14.2. Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называется числовая последовательность {x_n}: х₁, х₂, …, x_n, …, если существует постоянное число q (q≠1) такое, что nN

х_n+1= x_nq.

число q называется знаменателем геометрической прогрессии.

Так как x₂= x₁•q; x₃= x₂•q= x₁•q²; x₄= x₃•q= x₁•q³, . . ., то формула общего члена геометрической прогрессии имеет вид

x_n= x₁•q^n-1.

Сумма n первых членов геометрической прогрессии равна

S= x₁+x₂+…+x_n = = или

S_n=

Действительно,

S_n = x₁+x₂+…+x_n = x₁ + x₁ q+ x₁q² +…+ x₁q^n-1 =

= x₁ (1+q+q²+…+qⁿ) = =

14.3. Ограниченные и неограниченные последовательности.

Последовательность {x_n} называется ограниченной сверху, если множество ее значений ограничено сверху, т.е. существует число MR такое, что x_n ≤M nN.

В логической символике

({x_n} ограничена сверху)  (M nÎN x_n ≤M).

Последовательность {x_n} называется ограниченной снизу, если множество ее значений ограничено снизу, т.е. существует число mR такое, что x_nm nN, или

({x_n} ограничена снизу)  (m nÎN m ≤x_n).

Последовательность {x_n} называется ограниченной, если она ограничена сверху и снизу, т.е. существуют числа m, MR такие, что m≤x_n≤M nN, или

({x_п} ограничена)  (m, M nÎN m ≤ x_n ≤M),

или

({x_n} ограничена)  (А>0 nÎN |x_n|≤A).

Последовательность, не являющаяся ограниченной (ограниченной сверху, ограниченной снизу), называется неограниченной (неограниченной сверху, неограниченной снизу):

({x_n} неограничена)  (А>0 n₀ÎN |x_n0| >A)

Если последовательность ограничена сверху, то все ее члены принадлежат промежутку (,M], а если ограничена снизу – промежутку [m, +), а в случае ограниченности – отрезку [m,M].

Примеры 14.2. 1) {x_n}, где x_n = n : 1, 2, …, n, … ограничена снизу (m=1), но не ограничена сверху (принцип Архимеда);

2) последовательность {x_n}, x_n=(-1)ⁿn : -1, 2, -3, 4, … – неограниченная;

3) {x_n}, x_n=: 1, , , …, , … – ограничена, т.к. 0 < ≤1, 0 < x_n ≤1 nÎN.

14.4. Определение предела последовательности.

Переходим к центральному понятию данного параграфа.

Число а называется пределом числовой последовательности , если для любого положительного числа ε существует такое натуральное число n₀N, что для всех номеров n>n₀ выполняется неравенство

|x_n-a|<ε.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.

Обозначение: x_n = a или .

В логической символике определение предела последовательности выглядит так:

Г

( x_n=a)  (ε>0 n₀ÎN n>n₀ |x_n-a|<ε)

еометрическое истолкование предела числовой последовательности. Неравенство (14.2.) равносильно двойному неравенству –ε< x_n-a< ε или a- ε< x_n<a+ ε, которые означают, что все члены последовательности x_n, начиная с некоторого номера, находятся в ε–окрестности U(a, ε)= =(a- ε, a+ ε) точки а (см. рис. 14.1), а вне этой окрестности находится, разве лишь, конечное число членов этой последовательности.

Поэтому определение предела последовательности можно сформулировать так:

Число а называется пределом последовательности {x_n}, если для любой ε–окрестности U(a, ε) точки а существует номер n₀N такой, что для всех номеров n>n₀ все члены последовательности x_n попадут в эту окрестность:

x_n  U(a, ε).

Заметим, что чем меньше ε, тем больше номер n₀, но в любом случае в ε–окрестность точки а попадают все члены последовательности, начиная с некоторого номера (n>n₀), а вне этой окрестности находится не более конечного числа членов. Рассмотрим ε₂<ε₁.

Пусть x_n =а, тогда (см. рис. 14.2.)

