1) Масса одинакова у тел, уравновешивающих друг друга на весах;

2) Масса складывается, когда тела соединяются вместе: масса нескольких тел, взятых вместе, равна сумме их масс.

Если сравнить данное определение с определениями длины и площади, то увидим, что масса характеризуется теми же свойствами, что и длина и площадь, но задана она на множестве физических тел.

Чтобы помочь детям выделить массу среди других свойств, следует предлагать им для сравнения предметы, имеющие одинаковую форму, но разные массы, одинаковую форму и размеры, но равные массы и т.д. Сюда следует включать и цвет, и материал, из которых сделаны предме­ты, и добиваться, чтобы дети различали размеры, форму, массу.

Измерение массы производится с помощью весов. Выбираем тело е, масса которого принимается за единицу. Предполагается, что можно взять и доли этой массы. Например, если за единицу массы взят килограмм, то в процессе измерения можно использовать и такую его долю, как грамм: 1 г = 1/1000 кг.

На одну чашку весов кладут тело, массу которого измеряют, а на другую – тела, выбранные в качестве единицы массы, т.е. гири. Этих гирь должно быть столько, чтобы они уравновесили первую чашку весов. В результате взвешивания получается численное значение массы данного тела при выбранной единице массы. Это значение приближенное. Например, если масса тела равна 5 кг 350 г, то число 5350 следует рассматривать как приближенное значение массы данного тела (при единице массы – грамм).

Для численных значение массы справедливы все утверждения, сформулированные для длины, т.е. сравнение масс, действия над ними сводятся к сравнению и действиям над числовыми значениями масс (при одной и той же единице массы).

Основная единица массы – килограмм. Из этой основной единицы образуются другие единицы массы: грамм, тонна и др.

Первая единица массы, с которой знакомятся учащиеся, - килограмм. Это одна из основных единиц в Международной системе единиц, которая кратко обозначается "СИ" (с 1 января 1980 г. действует только эта сис­тема). С этой единицей массы учащиеся знакомятся в ходе упражнений по определению массы. Но прежде чем ввести первую единицу измере­ния массы, следует с детьми организовать работу по уточнению их пред­ставлений об этой величине. С этой целью целесообразно предложить им задания для сравнения предметов по массе.

Например. Предложить учащимся: взять в одну руку книгу (учебник математики), а в другую - тетрадь и показать руками, что легче (тет­радь); высказать мнение о книге (тяжелее, чем тетрадь). Затем предло­жить им взять в одну руку учебник математики, а в другую - учебник русского языка и рассказать о них (одинаковые; могут быть и другие мнения). Теперь предложить подумать, как можно проверить, кто прав? (На весах). Выяснить у детей, какие они видели весы и где? (С чашками, со стрелкой, электронные в магазине). Предложить высказать свои пред­положения о том, как нам проверить то, что мы утверждали.

В результате разговора учитель подводит детей к пониманию того, что надо положить на обе чашки весов по книге. Если книги одинаковые по массе, то весы будут в равновесии, если нет, то чашка с более тяжелой книгой опустится вниз.

Здесь же учитель должен ввести термин "масса", так как дети в жиз­ни с ним практически не встречаются.

Затем целесообразно приготовить и показать два предмета абсолютно одинаковые внешне. Например, два кубика, один из которых склеен из бумаги, а другой деревянный и оклеен бумагой. Предложить детям выска­зать свое мнение об их массе. Оно вероятнее всего будет неверным. Уточ­нить его надо опять с помощью весов. В результате такой работы учитель подводит детей к пониманию того, что предметы по массе можно иногда сравнивать на глаз, через ощущения, но точнее с помощью весов.

В ходе дальнейшей беседы учитель выясняет с детьми, что масса предметов измеряется также с помощью весов. И проводится работа по знакомству с первой единицей массы - килограммом.

На урок, где происходит знакомство с килограммом, целесообразно принести чашечные весы и несколько предметов, масса каждого из кото­рых равна килограмму (пачка сахара, соли) и другие предметы, масса которых либо меньше, либо больше килограмма.

Предметы взвешиваются, выясняется, что масса некоторых из них равна 1 кг. Учитель говорит о том, что это единица измерения массы, показывает образец записи.

