7.2.4. Уравнение прямой в отрезках на осях.

Пусть прямая отсекает на осях координат отрезки a и b, которые могут быть как положительными, так и отрицательными, т.е. прямая проходит через точки М₁(а, 0) и М₂(0, b) (см. рис. 7.6). Подставляя координаты этих точек в уравнение (7.5), получим уравнение прямой в отрезках на осях

(7.6)

7.2.4. Общее уравнение прямой.

Общее уравнение прямой на плоскости представляет собой уравнение первой степени относительно переменных х и у, т. е. линейное уравнение

Ах+Ву+С=0

(7.7)

Из уравнений (7.2) и (7.3) пункта 7.2.1 вытекает, что уравнение любой прямой может быть записано в виде (7.7).

Обратно, покажем, что уравнение (7.7) задает прямую на плоскости. Действительно, если В≠0, то уравнение (7.7) можно привести к виду (7.2)

, где к= –.

Если же В=0, то его можно привести к виду (7.3)

,

т. к. при В=0 обязательно А≠0.

Неполные уравнения прямой:

1. если А=0, то прямая параллельна оси Ох;

2. если В=0, то прямая параллельна оси Оу;

3. если С=0, то прямая проходит через начало координат О(0, 0).

7.2.6. Векторное уравнение прямой.

Направляющим вектором прямой называется любой вектор, параллельный данной прямой.

Пусть прямая l проходит через точку М₀(х₀, у₀) параллельно вектору ā = {m, n}, т. е. вектор ā – направляющий вектор прямой l (см. рис. 7.7), и пусть М(х, у) – произвольная точка прямой.

Рассмотрим радиусы-векторы точек М₀ и М соответственно

= {х₀, у₀},

= {х, у}.

Из определения направляющего вектора прямой получаем: || ā, т. е. = ā t, где tR. Получаем векторное уравнение прямой

(7.8)

Перепишем уравнение (7.8) в координатной форме {х, у} = {х₀, у₀} = {t_m, t_n}, или

(7.9)

Это параметрическое уравнение прямой,

, (7.10)

где m и n- координаты направляющего вектора прямой.

7.2.7. Уравнение прямой с данным вектором нормали.

Любой нулевой вектор, ортогональный данной прямой, называется ее вектором нормали или нормальным вектором.

Составим уравнение прямой, проходящей через точку М₀(х₀, у₀) ортогонально вектору ={А,В}, т.е. вектор – нормальный вектор прямой (см. рис. 7.8).

Точка М(х, у) лежит на данной прямой тогда и только тогда, когда

А(х-х₀)+В(у-у₀)=0

, т.е. . Записав это условие в координатной форме, получим искомое уравнение прямой

(7.11)

Теперь понятен геометрический смысл коэффициентов А и В в общем уравнении прямой Ах+Ву+С=0: это координаты вектора нормали прямой.

7.2.8. Нормальное уравнение прямой.

Пусть ⁰={Cos α, Cos β} – нормальный вектор прямой, идущий о начала координат к прямой, Cos α, Cos β – направляющие косинусы вектора ⁰, |⁰| = 1; р – расстояние от начала координат до прямой (см. рис. 7.9).

Точка М(х, у) лежит на прямой тогда и только тогда, когда =р, где = {х, у}-

р

х сos α + у sin α – р = 0

адиус-вектор точки М(х, у), т. е. •⁰ = р, или в координатной форме хCos α + уCos β – р = 0. Учитывая, что Cos β = Sin α (см. рис. 7.9), получим окончательно

(7.12)

Это и есть нормальное уравнение прямой.

Для получения нормального уравнения прямой нужно умножить общее уравнение (7.7) на нормирующий множитель , где знак μ выбирается противоположным знаку С в общем уравнении Ах+Ву+С=0.