18.15.2. Формула Тейлора для произвольной функции.
Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки х0 и имеет в точке х0 производные до порядка n включительно.
Многочлен
Tn(x)=
(х-х0)к=
f(х0)+
(18.41)
называется многочленом Тейлора степени n функции y=f(x) в точке х0.
Многочлен Тейлора (18.41) функции y=f(x) обладает тем свойством, что его производные в точке х0 совпадают с соответствующими производными функциями y=f(x) в точке х0:
=f
(k)(x0),
к =
0, 1, …, n.
Для этого нужно вычислить многочлен Тn(x) и его производные в точке х0.
Представление
f(x)=
Tn(x)+
Rn(x)=
(х-х0)к
+
Rn(x) (18.42)
называется формулой Тейлора функции y=f(x) в точке х0, где Rn(x)= f(x)- Тn(x) называется остаточным членом формулы Тейлора.
Формула Тейлора позволяет, при определенных условиях, приближенно представить функцию y=f(x) в виде многочлена (многочлена Тейлора Tn(x)) и дать оценку погрешности этого приближения (оценив остаточный член формулы Тейлора Rn(x)).
Теорема 18.9. (Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано). Пусть y=f(x) имеет в точке х0 производные до порядка n включительно. Тогда при х→x0
Rn(x)=
((х-х0)n)
и f(x)=
(х-х0)к
+
((х-х0)n). (18.43)
Это и есть формула Тейлора функции y=f(x) с остаточным членом в форме Пеано.
Теорема 18.10. (формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа). Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки х0 и имеет в этой окрестности производные до (n+1)-го порядка включительно. Тогда для любого х из этой окрестности найдется точка с(х0, х) такая, что
Rn(x)=
(х-х0)n+1
и f(x)=
(х-х0)к+
(х-х0)n+1. (18.44)
Это и есть формула Тейлора функции y=f(x) с остаточным членом в форме Лагранжа.
Замечание 1. Остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа позволяет оценивать степень приближения функции y=f(x) ее многочленом Тейлора Tn(x). Пусть (n+1)-я производная f (n+1)(x) ограничена в окрестности точки х0, т.е. существует число М>0 такое, что | f (n+1)(x)|≤М для всех х из указанной окрестности. Тогда справедливо неравенство
|
Rn(x)|≤
•|x-x0|n+1. (18.45)
Замечание 2. Формула Тейлора в форме дифференциалов.
Заметим, что f (к)(x0) (х-х0)к= f (к)(x0) хк= f (к)(x0)dxk=dk f(x0), а х-х0= х, то формулу (18.43) можно записать в виде
f(x)=
dk
f(x0)+
((х)n)=f(x0)+
df(x0)+
d2
f(x0)+…+
dn
f(x0)+
((х)n), (18.46)
Замечание 3. Формула Тейлора функции y=f(x) в точке х0=0 называется формулой Маклорена.
Формула Маклорена с остаточным членом в форме Пеано:
f(x)=
хк+
(хn)=f(x0)+
x+
x
2+…+
xn+
(хn). (18.47)
Формула Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа:
f(x)=
хк+
хn+1=f(0)+
x+
x
2+…+
xn+
хn+1 (18.48)
18.15.3. Формула Маклорена некоторых элементарных функций.
1. y=f(x)=ех.
Так как у(к)=ех, у(к)(0)=1, для всех к = 0, 1, 2, …, n, то справедлива формула Маклорена
ех=
(хn)=1+
(хn). (18.49)
2. y=f(x)=sin x
Так
как у(к)=sin
,
у(к)(0)=sin
,
то формула Маклорена имеет вид
(х
2n+2)=х-
(х
2n+2). (18.50)
Нечетность функции y=sin x нашла отражение и в формуле Маклорена: многочлен Тейлора имеет только нечетные степени х.
3. y=cos x.
cos
x=
(х
2n+1)=1-
(х
2n+1). (18.51)
4. у=ln (1+х).
у=
=(1+х)-1,
у=(-1)(1+х)-2,
у=(-1)(-2)(1-х)-3,
у(к)=(-1)к-1•(к-1)!
(1-х)-к,
отсюда
у(к)(0)=f(k)(0)=
(-1)к-1•(к-1)!
Тогда ln
(1+x)=
(хn)=
=
х-
(х
n). (18.52)
5. y=(1+x)α, αR.
Так как ук=α(α-1)…(α–к+1)(1+х)α-к и ук(0)=α(α-1)…(α–к+1), тогда
(1+х)α=1+
=
=1+αх+
. (18.53)