- •Оглавление
- •Часть 1. Основной тест
- •Раздел 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
- •Раздел 2. Математический анализ функций одной переменной
- •Часть 2. Приложения
- •Предисловие
- •Часть 1. Основной текст.
- •Раздел 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- •1. Определители.
- •1.1. Основные понятия.
- •1.2 Свойства определителей.
- •1.3 Приложение определителей к решению систем линейных уравнений.
- •2. Декартовы координаты на плоскости и в пространстве.
- •2.1 Декартовы координаты на плоскости.
- •2.2 Основные задачи аналитической геометрии на плоскости.
- •2.2.1. Расстояние между двумя точками.
- •2.2.2. Деление отрезка в данном отношении.
- •2.2.3. Площадь треугольника.
- •2.3. Декартовы координаты в пространстве.
- •2.4. Основные задачи аналитической геометрии в пространстве.
- •3. Векторы на плоскости и в пространстве.
- •3.1. Основные понятия.
- •3.2. Линейные операции над векторами.
- •3.3. Базис на плоскости и в пространстве. Координаты вектора в данном базисе.
- •3.4. Проекция вектора на ось.
- •3.5. Ортонормированный базис на плоскости и в пространстве.
- •3.6. Действия над векторами в координатной форме.
- •4. Скалярное произведение векторов.
- •4.1. Определение и свойства скалярного произведения.
- •4.2. Скалярное произведение в координатной форме.
- •4.3. Некоторые приложения скалярного произведения.
- •5. Векторное и смешанное произведения векторов.
- •5.1. Определение векторного произведения.
- •5.2. Свойства векторного произведения
- •5.3. Векторное произведение в координатной форме.
- •5.4. Определение смешанного произведения.
- •5.5. Смешанное произведение в координатной форме.
- •6. Понятие линейного (векторного) пространства.
- •6.1. Определение линейного пространства.
- •6.2. Линейная зависимость
- •6.3. Базис. Координаты. Размерность.
- •6.4. Пространство арифметических векторов Rn.
- •7. Прямая линия на плоскости.
- •7.1. Понятие уравнения линии на плоскости.
- •7.2 Уравнение прямой на плоскости.
- •7.2.1 Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
- •7.2.2. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.
- •7.2.3. Уравнение прямой, проходящей через две точки.
- •7.2.4. Уравнение прямой в отрезках на осях.
- •7.2.4. Общее уравнение прямой.
- •7.2.6. Векторное уравнение прямой.
- •7.2.7. Уравнение прямой с данным вектором нормали.
- •7.2.8. Нормальное уравнение прямой.
- •7.3. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой
- •7.3.1 Угол между прямыми. Условия параллельности и ортогональности.
- •7.3.2. Расстояние от точки до прямой.
- •7.3.3. Точка пересечения двух прямых.
- •7.4. Геометрический смысл линейных неравенств и систем линейных неравенств на плоскости
- •8. Прямая и плоскость в пространстве.
- •8.1. Уравнения плоскости в пространстве.
- •8.1.1. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку ортогонально данному вектору.
- •8.1.2. Уравнение плоскости, проходящей через три точки.
- •8.1.3. Общее уравнение плоскости.
- •8.1.4. Нормальное уравнение плоскости.
- •8.1.5. Расстояние от точки до плоскости.
- •8.1.6. Взаимное расположение двух плоскостей.
- •8.2. Уравнение прямой в пространстве.
- •8.2.1. Векторное уравнение прямой.
- •8.2.2. Параметрические уравнения прямой.
- •8.2.3. Канонические уравнения прямой.
- •8.2.4. Уравнение прямой, проходящей через две точки.
- •8.2.5. Общее уравнение прямой в пространстве.
- •9. Кривые второго порядка на плоскости.
- •9.1. Окружность.
- •9.2. Эллипс
- •Уравнение эллипса со смещенным центром
- •9.3. Гипербола
- •9.4. Парабола.
- •10. Матрицы
- •10.1. Основные понятия
- •10.2. Действия над матрицами.
- •10.2.1. Сложение матриц.
- •10.2.2. Умножение матрицы на число.
- •10.2.3. Умножение матриц.
- •10.3. Квадратные матрицы. Обратная матрица.
- •10.4. Ранг матрицы.
- •11. Система линейных алгебраических уравнений.
- •11.1. Основные понятия.
- •11.2. Методы решения невырожденных слау.
- •11.3. Метод Гаусса решения слау.
- •11.4 Исследование слау: Терема Кронекера-Капелли.
- •11.5. Исследование структуры решения слау.
- •11.5.1. Структура решения однородной системы.
- •11.5.2. Структура решения неоднородной системы.
- •12. Элементы матричного анализа.
- •12.1. Собственные числа и собственные векторы матрицы.
- •12.2. Квадратичные формы в Rn.
- •Раздел 2. Математический анализ функций одной переменной.
- •13. Множества. Действительные числа.
