18.15.4. Некоторые приложения формулы Маклорена.

1. Вычисление числа е.

Запишем формулу Маклорена функции у = е^х с остаточным членом в форме Лагранжа

е^х = 1+.

Положив х =1, получим

е^х = 1+ 1+,

где с  (0;1), а погрешность | R_n(x)| = ||•| R_n(x)| ≤ < .

Если требуется вычислить значение с с точностью  = 0,001, то число п определяется из неравенства < 0,001, или (п+1)! > 3000, т. е. п = 6.

Таким образом,

е^х = 1+2,718.

2. Происхождение эквивалентности б. м.

Первый замечательный предел: sin x  x получается из формулы (18.50) отбрасыванием б. м. более высокого порядка, чем х0:

sin x = x +  x .

Далее, из формулы (18.51) получаем

1- cos x =  .

Аналогично получаем

е^х – 1 = x +  x ,

ln (1+х) = x +  x ,

(1+x)^α-1=x +  x.

Приложения формулы Тейлора (Маклорена) покажем на примерах позже.

19. Применение производных к исследованию функций и построению графиков.

19.1. Монотонность: убывание и возрастание.

Напомним данное в пункте 15.2 определение монотонности функции :

возрастания; возрастает в интервале , если ,

убывание; убывает в интервале , если ,

Рис. 19.1. Рис. 19.2.

Теорема 19.1. (Достаточные условия монотонности)

Пусть функция дифференцируема в интервале .

1. Если в каждой точке интервала , то функция возрастает в интервале .

2. Если в каждой точке интервала , то функция убывает в интервале .

Доказательство: Пусть две точки и . Тогда по теореме Лагранжа (см. теорему 18.5) существует точка такая, что

.

Так как , то разность имеет тот же знак, что и . Если в интервале , в частности , то и функция возрастает в интервале . Если в интервале , в частности , то и убывает в интервале .

Теорема доказана.

Вывод: участки возрастания функции находятся из решения неравенства , а участки убывания – из неравенства .

Установленная связь между знаком производной и направлением изменения функции геометрически ясна, если вспомнить, что производная функции в данной точке есть угловой коэффициент касательной к графику функции в этой точке. Знак этого углового коэффициента показывает, наклонена ли касательная вверх или вниз, а с нею идет ли верх (возрастает) или вниз (убывает) и сама кривая (рис. 19.1 и 19.2).

19.2. Экстремумы: максимумы и минимумы.

Особый интерес представляют точки, в которых меняется характер монотонности. Это точки максимума и минимума функции. Дадим необходимые определения.

Точка называется точкой максимума функции , если существует такая - окрестность точки , что для всех из этой окрестности выполняется неравенство (см. рис. 19.3).

Рис. 19.3. Рис. 19.4.

Т очка называется точкой минимума функции , если существует такая - окрестность точки , что для всех из этой окрестности выполняется неравенство (см. рис. 19.4).

Замечание функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимумы и минимумы функции называются экстремумами функции.

Понятие экстремума связано с определенной окрестностью данной точки, т.е. носит локальный характер. Функция может иметь экстремум лишь во внутренней точке области определения.

Из определения следует, что точка - точка максимума (минимума) функции тогда и только тогда, когда для всех из некоторой окрестности точки .

Теорема 19.2. (необходимое условие экстремума). Если функция имеет в точке экстремум и дифференцируема в этой точке, то .

Доказательство: Так как в точке функция имеет экстремум, то существует такая окрестность , в которой значение функции является наибольшим или наименьшим в указанной окрестности. По теореме Ферма (теорема 18.3) тогда .

Теорема доказана.

Точки, в которых , называются стационарными точками функции, в них приращается изменение функции, а касательная к графику в стационарной точке горизонтальна (параллельна оси ) (см. рис. 19.5 и 19.6).

Р ис. 19.5. Рис. 19.6.

Точки, в которых производная не существует или равна нулю (стационарные точки), называются критическими точками функции.

Итак, точки возможного экстремума непрерывной функции следует искать среди ее критических точек.

Как показывает пример функции , точка является ее стационарной точкой, т.к. и , но экстремума в точке функция не имеет (см. рис. 19.6).

Теорема 19.3. (первое достаточное условие экстремума). Если непрерывная функция дифференцируема в некоторой окрестности критической точки и при переходе через нее (слева направо) производная меняет знак с плюса на минус, то - точка максимума; с минуса на плюс, то - точка минимума.

Доказательство: Рассмотрим - окрестность точки . Если для всех и для всех . Тогда функция возрастает слева от точки и убывает справа от точки и убывает справа от точки . Поэтому значение в точке является наибольшим в интервале , т.е. для всех . Это и означает, что - точка максимума функции.

Р ис. 19.7.

Аналогично доказывается и второй случай.

Графическая интерпретация доказательства теоремы 19.3 представлена на рисунке 19.7, а полученный результат изобразим в виде схемы: - точка возможного условного экстремума, тогда

Схема исследования функции на экстремум:

1. найти критические точки функции ;

2. Выбросить из них лишь тепломассообменных, которые являются внутренними точками области определения функции;

3. исследовать знак производной слева и справа от каждой из выбранных критических точек;

4. выбрать точки экстремума и вычислить значения функции в этих точках.

Теорема 19.4. (второе достаточное условие экстремума).

Пусть функция имеет первую производную в окрестности стационарной точки и вторую производную в самой точке , при этом . Тогда

1. если , то - точка минимума функции;

2. если , то - точка максимума функции;

Доказательство: Запишем формулу Тейлора функции в точке . Согласно теореме 18.9. имеем:

.

Учитывая, что - стационарная точка, т.е. , для приращения аргумента в окрестности точки получим

или, отбрасывая б.м. более высокого порядка, чем ,

.

Это означает, что имеет тот же знак, что и , в окрестности точки . Поэтому,

если , то и - точка минимума,

если , то и - точка максимума.