Эту работу следует организовать так, чтобы в ней принимали учас­тие как можно больше детей (один кладет предмет, другой ставит гири, третий следит за равновесием и т.д.). Остальные дети привлекаются к пояснению, почему весы вышли из равновесия, что надо сделать, чтобы привести их в равновесие.

Здесь же необходимо познакомить детей, как правильно пользовать­ся весами. Вначале устанавливается предмет (груз), а затем подбирают­ся гири. Затем выполняются упражнения в измерении массы предметов в 2 кг, 3 кг. При этом используются гири массой в 1 кг и массой в 2 кг. Попутно дети упражняются в записи полученных именованных чисел.

Детям целесообразно сообщить массу часто встречающихся в быту предметов: буханка хлеба, литр молока, воды, ведро картофеля и др.

Для закрепления и расширения знаний об основной единице измере­ния массы - килограмме работа по определению массы предметов с по­мощью весов продолжается на уроках в дальнейшем. Однако следует отметить, что в этой работе необходимо использовать различное дидак­тическое оснащение (рисунки, модели весов и гирь).

В дальнейшем учащиеся знакомятся с новой единицей массы - грам­мом. Этот термин учащимся известен.

Задача учителя - сформировать конкретное представление о массе в 1 грамм. С этой целью детям дают подержать гирьку в один грамм или предметы такой массы. Затем выполняются упражнения в определении массы предметов с точностью до грамма.

После ознакомления с граммом возможности проведения различных упражнений в определении массы значительно расширяются. Здесь ис­пользуются знакомые детям чашечные весы, происходит более деталь­ное знакомство с циферблатными и пружинными весами. При работе с весами учащимся следует показать, как правильно должны быть установлены циферблатные весы (стрелка на нуле), как смотреть на шкалу, < научить определять цену делений, читать показания шкалы.

С этой целью следует изготовить демонстрационную модель шкалы на 500 г с делениями. К шкале прикрепить подвижную стрелку. На этой модели учащиеся смогут упражняться в чтении чисел по шкале и установке стрелок в различных положениях.

Наряду с работой, проводимой в классе целесообразно организовать экскурсию в школьный буфет, либо в ближайший к школе магазин. Учащихся нужно познакомить и с различными правилами определения массы товара в таре (сюда относятся жидкие и сыпучие вещества и др.). Правила такие:

1) определяется масса тары, с помощью которой будет определять масса товара, а затем она вычитается из общей массы;

2) на другую чашку весов ставится точно такая же порожняя тара;

3) порожняя тара уравновешивается любым грузом, положенным на другую чашку весов; На последнем году обучения в начальных классах учащиеся знакомятся с новыми единицами измерения массы - тонной и центнером. Здесь же обобщаются знания учащихся о мерах массы, устанавливаются соотношения между всеми еди­ницами измерения массы, известными ученикам, составляется таб­лица мер массы.

1 т = 1000 кг	1 ц = 100 кг
1 кг = 1000 г	1 т = 10 ц

Таблица мер массы должна быть заучена учениками, причем усвое­ние ее строится не на простом заучивании мер, а в процессе решения разнообразных задач и упражнений и выполнении практических работ.

Создать конкретные представления о новых единицах массы значи­тельно труднее, ввиду их различности.

Поэтому здесь нужно использовать рисунки, таблицы, иллюстрации.

Целесообразно привести такие примеры:

масса двух мешков карто­феля примерно равна 1 ц, масса одного мешка сахара примерно равна 1 ц, масса всех учеников одного класса, в котором 30-35 человек примерно составляет 1 т. Если есть возможность, надо ознакомить детей с весами, на которых определяется масса предметов в несколько центнеров или тонн. Это можно сделать только на экскурсии.

Здесь же изучается преобразование именованных чисел, выражен­ных в мерах массы, сравниваются полученные числа, над ними выпол­няются арифметические действия.

В начальных классах учащимся дается первоначальное представле­ние о литре - единице измерения объема (емкости).

Так как в начальных классах не вводится понятие объема и не изуча­ются единицы измерения объема, то следует ограничиться ознакомле­нием учащихся с процессом измерения вместимости некоторых предме­тов (банка, кастрюля, металлическая кружка, стакан). Целесообразно показать сравнение емкостей, выявить, какая из них больше и показать необходимость использования единой меры - литра.