- •13.1 Логическая символика.
- •13.2. Множества. Действия над множествами.
- •13.3. Действительные числа.
- •13.4. Ограниченные и неограниченные числовые множества.
- •13.5. Числовые промежутки. Окрестность точки.
- •13.6. Индуктивные множества. Натуральные числа. Метод математической индукции.
- •14. Предел последовательности.
- •14.1. Понятие числовой последовательности.
- •14.2. Геометрическая прогрессия
- •14.3. Ограниченные и неограниченные последовательности.
- •14.4. Определение предела последовательности.
- •14.5. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства.
- •14.6. Арифметические свойства пределов последовательностей
- •14.7. Предельный переход в неравенствах
- •14.8. Монотонные последовательности.
- •14.9. Число e.
- •15. Функции
- •15.1. Понятия функции.
- •15.2. Основные характеристики поведения функции.
- •15.3. Понятие сложной и обратной функции.
- •15.3.1. Понятие сложной функции.
- •15.3.2. Понятие обратной функции.
- •З аметим, что монотонные функции взаимно однозначны (см. Рис. 15.11):
- •15.4. Основные элементарные функции.
- •15.5. Некоторые важнейшие функциональные зависимости.
- •15.5.6. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции.
- •15.6. Преобразование графиков функций.
- •16. Предел функции.
- •16.1. Определение предела функции в точке.
- •16.2. Основные теоремы о пределах функций.
- •Четвертый замечательный предел
- •Основные свойства б.М. Функций.
- •16.5 Сравнение б. М. И б. Б. Функций.
- •16.6. Односторонние пределы.
- •17. Непрерывность функции.
- •17.1. Непрерывность функции в точке.
- •17.2. Локальные свойства непрерывных функций.
- •17.3. Непрерывность обратной функции.
- •17.4. Непрерывность основных элементарных функций.
- •17.5. Точки разрыва функции и их классификация.
- •17.6. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
- •18. Производная.
- •18.1. Понятие производной.
- •18.2. Дифференцируемость.
- •18.3. Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями.
- •18.4. Производная сложной и обратной функции.
- •18.4.1. Производная сложной функции
- •18.4.2. Производная обратной функции.
- •18.5. Таблица производных
- •18.6. Логарифмическая производная
- •18.7. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной и нормали к кривой.
- •18.8. Односторонние и бесконечные производные.
- •18.9 Дифференциал.
- •18.10. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •18.11. Параметрическое задание функции и ее дифференцирование.
- •18.12. Неявное задание функции и ее дифференцирование.
- •18.13. Основные теоремы дифференциального исчисления.
- •18.14. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.
- •18.15. Формула Тейлора
- •18.15.1. Формула Тейлора для многочлена.
- •18.15.2. Формула Тейлора для произвольной функции.
- •18.15.3. Формула Маклорена некоторых элементарных функций.
- •18.15.4. Некоторые приложения формулы Маклорена.
- •19. Применение производных к исследованию функций и построению графиков.
- •19.1. Монотонность: убывание и возрастание.
- •19.2. Экстремумы: максимумы и минимумы.
- •19.3. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
- •19.4. Выпуклость вогнутость. Точки перегиба.
- •19.5. Асимптоты графика функции.
- •19.6. План полного исследования функции и построения ее графика.
18.11. Параметрическое задание функции и ее дифференцирование.
Пусть даны две функции x = (t), y = (t) одной независимой переменной t, определенные и непрерывные в некотором интервале (, ). Если функция x = (t) строго монотонна, то она имеет обратную функцию t = (x), непрерывную и монотонную в некотором интервале (a, b). Поэтому y является сложной функцией, зависящей от переменной x посредством переменной t, называемой параметром:
y = f(x) = ((x)), x (a, b).
Эта функция непрерывна по теореме о непрерывности сложной функции. Итак, система функций (18.26) определяет функцию y = f(x) переменной x, а сами уравнения (18.26) называются параметрическими уравнениями функции y = f(x) (см. рис. 18.13). Такой способ задания функции называется параметрическим. Пример 18.18. Рассмотрим функцию y = f(x), заданную параметрически системой уравнений (а > 0)
t [ 0,] (18.27)
Так как функция убывает на отрезке [ 0,] (см. рис. 18.14), то существует обратная функция t = (x) = arccos , x[-a,a]. Если подставим ее во второе уравнение вместо t, то получим искомую функцию в явном виде: y = a sin(arccos ) = =a. Знак плюс перед корнем выбираем в силу того, что функция y = a sin t неотрицательна при t [ 0,]. Таким образом, уравнения (18.27) есть параметрические уравнения функции y = , x [-a,a], графиком которой является верхняя полуокружность (см. рис. 18.15). Взяв t 2, получим, что система (18.27) есть параметрические уравнения функции y = f(x) = –, графиком которой является нижняя полуокружность (см. рис. 18.15).
