- •Оглавление
- •Часть 1. Основной тест
- •Раздел 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
- •Раздел 2. Математический анализ функций одной переменной
- •Часть 2. Приложения
- •Предисловие
- •Часть 1. Основной текст.
- •Раздел 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- •1. Определители.
- •1.1. Основные понятия.
- •1.2 Свойства определителей.
- •1.3 Приложение определителей к решению систем линейных уравнений.
- •2. Декартовы координаты на плоскости и в пространстве.
- •2.1 Декартовы координаты на плоскости.
- •2.2 Основные задачи аналитической геометрии на плоскости.
- •2.2.1. Расстояние между двумя точками.
- •2.2.2. Деление отрезка в данном отношении.
- •2.2.3. Площадь треугольника.
- •2.3. Декартовы координаты в пространстве.
- •2.4. Основные задачи аналитической геометрии в пространстве.
- •3. Векторы на плоскости и в пространстве.
- •3.1. Основные понятия.
- •3.2. Линейные операции над векторами.
- •3.3. Базис на плоскости и в пространстве. Координаты вектора в данном базисе.
- •3.4. Проекция вектора на ось.
- •3.5. Ортонормированный базис на плоскости и в пространстве.
- •3.6. Действия над векторами в координатной форме.
- •4. Скалярное произведение векторов.
- •4.1. Определение и свойства скалярного произведения.
- •4.2. Скалярное произведение в координатной форме.
- •4.3. Некоторые приложения скалярного произведения.
- •5. Векторное и смешанное произведения векторов.
- •5.1. Определение векторного произведения.
- •5.2. Свойства векторного произведения
- •5.3. Векторное произведение в координатной форме.
- •5.4. Определение смешанного произведения.
- •5.5. Смешанное произведение в координатной форме.
- •6. Понятие линейного (векторного) пространства.
- •6.1. Определение линейного пространства.
- •6.2. Линейная зависимость
- •6.3. Базис. Координаты. Размерность.
- •6.4. Пространство арифметических векторов Rn.
- •7. Прямая линия на плоскости.
- •7.1. Понятие уравнения линии на плоскости.
- •7.2 Уравнение прямой на плоскости.
- •7.2.1 Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
- •7.2.2. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.
- •7.2.3. Уравнение прямой, проходящей через две точки.
- •7.2.4. Уравнение прямой в отрезках на осях.
- •7.2.4. Общее уравнение прямой.
- •7.2.6. Векторное уравнение прямой.
- •7.2.7. Уравнение прямой с данным вектором нормали.
- •7.2.8. Нормальное уравнение прямой.
- •7.3. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой
- •7.3.1 Угол между прямыми. Условия параллельности и ортогональности.
- •7.3.2. Расстояние от точки до прямой.
- •7.3.3. Точка пересечения двух прямых.
- •7.4. Геометрический смысл линейных неравенств и систем линейных неравенств на плоскости
- •8. Прямая и плоскость в пространстве.
- •8.1. Уравнения плоскости в пространстве.
- •8.1.1. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку ортогонально данному вектору.
- •8.1.2. Уравнение плоскости, проходящей через три точки.
- •8.1.3. Общее уравнение плоскости.
- •8.1.4. Нормальное уравнение плоскости.
- •8.1.5. Расстояние от точки до плоскости.
- •8.1.6. Взаимное расположение двух плоскостей.
- •8.2. Уравнение прямой в пространстве.
- •8.2.1. Векторное уравнение прямой.
- •8.2.2. Параметрические уравнения прямой.
- •8.2.3. Канонические уравнения прямой.
- •8.2.4. Уравнение прямой, проходящей через две точки.
- •8.2.5. Общее уравнение прямой в пространстве.
- •9. Кривые второго порядка на плоскости.
- •9.1. Окружность.
- •9.2. Эллипс
- •Уравнение эллипса со смещенным центром
- •9.3. Гипербола
- •9.4. Парабола.
- •10. Матрицы
- •10.1. Основные понятия
- •10.2. Действия над матрицами.
