- •Оглавление
- •Часть 1. Основной тест
- •Раздел 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
- •Раздел 2. Математический анализ функций одной переменной
- •Часть 2. Приложения
- •Предисловие
- •Часть 1. Основной текст.
- •Раздел 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- •1. Определители.
- •1.1. Основные понятия.
- •1.2 Свойства определителей.
- •1.3 Приложение определителей к решению систем линейных уравнений.
- •2. Декартовы координаты на плоскости и в пространстве.
- •2.1 Декартовы координаты на плоскости.
- •2.2 Основные задачи аналитической геометрии на плоскости.
- •2.2.1. Расстояние между двумя точками.
- •2.2.2. Деление отрезка в данном отношении.
- •2.2.3. Площадь треугольника.
- •2.3. Декартовы координаты в пространстве.
- •2.4. Основные задачи аналитической геометрии в пространстве.
- •3. Векторы на плоскости и в пространстве.
- •3.1. Основные понятия.
- •3.2. Линейные операции над векторами.
- •3.3. Базис на плоскости и в пространстве. Координаты вектора в данном базисе.
- •3.4. Проекция вектора на ось.
- •3.5. Ортонормированный базис на плоскости и в пространстве.
- •3.6. Действия над векторами в координатной форме.
- •4. Скалярное произведение векторов.
- •4.1. Определение и свойства скалярного произведения.
- •4.2. Скалярное произведение в координатной форме.
- •4.3. Некоторые приложения скалярного произведения.
- •5. Векторное и смешанное произведения векторов.
- •5.1. Определение векторного произведения.
- •5.2. Свойства векторного произведения
- •5.3. Векторное произведение в координатной форме.
- •5.4. Определение смешанного произведения.
- •5.5. Смешанное произведение в координатной форме.
- •6. Понятие линейного (векторного) пространства.
- •6.1. Определение линейного пространства.
- •6.2. Линейная зависимость
- •6.3. Базис. Координаты. Размерность.
- •6.4. Пространство арифметических векторов Rn.
- •7. Прямая линия на плоскости.
- •7.1. Понятие уравнения линии на плоскости.
- •7.2 Уравнение прямой на плоскости.
- •7.2.1 Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
- •7.2.2. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.
- •7.2.3. Уравнение прямой, проходящей через две точки.
- •7.2.4. Уравнение прямой в отрезках на осях.
- •7.2.4. Общее уравнение прямой.
- •7.2.6. Векторное уравнение прямой.
- •7.2.7. Уравнение прямой с данным вектором нормали.
- •7.2.8. Нормальное уравнение прямой.
- •7.3. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой
- •7.3.1 Угол между прямыми. Условия параллельности и ортогональности.
- •7.3.2. Расстояние от точки до прямой.
- •7.3.3. Точка пересечения двух прямых.
- •7.4. Геометрический смысл линейных неравенств и систем линейных неравенств на плоскости
- •8. Прямая и плоскость в пространстве.
- •8.1. Уравнения плоскости в пространстве.
- •8.1.1. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку ортогонально данному вектору.
- •8.1.2. Уравнение плоскости, проходящей через три точки.
- •8.1.3. Общее уравнение плоскости.
- •8.1.4. Нормальное уравнение плоскости.
- •8.1.5. Расстояние от точки до плоскости.
- •8.1.6. Взаимное расположение двух плоскостей.
- •8.2. Уравнение прямой в пространстве.
- •8.2.1. Векторное уравнение прямой.
- •8.2.2. Параметрические уравнения прямой.
- •8.2.3. Канонические уравнения прямой.
- •8.2.4. Уравнение прямой, проходящей через две точки.
- •8.2.5. Общее уравнение прямой в пространстве.
- •9. Кривые второго порядка на плоскости.
- •9.1. Окружность.
- •9.2. Эллипс
- •Уравнение эллипса со смещенным центром
- •9.3. Гипербола
- •9.4. Парабола.
- •10. Матрицы
- •10.1. Основные понятия
- •10.2. Действия над матрицами.
- •10.2.1. Сложение матриц.
- •10.2.2. Умножение матрицы на число.
- •10.2.3. Умножение матриц.
- •10.3. Квадратные матрицы. Обратная матрица.
- •10.4. Ранг матрицы.
- •11. Система линейных алгебраических уравнений.
- •11.1. Основные понятия.
- •11.2. Методы решения невырожденных слау.
- •11.3. Метод Гаусса решения слау.
- •11.4 Исследование слау: Терема Кронекера-Капелли.
- •11.5. Исследование структуры решения слау.
- •11.5.1. Структура решения однородной системы.
- •11.5.2. Структура решения неоднородной системы.
- •12. Элементы матричного анализа.
- •12.1. Собственные числа и собственные векторы матрицы.
- •12.2. Квадратичные формы в Rn.
- •Раздел 2. Математический анализ функций одной переменной.
- •13. Множества. Действительные числа.