для ε₁>0 n₁ n>n₁ x_nU (a₁, ε₁),

для ε₂>0 n₂, в.ч. n₂>n₁, n>n₂ x_nU (a₁, ε₂),

x₁, x₂, …, x_n1, x_n1+1, …, x_n2, x_n2+1, …, x_n, …

Рассмотрим примеры.

Пример 14.3. Рассмотрим последовательность {x_n} с общим членом x_n=: 1,,,…,,...

Покажем, что x_n = = 0. По определению, число а = 0 будет пределом последовательности x_n = , если ε>0 n₀N такое, что n>n₀ выполняется неравенство |-0|< ε, т.е. < ε. Это неравенство справедливо для всех n> , т.е. для всех n>n₀ = , где - целая часть числа . Итак, для ε>0 найден соответствующий номер n₀, т.е. по определению =0.

Пример 14.4. x_n= , |q|>1. покажем что =0.

Действительно < ε  < ε  |q|ⁿ >  n > log_|q| ,

т.е. ε>0 n₀= n>n₀ выполняется указанная цепочка неравенств, доказывающая утверждение.

Аналогично, если x_n= qⁿ, |q|<1, то qⁿ=0.

Пример 14.5. Рассмотрим постоянную последовательность {x_n} с общим членом x_n=c, nN, где с = const – постоянная. Покажем, что эта последовательность сходится и x_n=c (предел константы равен самой константе).

Действительно, ε>0 n |x_n-c|=|c-c|=0< ε, что и требовалось доказать.

Пример 14.6. Покажем, что последовательность {x_n} с общим членом x_n=(-1)ⁿ расходится. Для этого воспользуемся вторым, геометрическим определением предела последовательности. Если а ≠ ±1, то число а не является пределом нашей последовательности, т.к. существует такая окрестность числа а, в которой нет ни одного члена рассматриваемой последовательности (см. рис 14.3а)

Если а = 1, то в указанную окрестность точки 1 (ε =1), не попадут все члены последовательности с нечетными номерами x_2n+1=(-1)²ⁿ⁺¹ = -1 (см. рис. 14.3б). Аналогично показывается, что число а = -1 не является пределом рассматриваемой последовательности, т.е. последовательность x_n=(-1)ⁿ предела не имеет и расходится.

Пример 14.7. Покажем, что =2, и найдем номер n₀ для ε=0,1; ε=0,01 ε=0,001.

Покажем, что ε>0 n₀ n>n₀ <ε.

Решая последнее неравенство, получим

<ε  < ε  n+1 >  n>-1.

Положив n₀=, получим, что это неравенство выполняется для всех n>n₀. Ответ на второй вопрос дает нижеприведенная таблица:

ε	0,1	0,01	0,001
n0	9	99	999

Если ε=0,1, то неравенство выполняется при ; если ε= 0,01, то это неравенство выполняется при и т.д.

Из определения предела последовательности вытекают следующие свойства сходящихся последовательностей.

Теорема 14.1. 1) Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

2) Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство. 1) Рассмотрим сходящуюся последовательность , имеющую два различных предела a и b, ab. Пусть, например, a<b. Покажем, что такое предположение ведет к противоречию. Действительно, ,

.

Выберем ε= (см. рис. 14.4), положим n₀₌.

Тогда для выбранного ε и всех n>n₀ выполняются одновременно оба неравенства:

a-ε < x_n < a+ε и b-ε < x_n <b+ε,

т.е. x_n < a+ε < b-ε < x_n , что невозможно. Это противоречие исчезает, если a = b .

2) Пусть сходится и x_n=a . Покажем, что последовательность ограничена. Воспользуемся опять определением предела последовательности: для ε=1 n₀ n>n₀ . Отсюда n>n₀ .

Пусть А= . Тогда ≤А nN, что и означает ограниченность последовательности.

Теорема доказана полностью.

В заключение этого пункта отметим, что из ограниченности последовательности не вытекает ее сходимость. Действительно, последовательность x_n = (-1)ⁿ ограничена, ≤1, но,, как показано в примере 14.5, она расходится.