3. Время и его измерение

Время - одна из основных величин, изучаемых в начальных классах. Следует отметить, что изучение мер времени, и ориентировка во времени представляют для детей значительные трудности. Это связано, прежде всего, с особенностями этой величины. Время течет непрерывно, его нельзя ни остановить, ни возвратить, поэтому восприятие промежутков времени, сравнение событий по продолжительности вызывает определенные трудности. Восприятие времени зависит от того, чем и как оно заполнено. И не удивительно, что временные представления у детей развиваются медленно.

В обыденной жизни время – это то, что отделяет одно событие от другого

В математике и физике время рассматривают как скалярную величину, потому что промежутки времени обладают свойствами, похожими на свойства длины, площади, массы.

Промежутки времени можно сравнивать.

Промежутки времени можно складывать, вычитать, умножать на положительное действительное число.

Промежутки времени измеряют. Но процесс измерения времени отличается от измерения длины. Промежуток времени, принятый за единицу, может быть использован лишь один раз. Единицей времени должен быть регулярно повторяющийся процесс. Такой единицей в Международной системе единиц названа секунда. Наряду с секундой используются и другие единицы времени: минута, час, сутки, год, неделя, месяц, век. Такие единицы, как год и сутки, были взяты из природы, а час, минута, секунда придуманы человеком.

Год — это время обращения Земли вокруг Солнца. Сутки — время обращения Земли вокруг своей оси. Год состоит приблизи­тельно из 365 — сут. Но год жизни людей складывается из целого числа суток. Поэтому вместо того, чтобы к каждому году прибав­лять 6 ч, прибавляют целые сутки к каждому четвертому году. Этот год состоит из 366 дней и называется високосным.

Нужно показать, когда и какими приборами мы измеряем время в секундах. Очень хорошо использовать метроном.

Век - это такая единица измерения времени, длительность которой ощутить практически невозможно, поэтому приводить детям примеры, связанные с длительностью века не стоит. Надо учить детей определять, сколько целых столетий прошло за определенный промежуток.

Календарь с таким чередованием лет ввел в 46 году до н. э. римский император Юлий Цезарь в целях упорядочивания сущест­вующего в то время очень запутанного календаря. Поэтому новый календарь называется юлианским. Согласно ему новый год начинает­ся с 1 января и состоит из 12 месяцев. Сохранилась в нем и такая мера времени, как неделя, придуманная еще вавилонскими астрономами.

В Древней Руси неделя называлась седмицей, а воскресенье — днем недельным (когда нет дел) или просто неделей, т. е. днем отдыха. Теперь в русском языке день отдыха называется воскре­сенье — от слова «воскрешать», т. е. придавать силы, оживить. Наз­вания следующих пяти дней недели указывают, сколько дней прошло после воскресенья. Понедельник — сразу после недели, вторник — второй день, среда — середина, четверг и пятница — четвертые и пятые сутки, суббота — конец дел.

Месяц не очень определенная единица времени, он может со­стоять из тридцати одного, тридцати и двадцати восьми (двад­цати девяти в високосные годы) дней. Но существует эта единица времени с древних времен и связана с движением Луны вокруг Земли. Один оборот вокруг Земли Луна делает примерно за 29,5 сут., и за год она совершает примерно 12 оборотов. Эти данные и послу­жили основой для создания древних календарей, а результатом их многовекового усовершенствования является тот календарь, который используется в настоящее время.

Вернемся к юлианскому календарю. Этот календарь, принятый христианской церковью, распространился среди всех европейских народов и просуществовал более 16 столетий.

Но постепенно люди стали замечать, что результаты измерения времени по календарю не сходятся с результатами измерений по Солнцу. Например, 21 марта—день весеннего равноденствия в XVI веке пришелся на 11 марта по календарю. Откуда взялась эта разница в 10 дней? Они накапливались постепенно, из года в год, поскольку год по юлианскому календарю на 11 мин 14 с больше солнечного и за 400 лет набегало примерно трое с лишним суток. Чтобы в дальнейшем расхождения не возникало, в новом григорианском календаре, названном в честь тогдашней главы ка­толической церкви папы Григория XIII и принятом в 1582 году, было уменьшено число високосных лет. По юлианскому календарю ви­сокосными были все годы, число которых делилось на 4. По григо­рианскому из их числа исключались те, которые были «ве­ковыми» и не делились на 400: например, 1600 год—високосный, а 1700, 1800 и 1900 из числа високосных исключались, они со­держали по 365 суток. Заглядывая вперед, скажем, что 2000 год. будет високосным, а 2100, 2200, 2300 нет.

