9.3. Гипербола

Рассмотрим на плоскости две точки и , расстояние между которыми равно 2с, и число .

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек и , называемых фокусами, есть величина постоянная, равная , т.е.

, (9.7)

где и – фокальные радиусы произвольной точки М гиперболы (см. рис. 9.7).

Введем систему координат Oxyz точно также, как это сделано при выводе канонического уравнения эллипса в пункте 9.2 (см. рис. 9.7). Координаты фокусов и , . Подставляя эти формулы в равенство (9.7), получим

.

У

прощая это уравнение как при выводе уравнения эллипса, получим каноническое уравнение гиперболы

, (9.8)

где

. (9.9)

Уравнение (9.8) показывает, что гипербола симметрична как относительно осей координат Ох и Оу, так и относительно начала координат О(0,0) – центра гиперболы. На рис. 9.8 изображена гипербола, задаваемая уравнением (9.8), где – действительная полуось, – мнимая полуось. Пунктиром изображены основной прямоугольник гиперболы и прямые , проходящие через вершины основного прямоугольника, называемые асимптотами гиперболы. Они обладают тем свойством, что расстояния от точки гиперболы до соответствующей асимптоты стремится к нулю при неограниченном удалении точки от начала координат.

Эксцентриситет гиперболы больше единицы: , т. к. . Он характеризует форму гиперболы: чем меньше эксцентриситет, тем более вытянут основной прямоугольник, т. к. .

Сопряженная гипербола, задаваемая уравнением

, (9.10)

имеет те же асимптоты , ее фокусы расположены на оси Оу, – действительная полуось, – мнимая полуось (см. рис. 9.9).

9.4. Парабола.

Пусть на плоскости заданы прямая l и точка F, отстоящая от этой прямой на расстоянии p ().

Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых равноудалена от данной точки F, называемой фокусом, и данной прямой l, называемой директрисой.

Для получения уравнения параболы введем систему координат Oxy так, как показано на рис. 9.10.

Фокус F получит координаты , уравнение директрисы l имеет вид . Каждая точка параболы М(х,у) удовлетворяет условию: , где , .

Тогда ее уравнение примет вид .

Возведем обе части этого равенства в квадрат:

.

Окончательно получим каноническое уравнение параболы

.

(9.11)

Число p называется параметром параболы и характеризует ее форму: чем меньше p, тем сильнее ветви параболы прижимаются к оси Ох.

Если вершина параболы находится в точке , а осью симметрии является прямая , то уравнение параболы примет вид (см. рис. 9.11)

(9.12)

В заключение приведем некоторые частные уравнения парабол (см. рис. 9.12).

10. Матрицы

10.1. Основные понятия

Матрицей размера m×n называется прямоугольная таблица чисел вида

А=(а_ij)= (10.1)

содержащая т строк и п столбцов. Числа а_ij называются элементами матрицы; индекс i – номер строки, в которой стоит данный элемент, i = 1,2, . . . , т, а j – номер столбца, j – 1,2, . . . , п.

Равенство матриц. Две матрицы А=(а_ij) и В=(b_ij) одинакового размера m×n называется равными: А=В, если равны все элементы матриц, стоящие на одинаковых местах, т.е. А=В  a_ij=b_ij, где i=1, …,m; j=1, …, n.

Нулевая матрица О- это матрица, все элементы которой равны нулю: a_ij=0, i=1, …, m; j=1, …, n, т.е.

О=.

Противоположная матрица. Матрица -А= называется противоположной к матрице А=

Транспонированная матрица. Матрица размера n×m, полученная из матрицы А=(а_ij) размера m×n заменой ее строк столбцами с теми же номерами, называется транспонированной к А матрицей, т.е. (см. формулу (10.4))

А́=.

Ясно, что = А.

Обозначим через М_m×n множество всех матриц размера m×n.

Замечания. 1) Пусть =(х₁, х₂, …, х_n)- n- мерный вектор пространства n-мерных арифметических векторов Rⁿ. В дальнейшем мы будем рассматривать его как вектор- столбец и записывать как матрицу размера n×1: =, а ΄=(х₁ х₂ … х_n)- вектор-строка, т.е. матрица размера 1×n, транспонированная к вектор-столбцу .

2) Запись матрицы с помощью ее вектор-строк и вектор-столбцов.

Пусть A_i=(a_i1 a_i2 . . . a_in) – i-тая вектор-строка матрицы А, i= 1, 2, . . . , m, – j-тый вектор-столбец, j= 1, 2, . . ., n, тогда матрицу А можно записать в виде

. (10.2)

В частности, А' = , где – n-мерный вектор-столбец, i = 1, 2, . . . , m.