- •13.1 Логическая символика.
- •13.2. Множества. Действия над множествами.
- •13.3. Действительные числа.
- •13.4. Ограниченные и неограниченные числовые множества.
- •13.5. Числовые промежутки. Окрестность точки.
- •13.6. Индуктивные множества. Натуральные числа. Метод математической индукции.
- •14. Предел последовательности.
- •14.1. Понятие числовой последовательности.
- •14.2. Геометрическая прогрессия
- •14.3. Ограниченные и неограниченные последовательности.
- •14.4. Определение предела последовательности.
- •14.5. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства.
- •14.6. Арифметические свойства пределов последовательностей
- •14.7. Предельный переход в неравенствах
- •14.8. Монотонные последовательности.
- •14.9. Число e.
- •15. Функции
- •15.1. Понятия функции.
- •15.2. Основные характеристики поведения функции.
- •15.3. Понятие сложной и обратной функции.
- •15.3.1. Понятие сложной функции.
- •15.3.2. Понятие обратной функции.
- •З аметим, что монотонные функции взаимно однозначны (см. Рис. 15.11):
- •15.4. Основные элементарные функции.
- •15.5. Некоторые важнейшие функциональные зависимости.
- •15.5.6. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции.
- •15.6. Преобразование графиков функций.
- •16. Предел функции.
- •16.1. Определение предела функции в точке.
- •16.2. Основные теоремы о пределах функций.
- •Четвертый замечательный предел
- •Основные свойства б.М. Функций.
- •16.5 Сравнение б. М. И б. Б. Функций.
- •16.6. Односторонние пределы.
- •17. Непрерывность функции.
- •17.1. Непрерывность функции в точке.
- •17.2. Локальные свойства непрерывных функций.
- •17.3. Непрерывность обратной функции.
- •17.4. Непрерывность основных элементарных функций.
- •17.5. Точки разрыва функции и их классификация.
- •17.6. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
- •18. Производная.
- •18.1. Понятие производной.
- •18.2. Дифференцируемость.
- •18.3. Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями.
- •18.4. Производная сложной и обратной функции.
- •18.4.1. Производная сложной функции
- •18.4.2. Производная обратной функции.
- •18.5. Таблица производных
- •18.6. Логарифмическая производная
- •18.7. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной и нормали к кривой.
- •18.8. Односторонние и бесконечные производные.
- •18.9 Дифференциал.
- •18.10. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •18.11. Параметрическое задание функции и ее дифференцирование.
- •18.12. Неявное задание функции и ее дифференцирование.
- •18.13. Основные теоремы дифференциального исчисления.
- •18.14. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.
- •18.15. Формула Тейлора
- •18.15.1. Формула Тейлора для многочлена.
- •18.15.2. Формула Тейлора для произвольной функции.
- •18.15.3. Формула Маклорена некоторых элементарных функций.
- •18.15.4. Некоторые приложения формулы Маклорена.
- •19. Применение производных к исследованию функций и построению графиков.
- •19.1. Монотонность: убывание и возрастание.
- •19.2. Экстремумы: максимумы и минимумы.
- •19.3. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
- •19.4. Выпуклость вогнутость. Точки перегиба.
- •19.5. Асимптоты графика функции.
- •19.6. План полного исследования функции и построения ее графика.
18.13. Основные теоремы дифференциального исчисления.
Теорема 18.3 (Теорема Ферма). Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 и принимает в этой точке наибольшее или наименьшее значение. Тогда, если в точке x0 существует производная, то она равна нулю, т. е. f (x0) = 0.
Доказательство. Пусть для определенности функция y = f(x) в точке x0 принимает наибольшее значение, т. е. f(x) f(x0) для любого x (х0 - , х0 -) (см. рис. 18.17). Ясно, что
у = f (x) – f (x0) 0 для любого x (х0 - , х0 -).
Если x > x0 , т. е. x = x- x0 >0, то и, следовательно, . f (x0) = = 0.
Если x < 0 , т. е. x < 0, то и, следовательно,
f (x0) = = 0.
Но это возможно только тогда, когда f (x0) = 0. Аналогично рассматривается случай, когда в точке x0 функция y = f(x) имеет наименьшее значение (у 0). Доказательство теоремы Ферма закончено.
Геометрический смысл теоремы Ферма: если в точке x0 дифференцируемая функцияy = f (x) имеет наибольшее (наименьшее) значение, то в точке (x0 , f (x0)) касательная к графику функции y = f (x) параллельна оси Ох, т. е. горизонтальна (см. рис. 18.17).
Теорема 18.4 (Теорема Ролля). Пусть функция y = f(x): 1) непрерывна на отрезке [a , b];
2) дифференцируема в каждой точке интервала (a , b); 3) f(а) = f(b), т. е. на концах отрезка принимает равные значения. Тогда существует хотя бы одна такая точка с (a , b), что . f (с) = 0.