Этот календарь был принят в европейских странах. В России до Великой Октябрьской социалистической революции православная церковь отклоняла эту реформу. Здесь жили по юлианскому кален­дарю, что причиняло многие неудобства. Например, телеграмма из-за границы приходила в Россию на 13 дней раньше, чем была отправлена. Много раз русские ученые пытались заставить царское правительство изменить старый календарь, но только декретом Совет­ского правительства 14 февраля 1918 года у нас был введен новый стиль. В соответствии с этим декретом февраль 1918 был укорочен на 13 дней. После 31 января наступило сразу 14 февра­ля. С тех пор мы и живем по новому стилю.

Заметим, что если юлианский календарный год длиннее солнеч­ного на 11— мин, то григорианский всего на 26 с. Лишние сутки накопятся только в 50-м веке н. э.

Григорианский календарь принят не всеми государствами мира. Например, Египет и другие страны Востока пользуются другим календарем — лунным. Год по этому календарю равен 12 лунным ме­сяцам и короче солнечного на 11 дней. Кроме того, если по гри­горианскому календарю 1986 год, то, например, в Иране это 1406 год. Чем это вызвано?

Чтобы вести счет, надо иметь начало отсчета. У времени нет начала и нет конца. Оно течет и течет. Поэтому, чтобы считать, нужно самим установить начало счета. Установить начало суток, года можно разными способами. Так, древние египтяне вели ле­тоисчисление по годам правления фараонов, китайцы — по годам царствования и династиям императоров, римляне — от основания го­рода Рима и от первого года царствования того или иного импе­ратора, другие народы — от мифического «сотворения мира» или от «рождения Христа».

В Древней Руси год начинался весной, в марте, когда приступали к полевым работам. С введением христианства на Руси был принят юлианский календарь и начало летоисчисления от «сот­ворения мира», причем это «сотворение мира» христианская цер­ковь приурочила к 5508 году до «рождества Христова», а началом года считала 1 сентября. Такой отсчет лет велся на Руси до начала XVIII столетия. Указом Петра I Русское государство пе­решло на другое летоисчисление: началом года стало 1 января, а года стали считать не от «сотворения мира», а от «рождества Христова». В соответствии с ним год принятия указа 7208 стал 1700 годом. Счет лет от рождения мифического Христа в настоящее время принят большинством государств и называется нашей эрой (н. э.).

Современное деление суток на 24 ч также восходит к глубо­кой древности, оно было введено в Древнем Египте. Минута и се­кунда появились в Древнем Вавилоне, а в том, что в часе 60 мин, а в минуте 60 с, сказывается влияние шестидесятеричной системы счисления, изобретенной вавилонскими учеными.

Упражнения

1. Луна совершает полный оборот вокруг Земли за 29 сут. 12 ч 44 мин 3 с. Выразите этот промежуток времени в секундах.

2. Постройка дома была начата 12 марта и закончена 7 декабря того же года. Сколько дней строился дом?

3. Знаменитый греческий математик Архимед умер в 212 г. до н. э. Сколько веков и сколько лет прошло со дня смерти Архимеда?

4. В 1956 г. исполнилось 2000 лет со времени введения юлиан­ского календаря (старый стиль) и 374 года со времени введе­ния григорианского календаря (новый стиль). В каком году был введен старый стиль и в каком году новый стиль?

5. Выполните действия:

1) сложите 5 лет 7 мес 8 дней и 3 года 2 мес 4 дня;

2) из 5 ч 36 с вычтите 45 мин 40 с;

3) 7 ч 48 мин 56 с умножьте на 18;

4) 9 нед 21 ч 52 мин разделите на 1 нед 23 ч 44 мин.

6. Решите арифметическим и алгебраическим способами:

1) Машинистка должна была перепечатать рукопись за 8 дней. Однако она выполнила работу за 6 дней, так как печатала ежедневно на 6 страниц больше, чем планировала ранее. Сколько страниц в рукописи?