- •10.2.1. Сложение матриц.
- •10.2.2. Умножение матрицы на число.
- •10.2.3. Умножение матриц.
- •10.3. Квадратные матрицы. Обратная матрица.
- •10.4. Ранг матрицы.
- •11. Система линейных алгебраических уравнений.
- •11.1. Основные понятия.
- •11.2. Методы решения невырожденных слау.
- •11.3. Метод Гаусса решения слау.
- •11.4 Исследование слау: Терема Кронекера-Капелли.
- •11.5. Исследование структуры решения слау.
- •11.5.1. Структура решения однородной системы.
- •11.5.2. Структура решения неоднородной системы.
- •12. Элементы матричного анализа.
- •12.1. Собственные числа и собственные векторы матрицы.
- •12.2. Квадратичные формы в Rn.
- •Раздел 2. Математический анализ функций одной переменной.
- •13. Множества. Действительные числа.
- •13.1 Логическая символика.
- •13.2. Множества. Действия над множествами.
- •13.3. Действительные числа.
- •13.4. Ограниченные и неограниченные числовые множества.
- •13.5. Числовые промежутки. Окрестность точки.
- •13.6. Индуктивные множества. Натуральные числа. Метод математической индукции.
- •14. Предел последовательности.
- •14.1. Понятие числовой последовательности.
- •14.2. Геометрическая прогрессия
- •14.3. Ограниченные и неограниченные последовательности.
- •14.4. Определение предела последовательности.
- •14.5. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства.
- •14.6. Арифметические свойства пределов последовательностей
- •14.7. Предельный переход в неравенствах
- •14.8. Монотонные последовательности.
- •14.9. Число e.
- •15. Функции
- •15.1. Понятия функции.
- •15.2. Основные характеристики поведения функции.
- •15.3. Понятие сложной и обратной функции.
- •15.3.1. Понятие сложной функции.
- •15.3.2. Понятие обратной функции.
- •З аметим, что монотонные функции взаимно однозначны (см. Рис. 15.11):
- •15.4. Основные элементарные функции.
- •15.5. Некоторые важнейшие функциональные зависимости.
- •15.5.6. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции.
- •15.6. Преобразование графиков функций.
- •16. Предел функции.
- •16.1. Определение предела функции в точке.
- •16.2. Основные теоремы о пределах функций.
- •Четвертый замечательный предел
- •Основные свойства б.М. Функций.
- •16.5 Сравнение б. М. И б. Б. Функций.
- •16.6. Односторонние пределы.
- •17. Непрерывность функции.
- •17.1. Непрерывность функции в точке.
- •17.2. Локальные свойства непрерывных функций.
- •17.3. Непрерывность обратной функции.
- •17.4. Непрерывность основных элементарных функций.
- •17.5. Точки разрыва функции и их классификация.
- •17.6. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
- •18. Производная.
- •18.1. Понятие производной.
- •18.2. Дифференцируемость.
- •18.3. Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями.
- •18.4. Производная сложной и обратной функции.
- •18.4.1. Производная сложной функции
- •18.4.2. Производная обратной функции.
- •18.5. Таблица производных
- •18.6. Логарифмическая производная
- •18.7. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной и нормали к кривой.
- •18.8. Односторонние и бесконечные производные.
- •18.9 Дифференциал.
- •18.10. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •18.11. Параметрическое задание функции и ее дифференцирование.
- •18.12. Неявное задание функции и ее дифференцирование.
- •18.13. Основные теоремы дифференциального исчисления.
- •18.14. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.
- •18.15. Формула Тейлора
- •18.15.1. Формула Тейлора для многочлена.
- •18.15.2. Формула Тейлора для произвольной функции.
- •18.15.3. Формула Маклорена некоторых элементарных функций.
- •18.15.4. Некоторые приложения формулы Маклорена.
- •19. Применение производных к исследованию функций и построению графиков.
- •19.1. Монотонность: убывание и возрастание.
- •19.2. Экстремумы: максимумы и минимумы.
