14.6. Арифметические свойства пределов последовательностей

Теорема 14.3. Если последовательность {x_n} сходится и x_n=а, то для любого числа с последовательность {cx_n} также сходится и

сx_n = са =сx_n,

т.е. постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Доказательство. Так как число а является пределом последовательности x_n, то x_n= а + α_n, α_n – б.м. Но тогда сx_n=са + сα_n, где сα_n – б.м. (см. предыдущий пункт). Это означает (см. теорему 14.2), что число са есть предел последовательности {cx_n}.

Теорема 14.4. Если последовательности {x_n} и {y_n} сходятся и x_n= а, y_n= b, то последовательность { x_n + y_n } также сходится и

( x_n + y_n)= a+b = x_n + y_n,

т.е. предел суммы сходящихся последовательностей равен сумме пределов этих последовательностей.

Доказательство. Из условии теоремы вытекает, что x_n = а + α_n и y_n = b+ β_n, где α_n и β_n – б.м. последовательности, тогда

x_n + y_n=(a+b) + (α_n +β_n),

где α_n+β_n – б.м. Это и означает, см. теорему 14.2, что число a+b – предел последовательности {x_n+y_n}.

Теорема 14.5. Пусть последовательности {x_n} и {y_n} сходятся и x_n = а, y_n = b. Тогда последовательность {x_n y_n} также сходится и

x_n y_n = ab= x_n y_n,

т.е. предел произведения сходящихся последовательностей равен произведению их пределов.

Доказательство. По условию теоремы x_n = а + α_n и y_n = b+ β_n, где α_n и β_n – б.м. Тогда

x_nу=ab+ (b•α_n+a•β_n+ α_n•β_n),

где b•α_n+a•β_n+ α_n•β_n – б.м. (см. свойства б.м.), из теоремы 14.2 число ab и есть предел последовательности { x_n y_n }.

Из этой теоремы вытекает, что, если x_n = а, то

=а^к=( x_n)^к.

Теорема 14.6. Пусть последовательности {x_n} и {y_n} сходятся, x_n = а, y = b и b≠0. тогда последовательность сходится и

==,

т.е. предел отношения сходящихся последовательностей равен отношению их пределов.

Принимаем эту теорему без доказательства.

Пример 14.9. Вычислить предел .

Решение. При n→ числитель и знаменатель стремятся к бесконечности (являются бесконечно большим). Действительно, 3n²-2n+1=n²(3-+), т.к. и – б.м., а 3-+ ограничена как сходящаяся. Аналогично, знаменатель тоже стремится к бесконечности. Поэтому сразу применить теорему о пределе отношения нельзя (мы имеем т.н. неопределенность вида ), сначала вынесем в числителе и в знаменателе старшую степень n², после чего применим теорему о пределе частного:

====

=== –.

Пример 14.10. Вычислим предел .

Решение. ==== 0,

т.к. при n числитель 2- является ограниченной последовательностью (она имеет предел равный 2), а знаменатель – б.б., а обратная к ней .– б.м., а произведение ограниченной последовательности на б.м. является б.м.

14.7. Предельный переход в неравенствах

Теорема 14.7. Пусть и a>0. Тогда все члены последовательности >0, начиная с некоторого номера, т.е. n₀ n>n₀ >0.

Доказательство. По определению предела последовательности для  =>0 n₀ n>n₀ < , т.е. a- < x_n < a+ или x_n > a- =>0. (см. рис. 14.5).

Теорема 14.8. Пусть последовательности {x_n} и {y_n} сходятся, , и x_n y_n, начиная с некоторого номера. Тогда ab, т.е. .

Теорема 14.9. (Теорема о трех последовательностях).

Пусть даны три последовательности {x_n},{y_n},{z_n}, причем {x_n} и {z_n} сходятся и . Если для всех nN x_n y_n z_n , то последовательность {y_n} тоже сходится и .

Доказательство. Для  >0 n₁ n>n₁ < и n₂ n>n₂ < или a - < x_n < a+ и a - < z_n < a+ .

Положим n₀ = max{n₁,n₂}. Тогда для всех n>n₀ выполняются оба неравенства одновременно. Тогда  >0 n₀ n>n₀

a -  < x_n y_n z_n < a+ ,

т. е. < , а это и означает, что последовательность {y_n} имеет своим пределом число a.

Из этой теоремы вытекает следующее полезное утверждение. Пусть даны две последовательности {x_n} и {y_n} и 0 x_n y_n для всех n. Тогда

если {x_n} – б. б., то {y_n} – б. б.,

если {y_n} – б. м., то {x_n} – б. м.