две стороны которого лежат на прямых, проходящих через векторы и , а вектор является диагональю этого параллелограмма (см. рис. 3.10):

Тогда , где ₁||, поэтому ₁=α, а ₁||, поэтому ₁=β. Следовательно = α+ β.

Из приведенного доказательства ясно, что числа α и β определяются единственным образом.

Определение. Числа α и β в разложении (3.1) вектора называются координатами вектора в базисе и .

Определение. Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. В противном случае они называются некомпланарными.

Теорема 2. (О базисе в пространстве). Любые три нулевых вектора , , образуют базис в пространстве; т.е. любой четвертый вектор пространства может быть единственным образом представлен как линейная комбинация векторов , , :

=α+β+γ (3.2)

Доказательство: Приложим векторы , , и к одному началу 0. Проведем через конец вектора плоскости, параллельные плоскостям, определяемым парами векторов , , (см. рис. 3.11).

В возникшем параллелепипеде вектор является диагональю, поэтому = ₁+₁+₁=α+β+γ.

Из построений ясно, что числа α, β, γ, называемые координатами вектор в базисе из векторов , , , определяются единственным образом.

Заметим, что равенство (3.2) называется разложением вектора по базису из векторов , , .

Равенство векторов в координатной форме: векторы равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты в данном базисе.

3.4. Проекция вектора на ось.

Пусть в пространстве задана числовая ось u, т.е. прямая с выбранным на ней направлением и масштабом.

Проекция точки М на ось u – это основание М₁ перпендикуляра ММ₁, опущенного из

точки М на ось. Для построения точки М₁ проведем через точку М плоскость перпендикулярно оси, тогда точка М₁ есть точка их пересечения (см. рис. 3.12).

Рассмотрим произвольный вектор =. Обозначим ₁=₁ вектор, где А₁ и В₁ проекции на ось u соответственно начала А и конца В вектора (см. рис. 3.13).

П роекцией вектора на ось u называется число |₁|, если вектор ₁ и ось u сонаправлены и число -|₁|, ели вектор ₁ и ось u противоположно направлены.

Проекция вектора на ось u обозначается так: ПР_u . Иными словами:

ПР_u =

Обозначим через φ угол между вектором и осью u (см. рис. 3.14), ясно, что 0≤φ≤π. Тогда ПР_u=.

Заметим что ПР_u>0  0≤φ<

и ПР_u<0,  0≤φ<.

Основные свойства проекций векторов на ось.

1. Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций этих векторов на ту же ось (см. рис. 3.15):

ПР_u(+)=ПР_u+ ПР_u

Из рис. 3.15 ясно, что ПР_u(+)=|₁|+|₁|= ПР_u+ + ПР_u

2. При уменьшении вектора на число λ его проекция на ось также умножается на число λ:

ПР_u(λ)=λ ПР_u.

Действительно, если λ>0, то ПР_u(λ) = |λ| = λ|| = λ ПР_u.

Если λ<0, то (см. рис. 3.16) ПР_u(λ)=|λ|•= -λ||(-)=λ||= λ ПР_u.

Из свойств 1 и 2 вытекает, что

ПР_u(α+β)=α ПР_u+β ПР_u,

т.е. проекция линейной комбинации векторов равна соответствующей линейной комбинации их проекций.