Пусть функции x = (t) и y = (t) дифференцируемы в области определения (, ) и (t) 0. Тогда обратная функция t = (x) дифференцируема и . По теореме о производной сложной функции получим
. Следовательно,
или, короче, . (18.28)
Таким образом, производная функции, заданной параметрически, сама является функцией, заданной параметрически:
если t (, ), то з t (, ).
Найдем вторую производную функции, заданной параметрически уравнениями (18.26). Так как вторая производная есть производная от первой производной, то, согласно формуле (18.28), получим
. (18.29)
Аналогично можно получить производную от у по х любого порядка.
18.12. Неявное задание функции и ее дифференцирование.
Пусть задано уравнение, связывающее переменные х и у, вида
F (x,y) = 0. (18.30)
Мы уже сталкивались с подобным уравнением, рассматривая уравнение линии на плоскости в п. 7.1.
Пусть существует такой интервал (a, b), что для каждого x0 (a, b) существует по крайней мере одно число у, удовлетворяющее уравнению F (x,y) = 0. Обозначим одно из таких чисел у0 и поставим его в соответствие числу x0 (a, b). Тогда получим функцию y = f(x), определенную в интервале (a, b) и такую, что F (x, f(x)) = 0 для всех x (a, b). В этом случае говорим, что функция y = f(x) задается неявно уравнением (18.30). Уравнение (18.30) задает, вообще говоря, не одну, а некоторое множество функций.
Функции, неявно задаваемые уравнениями вида (18.30), называются неявными функциями
в отличие от функций, задаваемых явно формулой y = f(x). Термин " неявная функция" отражает
не характер функциональной зависимости, а лишь способ ее задания.
Итак, функция y = f(x), x (a, b) является неявной функцией, определяемой уравнением (18.30), если
F (x, f(x)) 0 x (a, b),
т.е. функция y = f(x) есть решение уравнения F (x,y) = 0 относительно переменной y.
Пример 18.19. Рассмотрим уравнение х2 + у2 – 1 = 0, или х2 + у2 = 1, которое на плоскости Оху задает окружность радиуса r = 1 с центром в начале координат (см. рис. 18.16). Как легко проверить, функции , x [-1,1] и , x [-1,1] являются неявными функциями, заданными этим уравнением, графиками их служат верхняя и нижняя полуокружности (см. рис. 18.6).
Выберем x0 = [-1,1] и подставим в исходное уравнение. Тогда получим: + у2 – – 1 = 0 или у2 = , т.е. y = . Итак, при x0 = мы получили два значения у. Если мы выберем у0 = ; то, тем самым, мы выбрали неявную функцию , x [-1,1].
Правило нахождения производных функций, заданных неявно.
Для нахождения производной y функции y = f(x), заданной неявно уравнением F (x,y) = 0, необходимо продифференцировать это уравнение по переменной x как сложную функцию, рассматривая при этом y как функцию от x, и полученное уравнение разрешить относительно y.
Производная неявной функции выражается через аргумент х и функцию у, т.е. сама является функцией, заданной неявно.
Пример 18.20. Найти y (1) и y (1) в точке М0(1,1), если y = f(x) является неявной функцией, определяемой уравнением х2 + 2ху + у2 – 4х + 2у -2= 0 (18.31) Решение. Продифференцируем уравнение (18.31) по х, помня, что у есть функция от х:
2х + 2(у +ху) + 2уу - 4 + 2у = 0.
Находя из этого уравнения у , получим
. (18.32)
Чтобы вычислить y (1), нам необходимо знать значение у0 неявной функции в точке x0 = 1. Но из условия задачи следует, что у0 = y (1) = 1, т. к. точка М0(1,1) лежит на графике функции. Учитывая это, получим: y (1) = 0.
Для нахождения y, продифференцируем уравнение (18.32) еще раз по переменной x :
.
Исключив из последнего равенства y по формуле (18.32), получим выражение y через х и у : 1 + y = 1 – ,
тогда y = .
Отсюда, учитывая как и выше, что y (1) = 1, получим y (1) = – .
Замечание. Задав точку М0(1,1), лежащую на кривой, определенной уравнением (18.31) (проверьте), мы тем самым, задали значение неявной функции y = f(x) в точке x0 = 1: y (1) = 1. Дело в том, что уравнение (18.31) при x0 = 1 имеет два решения: у = 1 и у = -5. Уравнение (18.31) можно разрешить относительно y, записав его в виде у2 + 2(х + 1) у + х2 – 4х – 2= 0, откуда получим: y = f1(x) = – х – 1 + и y = f2(x) = – х – 1 – . Легко видеть, что f1(x) = 1, а f2(x) = –5. Решить поставленную задачу можно теперь, дифференцируя функцию y = f1(x), заданную уже в явном виде.
Это замечание показывает, что даже в случае, когда уравнение, задающее неявную функцию, можно разрешить относительно у, производную неявной функции проще находить по правилу, описанному выше.