- •19.3. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
- •19.4. Выпуклость вогнутость. Точки перегиба.
- •19.5. Асимптоты графика функции.
- •19.6. План полного исследования функции и построения ее графика.
14.5. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства.
Последовательность называется бесконечно малой (б.м.), если αn=0, т.е. если ε>0 n0 n>n0 |αn|< ε.
Последовательность {An} называется бесконечно большой (б.б.), если An, т.е. если А>0 n0 n>n0 |An|>A.
Фактически мы дали сейчас определение бесконечного предела последовательности. Аналогично можно дать определение бесконечного предела определенного знака:
.
Пример 14.8. Как показывает пример 14.3, последовательность xn=, nN, – б. м., т.к. = 0.
Последовательность βп = n, nN, – б.б., это вытекает непосредственно из принципа Архимеда: βn=+.
Свойства б.м. б.б. последовательностей:
-
Сумма двух б.м. последовательностей является б.м. последовательностью, т.е. если {αn}- б.м., {βn}- б.м., то их сумма {αn+βn} – б.м. последовательность.
Доказательство. αn– б.м., т.е. ε>0 n1 n>n1 |αn|<; βn– б.м., т.е. ε>0 n2 n>n2 |βn|<. Положим n0=max {n1, n2}, тогда для всех n>n0 выполняется оба неравенства одновременно, поэтому
|αn+βn|≤|αn|+|βn|<+=ε.
Итак, ε>0 n0 n>n0 |αn+βn|<ε, т.е. (αn+βn)=0, а последовательность {αn+βn} является б.м.
Из этого свойства ясно, что сумма конечного числа б.м. последовательностей является б.м. последовательностью.
-
Произведение б.м. последовательности на ограниченную последовательность является б.м., т.е. если {αn} – б.м., {xn} – ограниченная последовательности, то {αn•xn}– б.м. последовательность.
Доказательство. Последовательность {xn} ограничена, это означает, что существует число М>0 такое, что |xn|≤M nN. Выберем произвольное число ε>0 и положим ε1=. Так как αn – б.м. последовательность, то для ε1 n0 n>n0 | αn |< ε1. Тогда
|αn•xn|=|αn|•|xn|< ε1•M=•M=ε.
Таким образом, ε>0 n0 n>n0 |αnxn|<ε. т.е. последовательность {αnxn}– б.м.
Следствия. 1) Если{αn}– б.м. последовательность, с=const (постоянная), то {cαn} – б.м. последовательность (произведение б.м. последовательности на константу является б.м. последовательностью).
2) {αn}, {βn}– б.м. последовательности, тогда {αnβn}– б.м. последовательность (произведение двух или конечного числа б.м. последовательностей является б.м. последовательностью).
-
Связь б.м. и б.б. последовательностей: обратная к б.м. последовательности является б.б. последовательность и наоборот, т.е.
{αn}- б.м. и αn ≠0 n => - б.б.,
{βn}- б.б. и βn ≠0 n => - б.м.
Доказательство. Пусть αn– б.м. и βn=, и пусть М>0. Так как последовательность αn– б.м., то для числа ε=>0 n0 n>n0 |αn|<ε = , или
|βn| = >=M,
но это и означает, что βn = , т.е. является б.б.
Теорема 14.2. Последовательность {xn} имеет своим пределом число а: xn = а, тогда и только тогда, когда xn = а + αn, где {αn} – б.м. последовательность, т.е.
xn=а (xn= a + αn, где αn– б.м.).
Доказательство. Необходимость. Если xn = a, то ε>0 n0 n>n0 |xn - a| < ε. Положим αn = xn - a, тогда xn= a + αn и αn – б. м.. Действительно, последнее неравенство означает, что ε>0 n0 n>n0 <ε , т.е. αn – б. м.
Обратно (достаточность). Пусть последовательность {xn} такова, что существует такое число a, что xn можно представить в виде xn= a + αn , где {αn} – б.м. Так как {αn} – б. м., то ε>0 n0 n>n0 , но это и означает, что xn = a.