Доказательство. Функция, непрерывная на отрезке, принимает наибольшее М и наименьшее т значения, т. е. существуют точки x1 , x2 [a , b] такие, что f(x1) = т и f(x2) = М и выполняются неравенства
т f(x0) М x [a , b].
Возможны два случая: 1) т = М ; 2) т < М . 1) В этом случае f(x) = т = М = const. Поэтому . f (x) = 0 в каждой точке интервала (a, b). В качестве точки с можно взять любую точку интервала (a, b). 2) В этом случае (т < М), учитывая, что f(а) = f(b), либо x1 (a , b) , либо x2 (a , b), т. е. одно из значений т или М принимается внутри интервала (a , b). Таким образом, существует точка с (a , b), в которой функция y = f (x) принимает наибольшее или наименьшее значение, и по теореме Ферма f (с) = 0.
Доказательство закончено.
Геометрически теорема Ролля означает, что у графика непрерывной на отрезке и дифференцируемой внутри него функции, принимающей на его концах одинаковые значения, существует точка, в которой касательная параллельна оси Ох (см. рис. 18.18).
И з теоремы Ролля вытекает еще один важный вывод.
Напомним, что нулем функции y = f (x) называется точка с такая, что f (с) = 0. Пусть функция y = f (x) удовлетворяет условиям теоремы Ролля, тогда между двумя нулями функции y = f (x) всегда лежит хотя бы один нуль ее производной: f (с) = 0, с (x1 , x2) (см. рис. 18.19).
Теорема 18.5 (Теорема Лагранжа о конечном приращении). Пусть функция y = f(x): 1) непрерывна на отрезке [a , b]; 2) дифференцируема в каждой точке интервала (a , b); Тогда существует хотя бы одна такая точка с (a , b), что
или f (b) – f (а) = f (с) (b - a) (18.33)
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию F(x) = f(x) - (x), которая непрерывна на отрезке [a , b] и дифференцируема в интервале (a , b) при любом выборе числа , причем F (x) = f (x) - . Выберем так, чтобы F(а) = F(b), т. е. чтобы f (а) - a = f (b) - b. Отсюда получим . Тогда для функции F(x) выполняются все условия теоремы Ролля. Поэтому существует хотя бы одна точка с (a , b) такая, что F (с) = 0, т. е. f (с) - = 0 и f (с) = . Окончательно получаем
Геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в следующем. Пусть А(а, f (а)), В(b, f (b)) – концы графика функции y = f(x), АВ – хорда, соединяющая точки А и В (см. рис 18.20). Отношение есть угловой коэффициент хорды АВ, т. е. тангенс угла наклона хорды к оси Ох, а производная f (с) – угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке
М(с, f (с)).
Таким образом, теорема Лагранжа показывает, что в интервале (a , b) существует точка с, в которой касательная к графику параллельна хорде АВ.
Следствие 1. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a , b] и в интервале (a , b) имеет производную, равную нулю, f (с) = 0 x (a , b), то функция постоянна на отрезке [a , b]: f(x) = с = const.
Доказательство. Выберем произвольно точки x1, x2 [a , b], x1 < x2. Тогда на отрезке [x1, x2] [a , b] функция y = f(x) удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа, поэтому существует точка с (x1, x2) такая, что f (x2) – f (x1) = f (с) (x2 - x1). По условию, f (х) = 0 на (а,b), в частности f (с) = 0. Поэтому f (x2) – f (x1) = 0 и f (x2) = f (x1) для любых x1, x2 [a , b]. Это и означает, что функция y = f(x) постоянна на отрезке [a , b].
Следствие 2. Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a , b] и дифференцируемы в интервале (a , b). Если они имеют равные производные f (x) = g (x) для всех х (a , b), то эти функции отличаются лишь на константу:
f(x) = g(x) + С, (18.34)
где С – константа.
Доказательство. Функция F(x) = f(x) - g(x) удовлетворяет условиям следствия 1 и F (x) = = f (x) - g (x) = 0 х (a , b). Поэтому F(x) = С = const, т. е. f(с) - g(с) = С.
Замечание. Рассмотрим приращение у = f(x) - f(x0) функции f(x) в точке x0. По теореме Лагранжа существует такая точка с, лежащая между точками x0 и x, что f(x) - f(x0) = f (с) (x- x0) или у = f (с) х. В таком виде теорему Лагранжа называют теоремой о среднем или формулой конечных приращений.
Теорема 18.6. (Теорема Коши). Пусть функции f(x) и g(x): 1) непрерывны на отрезке [a , b]; 2) дифференцируема в каждой точке интервала (a , b); 3) g (x) 0 в каждой точке интервала (a , b). Тогда существует точка с (a , b) такая, что
(18.35)
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы Лагранжа: вводим вспомогательную функцию F(x) = f(x) - g(x), где выбрано из условия F(а) = F(b), формула (18.35) вытекает теперь из теоремы Ролля (предлагаем читателю восстановить детали доказательства самостоятельно).