18. Производная.

18.1. Понятие производной.

Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности (х₀-, х₀+) точки х₀ (включая саму точку х₀).

Придадим аргументу х в точке х₀ произвольное приращение х такое, что точка х=x₀+х  (х₀-, х₀+). Тогда функция y=f(x) получит приращение у= f (x) - f (x₀)= f (x₀+х) - f(x₀) (см. рис. 18.1).

Дадим одно из важнейших понятий математического анализа: понятие производной.

Производной функции y=f(x) в точке х₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к вызвавшему его приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, (при условии, что этот предел существует).

Производную функцию y=f(x) в точке х₀ обозначают одним из символов:

(x₀), (x₀), , .

Итак, по определению

(x₀)===,

(18.1)

или короче

=.

(18.2)

Рассмотрим некоторые важные примеры.

Пример 18.1. y=f(x) = с – постоянная функция (с=const). Тогда для любого значения аргумента х=х₀ найдем у = f(x₀+х) – f(x₀)= с - с =0 для любого приращения аргумента х, поэтому

===0,

т.е. производная постоянной функции равна нулю в каждой точке числовой оси. Таким образом, =0 (производная константы равна нулю).

Пример 18.2. y=f(x)=sin x.

Так как у= sin (x+x)-sin x=2 sin cos, где sin – б.м. при х→0, sin Error: Reference source not foundError: Reference source not found, а функция у=cos x непрерывна: cos= cos x, то (x)= ==cos=cos x.

И

=cosx

так,

(18.3)

Пример 18.3. y=f(x)=а^х, a>0, а≠1.

Напомним, что е^х-1Error: Reference source not foundError: Reference source not foundх, отсюда следует, что

а^х-1=е^{х lna}-1Error: Reference source not foundError: Reference source not foundх ln a. Тогда

у=а^х+х-а^х= а^х(а^х-1) Error: Reference source not foundError: Reference source not foundа^х•х ln а.

Отсюда

у = .

Т

=а^х ln а

= е^х

аким образом,

и (18.4)

Последняя формула показывает замечательное свойство числа е: показательная функция с основанием е имеет производную, совпадающую с самой функцией. Этим объясняется преимущественное использование числа е в качестве основания степени и основания логарифмов (натуральные логарифмы).

Пример 18.4. у= f(x) = log_ax, а>0, a ≠1, x>0.

Напомним, что ln(1+x)Error: Reference source not foundError: Reference source not found Error: Reference source not found x и log_a(1+x)Error: Reference source not foundError: Reference source not found Error: Reference source not found.

Тогда

у=log_a(x+x)-log_ax=log_a Error: Reference source not foundError: Reference source not found_{Error: Reference source not found},

откуда получаем

= = = =.

Итак,

(ln x)

и (18.5)

Пример 18.5. y = f (x) = xⁿ , n – натуральное число.

Используя правило возведения бинома в степень (см. формулу бинома Ньютона (13.2)), имеем у= ( х+х)^п-х^п = п х^п-1х+ х^п-2 х²+. . . + х^п,

откуда при х  0 получим .

При х0 все слагаемые правой части, содержащие множитель х в степени с натуральным показателем, стремятся к нулю, то

= =

Таким образом,

(хⁿ) = n x^n-1

x = 1

(x²) = 2x

(log_a x)

, , . (18.6)