19.5. Асимптоты графика функции.

Асимптотой графика функции у = f(x) называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки М(х, f(x)) до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Возможны два способа удаления точки М(х, f(x)) графика функции у = f(x) от начала координат в бесконечность: 1) аргумент х стремится к некоторой точке х₀, а соответствующее значение функции у = f(x) стремится к бесконечности; 2) аргумент х стремится к бесконечности. Поэтому существуют два типа асимптот: вертикальные и наклонные.

Прямая х = х₀ называется вертикальной асимптотой графика функции у = f(x), если хотя

бы один из односторонних пределов f(x₀-0) = (предел слева) или f(x₀ + 0) = = (предел справа) равен + или - (см. рис. 19.16).

Как видно из рисунка 19.16, расстояние между точкой М(х, f(x)) графика функции у = f(x) и вертикальной прямой х = х₀ равно d =  х - х₀ . При х  х₀ точка М(х, f(x)) удаляется в бесконечность, а d =  х - х₀  0 при х  х₀ , т. е. это и означает, что х = х₀ – уравнение вертикальной асимптоты.

Пример 19.2. Рассмотрим функции у = , х  (-,0) (0,+) и у = log₂ x, x  (0,+), для которых прямая х = 0 является вертикальной асимптотой.

1 ) у = , х  (-,0) (0,+).

f(+0) = = ,

f(-0) = = .

Это и означает, что прямая х = 0 является вертикальной асимптотой функции у = , а точка х₀ = 0 – точка разрыва второго рода.

2) у = log₂ x, x  (0,+).

f(+0) = = , поэтому прямая х = 0 является вертикальной асимптотой функции у = log₂ x , хотя точка х₀ = 0 формально и не является точкой разрыва функции у = log₂ x.

Заметим, что вертикальные асимптоты графика функции возникают в точках разрыва второго рода или на границе области определения функции.

Прямая У = kx + b называется наклонной асимптотой графика функции у = f(x) при х  + (х  -), если функцию у = f(x) можно представить в виде

f(x) = kx + b +(х), (19.1)

где (х) 0 при х  + (х  -).

При х  + наклонная асимптота называется правой, а при х  - – левой. При k = 0 асимптота называется горизонтальной.

Выясним геометрический смысл наклонной асимптоты, рассмотрев для определенности случай, когда х  +.

М(х,у) – точка графика функции у = f(x), У = kx + b – наклонная асимптота графика функции при х  +, N(х,у) – соответствующая точка асимптоты (см. рис. 19.17). Тогда MN = y - Y =  f(x) - kx - b = =  (x) 0 при х  +. Из прямоугольного треугольника MNР ясно, что 0 < d <  (x), поэтому d 0 при х  +, т. е. график функции неограниченно приближается к асимптоте при х  +.

Теорема 19.8. Для того, чтобы график функции у = f(x) имел при х  + (х  -) наклонную асимптоту у = kx + b, необходимо и достаточно, чтобы существовали пределы

и .

Доказательство. Для определенности рассмотрим случай правой наклонной асимптоты, т. е. х  +.

Необходимость. Пусть У = kx + b – наклонная асимптота графика функции у = f(x) при х  +, тогда

у = f(x) = kx + b +(х), где  (x) 0 при х  +.

Из этого представления вытекает, что существует предел

, т. к. и – б. м. при х  +, и существует предел .

Достаточность. Пусть существуют оба предела и .

Из второго предела вытекает, что по теореме 16.4 справедливо равенство

у - kx = b +(х), где  (x) 0 при х  +,

т. е. у = f(x) = kx + b +(х). Но это и означает, что прямая У = kx + b является асимптотой графика функции у = f(x).

Пример 19.3. Рассмотрим функцию у = .

Так как у = f(x) = х + 2 +, где  (x) =  0 при х  , то прямая У = x + 2 является левой и правой наклонной асимптотой графика функции.

Замечание. Для рациональной функции (отношения двух многочленов) левая и правая асимптоты совпадают.