18.14. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.

В параграфе 16 мы рассмотрели понятие неопределенности, некоторые виды неопределенностей и способы их раскрытия. Сейчас рассмотрим простой и эффективный метод раскрытия неопределенностей: правило Лопиталя.

Теорема 18.7. (Правило Лопиталя раскрытия неопределенности вида ).

Пусть функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки а, за исключением, быть может, самой точки а. Если

1. = 0, т.е. f(x) и g(x) – б. м. при х а ;

2. g (x)  0 в указанной окрестности точки а;

3. существует предел , конечный или бесконечный,

то существует предел и справедливо равенство

(18.36)

Теорема 18.8. (Правило Лопиталя раскрытия неопределенности вида ).

Если в условиях теоремы 18.7 первое условие заменить на условие =, т.е. f(x) и g(x) – б. б. функции при х а, то формула (18.36) остается в силе.

Заметим, что эти теоремы справедливы и для случаев, когда х а-0 или х а+0.

Неопределенности вида 0 и  -  необходимо свести к неопределенностям вида и и раскрыть по правилу Лопиталя.

Неопределенности вида 0⁰, 1^, ⁰ возникают при вычислении пределов вида . С помощью логарифмирования сводим эти типы неопределенности к неопределенности вида 0. Действительно, если =А, то ln A = = = (0) = k, тогда = А = e ^{ln A} = e ^k.

Пример 18.21. Найти пределы и .

Решение.

= = 0,

= (0) = = 0.

Пример 18.22. Найти предел .

Так как ,, то мы имеем неопределенность 1^. Далее положим = А и, логарифмируя, находим k = ln A = ===

окончательно получим = (1^) = А = e ^{ln A} = e ^k = e ^–2 = .

18.15. Формула Тейлора

Рассмотрим одну из важных формул математического анализа, имеющую многочисленные приложения в математике и ее приложениях, в частности при исследовании функций. Это формула Тейлора.

18.15.1. Формула Тейлора для многочлена.

Рассмотрим многочлен степени п:

Р_п(х) = а₀ + а₁х + а₂х² + … + а_к х^к + …+ а_пх^п. (18.37)

Дифференцируя его п раз, получим

Р_п(х) = а₀ + а₁х + … + а_пх^п,

Р_п(х) = а₁ + 2а₂х + …+ п а_пх^п-1,

(х) = 2•1•а₂ + 3•2•а₃х +… + п(п-1) а_пх^п-2,

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

(х) = k•(k-1) … 2•1•а_к… + п(п-1) … (п-к+1) а_пх^п-к,

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

(х) = п(п-1)… 2•1•а_п.

Отсюда при х = 0 находим выражения коэффициентов многочлена через значения самого многочлена и его производных:

Р_п(0) = а₀ , Р_п(0) = 1! а₁ , (0) = 2! а₂ , …, (0) = п! а_п ,

Таким образом, а_к = , k = 0, 1, …, п.

Подставим эти значения коэффициентов в (18.37):

Р_п(х) = Р_п(0) + (18.38)

Формула (18.38) представляет собой разложение многочлена P_n(x) по степени х и отличается от (18.37) только записью коэффициентов.

Найдем теперь разложение многочлена P_n(x) по степени х-х₀, где х₀ – некоторое фиксированное значение аргумента х:

P_n(x)=А₀+А₁(х-х₀)+ А₂(х-х₀)²+…+ А_n(х-х₀)ⁿ. (18.39),

Дифференцируя (18.39) n раз, при х= х₀ получим

А_к= , к = 0, 1, 2, …,n.

Подставим эти выражения для коэффициентов в (18.39), получим

Р_п(х) = Р_п(х₀) + . (18.40)

Формула (18.40) называется формулой Тейлора для многочлена P_n(x) в точке х₀. Ее частный случай (18.38) при х₀ =0 называется еще формулой Маклорена.