2) Из совхоза до ремонтной мастерской велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч, а возвращался со скоростью 15 км/ч, поэ­тому затратил на обратный путь на 18 мин меньше. Сколько кило­метров от совхоза до ремонтной мастерской?

Лекция 60. Геометрические величины: связь величин

4. Другие величины, рассматриваемые в начальном курсе математики. Объем тела и его измерение. Пропорциональная зависимость между величинами (скорость, время, расстояние; цена, количество, стоимость и др.).

Понятие величины, принимающей различные численные значения, является отражением изменяемости окружающей нас действитель­ности. Но всевозможные изменения в реальном мире не происходят не зависимо друг от друга. Изучение этих связей посредством изу­чения зависимостей между величинами является способом приме­нения математики для решения практических задач, способом математизации знаний.

Зависимости между величинами многообразны. Их изучают различные науки. Мы будем говорить в основном о тех, с которыми встречаются учащиеся в начальном курсе математики. Рассмотрим величины, связанные с равномерным прямолинейным движением - время, скорость и расстояние. Зависимость между временем (t), скоростью (v) и расстоянием (S), пройденным телом при прямолинейном равномерном движении, может быть выражена формулой S = v · t.

Если движение таково, что скорость принимает одно и то же значение, то зависимость пройденного расстояния от времени прямо пропорциональная, так как выражается формулой вида .у = kх (S = v · t)/ Пере­менная х есть время движения, а переменная у — пройденное раcстояние/ Коэффициент k обозначает скорость движения.

Прямо пропорциональная зависимость между временем и пройденным рассто­янием обладает свойством: во сколько раз увеличивается (уменьша­ется) время движения, во столько же раз увеличивается (умень­шается) пройденное расстояние.

Зависимость расстояния прямолинейного равномерного движения от времени (при постоянной скорости) может быть и линейной, т. е. она может выражаться формулой вида у = kх + b, где k и b — некоторые данные числа.

Рассмотрим в качестве примера такую задачу: «Туристы за день прошли пешком 18 км, а остальной путь проехали на автобу­се со скоростью 45 км/ч. Какой путь проделали туристы за день, если на автобусе они ехали 2 ч? 3 ч? 4ч?»

Если туристы на автобусе ехали 2 ч, то всего за день они проделали путь

5 = 18 км + 45 км/ч · 2 ч =18 км + 90 км = 108 км.

Если они ехали на автобусе 3 ч, то всего за день они про­делали путь

S =18 км + 45 км/ч · 3 ч = 153 км.

За 4 ч они про­делали путь 5 = 18 км + 45 км/ч · 4 = 208 км.

Видим, что зависимость между временем и пройденным расстоя­нием линейная, так как она может быть представлена формулой вида S = v · t. + Sо, где Sо = 18 км, а v == 45 км/ч.

Если среди величин S, v, t две величины — скорость и время — принимают различные значения, а расстояние постоянно, то зависимость между скоростью и временем движения обратно пропорциональная, так как может быть выражена формулой у = k : х, где переменная х есть скорость движения, переменная у — время движения (или наоборот), достоянная k есть расстояние, которое на­до пройти телу.

Обратно пропорциональная зависимость между скоростью и временем движения обладает свойством: во сколько раз увеличивает­ся (уменьшается) скорость движения, во столько же раз уменьшается (увеличивается) время, затраченное на движение.

Знание зависимости между величинами, данными в текстовой задаче, позволяет находить различные способы ее решения. Рас­смотрим, например, задачу: «Из двух городов выехали навстречу друг другу два мотоциклиста. Один мотоциклист двигался со скоростью 90 км/ч и проехал до встречи 180 км. Какое расстояние проехал до встречи другой мотоциклист, если он двигался со скоростью 45 км/ч?»

В задаче речь идет о движении мотоциклистов. Оно харак­теризуется тремя величинами: скоростью, временем и расстояни­ем. Согласно условию задачи значения времени движения одинако­вы, а скорость и расстояние принимают различные значения. За­висимость между этими последними величинами может быть выра­жена формулой

у = k · х (S = v · t) и, значит, S и v — величины прямо пропор­циональные.

Задача может быть решена двумя арифметическими способами.

