Раздел 2. Математический анализ функций одной переменной.

13. Множества. Действительные числа.

13.1 Логическая символика.

Отрицание:  – "не". Если А – высказывание, то его отрицание - А ("не А").

Связки: – "или"; – "и";  – "влечет", "следует";  – "равносильно", "тогда и только тогда".

Кванторы: всеобщности:  – "любой", "для любого";

существования:  – "существует", "найдется",

 – "существует единственный".

О доказательствах. Математическое высказывание (теорема) имеет следующий вид:

АВ (А влечет В или В следует из А),

В – необходимое условие для А, А – достаточное условие для В.

Классическое правило вывода:

А – истинно и АВ, то В – истинно.

Доказательство от противного (принцип исключенного третьего): А А – истинно.

13.2. Множества. Действия над множествами.

Понятие множества является одним из основных понятий математики и не поддается точному определению. Под множеством мы понимаем совокупность каких-либо объектов, объединенных по какому-нибудь признаку.

Говоря о множестве, мы имеем ввиду следующее:

1. множество состоит из любых различимых объектов;

2. множество однозначно определяется набором составляющих его объектов;

3. любое свойство определяет множество объектов, обладающих этим свойством.

Множества будем обозначать большими буквами латинского алфавита, а объекты, их составляющие, малыми буквами.

Пусть X – множество, х – объект, P – свойство. Тогда запись P(x) означает, что объект х обладает свойством P, а запись

,

читается "множество объектов х таких, что Р(х)", означает множество Х объектов х, обладающих свойством Р. Еще раз отметим, что любое свойство Р однозначно определяет множество объектов, этим свойством обладающих.

Объекты х, составляющие множество Х, называются его элементами. Если х – элемент множества Х, то пишем хХ, т.е. элемент х принадлежит множеству Х, и хХ, если х не является элементом множества Х (не принадлежит множеству Х).

Равенство множеств. Два множества А и В равны, А=В, если они состоят из одних и тех же элементов, т.е. (хА)  (хВ).

Подмножество, включение. Множество А называется подмножеством (частью) множества В, если каждый элемент множества А является элементом множества В.

Пишем А В, читаем "А вложено (включено) в В".

Таким образом, А В означает, что (хА)  (хВ).

На языке включения равенство множеств можно записать следующим образом:

(А=В)  ( А В) (В А).

Пустое множество – множество, не содержащее элементов; обозначается символом  и является подмножеством любого множества.

Действия над множествами. Далее считаем, что все рассматриваемые множества являются подмножествами некоторого множества М.

Объединением (суммой) множеств А и В называется множество АВ (или А+В), состоящее из элементов, принадлежащих или множеству А, или множеству В (хотя бы одному из них):

АВ =

Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество АВ (или АВ), состоящее из элементов, принадлежащих как множеству А,, так и множеству В (одновременно двум множествам):

АВ =

Разностью множеств А и В называется множество А \В, состоящее из элементов множества А, не принадлежащих множеству В:

А \В =

Дополнением множества А (до множества М) называется множество = М \А, состоящее из тех элементов множества М, которые не принадлежат множеству А:

= М \А =

Заметим, что А =  и А+ = М.

Законы двойственности. Для любых множеств А М и В М справедливы равенства

, .

Докажем первое из этих равенств. Нужно показать, что каждый элемент множества является элементом множества и наоборот:

.

Аналогично доказывается второе равенство. Предоставляем это сделать читателю.

В заключение поясним введенные понятия диаграммами. Множества будут изображаться множествами точек плоскости, элементы множеств – точками плоскости. Тогда (см. рис. 13.1)

Рис. 13.1.