5.2. Свойства векторного произведения

1. = -

Это непосредственно вытекает из того, что векторы и имеют одинаковую длину, равную || || sinφ, коллинеарны и противоположно направлены согласно определения векторного произведения (см. рис.5.2).

2. (λ) = (λ) = λ()

3. (+)=+

4. = 0  ||

5. Геометрический смысл векторного произведения: модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма построенного на этих векторах как на сторонах (см. рис. 5.2):

S_пар = ||, S_∆ = ½ ||.

5.3. Векторное произведение в координатной форме.

Из рис. 5.3 легко видеть, что

= , = , = -,

= -, =, =,

= , = -, = .

Рассмотрим векторы = х₁ + у₁ + z₁ и = х₂ + у₂ + z₂. Используя свойства векторного произведения, получим:

= (х₁ + у₁ + z₁)(х₂ + у₂ + z₂) =

= х₁х₂ + х₁у₂ + х₁z₂+

+ у₁х₂ + у₁у₂ + у₁z₂ +

+ z₁х₂ + z₁у₂ + z₁z₂ =

= х₁у₂– х₁z₂– у₁х₂ + у₁z₂ + z₁х₂ – z₁у₂ =

= (у₁z₂ – z₁у₂) – ( х₁z₂ – z₁х₂) + ( х₁у₂ – у₁х₂) =

или =. (5.2)

5.4. Определение смешанного произведения.

Определение. Смешанным произведением векторов , , (в таком порядке) называется число

=() .

Геометрический смысл смешанного произведения.

Рассмотрим параллелепипед, построенный на векторах , , как на ребрах. Из рис. 5.4 ясно, что

= ±Н,

где Н – высота параллелепипеда, при этом берется знак “+”, если тройка , , – правая, и знак “–”, если тройка – левая.

Поэтому

= () = || = S_пар• (±Н) = ±V_пар.

Отсюда получим, что модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на ребрах:

V_пар=||. (5.4)

Итак, смешанное произведение позволяет вычислить объемы параллелепипеда, призмы, тетраэдра.

Из этого свойства смешанного произведения получаем:

, , – компланарны  = 0.

5.5. Смешанное произведение в координатной форме.

Пусть = {х₁, у₁, z₁}, = {х₂, у₂, z₂}, = {х₃, у₃, z₃}.

Тогда

= ()•= •

= ,

или

= . (5.5)

6. Понятие линейного (векторного) пространства.

6.1. Определение линейного пространства.

Непустое множество L называется линейным или векторным пространством над полем R действительных чисел, если

1. для каждых двух элементов х, уL определен элемент х+уL, называемый их суммой;

2. для каждого элемента хL и каждого числа R определен элемент хL, называемый произведением элемента х на число.

При этом выполняются свойства (аксиомы):

1. х+у=у+х,

2. (х+у)+z=x+(y+z),

3. существует нулевой элемент θ такой, что для каждого xL

x+ θ =x,

4. для каждого хL существует элемент (-х)L, называемый противоположным элементу х, такой, что

х+(-х)= θ,

5. 1х = х,

6. (х)=()х,

7. (х+у)=х+у,

8. (+)х=х+х.

Элементы линейного пространства называются векторами.

Теорема 6.1. В линейном пространстве существует единственный ноль (нулевой вектор).

2. Для каждого вектора линейного пространства существует единственный противоположный вектор.

3. Для всякого вектора х линейного пространства и числа R

0х= θ, -х=(-1)х, α θ = θ

Доказательство: 1. Пусть θ₁ и θ₂ – два нулевых вектора линейного пространства L, тогда для каждого вектора хL выполняются равенства х+ θ₁ = х и х+ θ₂ = х,

т.е. θ₁= θ₁+ θ₂= θ₂ и нулевой вектор единственен.

2. Пусть х₁, х₂ – векторы, противоположные вектору х: х+х₁= θ, х+х₂= θ. Тогда на основании аксиом линейного пространства получим

х₁ = х₁+θ = х₁+(х+х₂) = (х₁+ х) + х₂ = θ + х₂ = х₂,

т.е. противоположный вектор определяется однозначно.

3. Если хL, то 0х+х=0х+1х=(0+1)х=1х=х, т.е. 0х+х=х. Прибавим к обеим частям этого равенства вектор –х; находим

θ = х+(-х)=(0х+х)+(-х)=0х+(х+(-х))=0х+ θ=0х.

Далее, х+(-1)х=1х+(-1)х=(1-1)х=0х= θ, т.е. (-1)х является, по определению, противоположным к х и в силу его единственности -х=(-1)х.

Теорема 6.1. доказана.

Линейной комбинацией векторов х₁, …, x_mL с коэффициентами ₁, …, _mR называется вектор вида

х=₁х₁+₂х₂+ …+_mx_m.