1 способ сводится к отысканию коэффициента (t — времени движе­ния мотоциклистов) . Зная его и скорость движения второго мото­циклиста, нетрудно найти и расстояние, пройденное им. Чтобы найти время движения мотоциклистов, разделим расстояние, пройденное первым мотоциклистом, на скорость движения: 180 км: 90 км/ч==2 ч. Умножив скорость второго мотоциклиста на время его движения, по­лучим путь, пройденный им: 45 км/ч-2 ч = 90 км.

2 способ решения этой же

. Значит, и путь, пройденный вторым мотоциклистом, в 2 раза меньше пути, пройденного первым:

180 км : 2 = 90 км.

Рассмотрим еще такую задачу: «Скорость машины 60 км/ч, скорость велосипедиста в 5 раз меньше. Велосипедист про­ехал расстояние от своего села до железнодорожной станции за 2 ч. За сколько минут можно проехать это расстояние на машине?»

В задаче речь идет о трех величинах: скорости, времени и расстоянии. Две из них — скорость и время — принимают различ­ные значения, а третья величина — расстояние — постоянна. Зави­симость между скоростью и временем обратно задачи основан на свойстве прямой пропорциональности: найдем: во сколько раз скорость дви­жения второго мотоциклиста меньше скорости движения первого.

90 км/ч : 45 км/ч = 2 раза пропорциональна, так как может быть выражена формулой t = S : v.

I способ решения этой задачи сводится к отысканию коэф­фициента S, т. е. расстояния от села до железнодорожной стан­ции. Зная его и скорость движения машины, можно будет най­ти и время ее движения.

Найдем сначала скорость велосипедиста: 60 км/ч : 5 = 12 км/ч, а затем расстояние от села до станции: 12 км/ч · 2 ч =24 км, и, на­конец, время, за которое машина пройдет 24 км: 24 км : 60 км/ч = 24 мин.

Можно было поступить иначе, выразив скорость движения ма­шины в другой единице — км/мин. Так как 1 км/ч = 1\60 км/мин, то 60 км/ч = 60 · 1/60 км/мин =1 км/мин. Значит, 24 км :1 км/мин = 24 мин. '

2 способ решения этой задачи основан на свойстве обратной пропорциональности: поскольку скорость машины в 5 раз больше ско­рости велосипедиста, то времени для машины надо в 5 раз мень­ше, т. е. 2 ч =2 · 60 мин = 120 мин и 120 мин : 5 =24 мин.

Аналогичные зависимости существуют и между другими вели­чинами, рассматриваемыми в начальных классах. Например, такими, как:

а) стоимость товара, его количество и цена;

б) объем работы, время работы и производительность труда;

в) количество ткани, количество изделий и расход на одно изделие.

Упражнения

1. Установите, какие величины рассматриваются в задаче, какая между ними существует зависимость, и решите ее различными арифметическими способами:

1) За одно и то же время теплоход «Метеор» прошел 216 км, а пароход 72 км. Чему равна скорость «Метеора», если скорость парохода 24 км/ч?

2) На 10 к. купили 2 одинаковых конверта. Сколько стоят 6 та­ких конвертов?

3) Из 20 м ткани сшили 5 платьев. Сколько можно сшить из этой ткани кофт, если расходовать на каждую из них в 2 раза меньше ткани, чем на платье?

4) 12 кг варенья разложили в 6 банок поровну. Сколько на­до таких банок, чтобы разложить 24 кг варенья?

5) Рабочему поручено изготовить за 10 ч 30 деталей. Но ра­бочий, экономя время, успевал делать одну деталь за 15 мин. Сколь­ко деталей сверх задания сделал рабочий за счет сэкономленного времени? - ' .

2. Решите арифметическим и алгебраическим способами:

1) Из города А в город В вышла грузовая машина, а спус­тя 2 ч из города В в город А вышла легковая машина. Грузо­вая машина проходит в среднем по 42 км/ч, а легковая — по 65 км/ч. На каком расстоянии от города В встретятся машины, если между городами А и В 619 км?

2) Для детского сада на 16 р. 56 к. куплены яблоки по 72 к. и груши по 80 к. за килограмм. За яблоки заплачено на 2 р. 16 к. больше, чем за груши. Сколько было куплено яблок и сколько груш?

3) За книгу, ручку и линейку уплатили 1 р. 55 к. Сколько стоит каждая вещь, если известно, что ручка на 30 к. дороже линейки, а книга на 65 к. дороже ручки.